相对论几何学

从年代的角度看，黎曼的工作和爱因斯坦出生之间的空缺，正好被英国数学家威廉·克利福德（William Clifford）的生活和工作所填补。他生于1845年，卒于1879年，像黎曼一样，死于肺结核。克利福德将黎曼的工作翻译成英文，在将弯曲空间观念以及非欧几何学的细节引进英语世界的过程中，发挥了主要作用。他了解我们生活在其中的三维宇宙，类似二维球体表面是封闭和有限的一样，有可能也是封闭和有限的，但所涉及的几何至少应该是四维。这就意味着，正如地球上的一个旅行者沿任何方向出发，只要始终保持直线行进，最终将会回到起点一样，一个旅行者在封闭的宇宙中向任何可能的方向出发，穿过空间继续向前直线行进，最终也会回到起点。但克利福德意识到空间的弯曲里面可能回有更多的内容，而不仅仅是覆盖整个宇宙的渐进弯曲性。1870年，他向剑桥的哲学会提交了一篇文章（当时，他是牛顿曾经待过的三一学院的成员），在其中，他描述了从一处到另一处“空间弯曲之变化”的可能性，并建议“小部分空间的性质实际上类似于（地球）表面的小山丘，在平均的意义上是平坦的，但普通的几何定律对它们无效”。换句话说，在爱因斯坦出生前七年，克利福德正在考虑局部扭曲的空间结构——虽然他还没有什么证据说明这种扭曲为何可能出现，也没有什么可观察的结果说明它们的存在。

克利福德只不过是19世纪下半叶许多非欧几何研究者中的一个——但也是其中最优秀的研究者之一，因为他十分清晰地洞察到这对于真实宇宙的意义所在。他的见解是相当深刻的，这使得推断一下如果他没有在爱因斯坦出生之前11天就英年早逝的话，到底能走多远就变得饶有兴味了。非常有意思的是，事后来看，当威尔·克利福德（即威廉·克利福德——编注）几乎可以被认定为19世纪70年代的相对论先驱者的时候，另一个在20世纪70到80年代被高度评价的相对论者，并为广义相对论的奠基者们做了最佳介绍的，是美国的一位研究人员克利福德·威尔（Clifford Will），他比自己的倒序同名者晚生了101年。

19世纪后期，以这些有关几何学的逸闻趣事为背景，爱因斯坦光怪陆离地到达了自己的狭义相对论。他使用纯粹的代数技术，列出了符合麦克斯韦发现的描述运动的方程并加以求解，而其中光速是个常数，并在1905年把它呈现给世界。当然，爱因斯坦是一个物理学家，而不是数学家。甚至也算不上物理学家，他非常反感老师所教授的那些愚蠢方法，以至于因为基本不怎么会使用那些方法曾被驱逐出德国的一个中学，第一次参加苏黎世理工大学的入学考试也失败了。甚至经过一年的死记硬背，第二次参加考试终于通过后，还是被他后来的老师之一赫尔曼·闵可夫斯基（Hermann Minkowski）形容为一条“懒狗”，虽然他确实很聪明，但“从不操心数学”。不仅不操心数学，其他也一样。爱因斯坦在许多科目上都落在后面，即使时间临近期末考试时还是不操心，因为只要他觉得无聊，就会逃课。为了赶上进度，他再次被迫努力恶补，只是在朋友马塞尔·格罗斯曼（Marcel Grossman）帮助他抄写课堂笔记的前提下才能勉强过关。格罗斯曼是个非常勤奋的学生，后来在自己的领域做出了杰出的科学贡献。有一个流传很广的故事，说爱因斯坦如何涂改他的学历（1900年毕业）但仍未能得到学术岗位，不得不在20世纪初就业于伯尔尼专利局——该工作也还是通过格罗斯曼的父亲斡旋才得到的。这个工作足够简单，使爱因斯坦拥有了大量的空闲时间来思考物理学。狭义相对论发表于1905年，毋庸赘述，其余都已成为历史。

并没有立即引起轰动的狭义相对论终于大获全胜，为爱因斯坦带来了巨大的声誉。的确，部分是因为选择——他被提供了非学术工作——在专利局一直干到1909年，直到稳步增长的声誉将他带到苏黎世理工大学的职位为止，部分是因为他的名声大振之后，他原来的老师赫尔曼·闵可夫斯基在爱因斯坦理论的代数表达式的基础上将其发展为四维的几何描述，这个改进使得理论更加清晰，被认为是理解狭义相对论的最好途径。所以，是闵可夫斯基将几何引进了相对论。

闵可夫斯基生于1864年，在此之后两年，黎曼去世。他担任苏黎世理工大学（其全称是联邦理工技术大学）的数学教授只有六年（正好与爱因斯坦的学生时代相重叠），从1902年到他因阑尾炎去世的1909年1月，他追随着高斯和黎曼的传统，在哥丁根大学任教。他的几何化狭义相对论对于其哥丁根后继者们的功绩，堪比笛卡儿。

爱因斯坦的运动方程——狭义相对论方程——涉及四个参数，它以通常的三维空间坐标描述了对象的位置，另加一个坐标表示时间。回忆一下笛卡儿躺在床上观察苍蝇在房间角落嗡嗡飞行的场景，他意识到它任意时刻的位置都可以由三个空间坐标来表示。实际上，爱因斯坦的方程是说，苍蝇的整个生命历程都可以按照四维的笛卡儿坐标系来确定，三个空间的和一个时间的。设想画一条线来跟踪苍蝇在空中的飞行路线，从其出生那一刻开始到其死亡结束，这是一条在一个确定的日子，即1619年11月10日的非常波荡起伏的线，偶然通过了笛卡儿的卧室。这样的线如今被称之为世界线（world line），以四维的方式存在（图2.4）。

爱因斯坦狭义相对论中关键的方程之一，其实看上去很像是一个代数版的描述毕达哥拉斯定理的方程，这不是一个巧合。该方程给出如何确定或测量两点之间最短距离的方法，还被认为是描述多维空间（或时空）的度量，与“几何”中的基础“度量”一样，在任何多维空间中两点之间最短的距离就是所谓测地线，当然，在几何中是指一个平面，或尼罗河附近的泥泞田野上的测地线，而所谓测地线就是毕达哥拉斯定理所描述的直线和度量。在二维空间中它是这样起作用的：如果我们知道了两个点的笛卡儿坐标x和y，则可以画一个直角三角形，并用毕达哥拉斯定理计算出两点之间的最短距离（即三角形的斜边，图2.5）。利用三个坐标x，y和z，我们也可以在三维空间中做同样的事情。闵可夫斯基意识到，爱因斯坦的方程表明，我们还可以利用坐标x，y，z和t，对四维空间做同样的事情——用大白话说，就是用“前后”“左右”“上下”和“过去与未来”确定位置。闵可夫斯基的几何化狭义相对论，就是一个将笛卡儿的代数内涵与黎曼的几何外延结合在一起的四维混合体。

这为接近光速运动时，时间为何会变慢、尺子为何会收缩提供了明确的解释。爱因斯坦方程告诉我们，存在着一个与长度相对应的东西，但以四个维度来测量，称之为张量。例如，尺子的张量可以被想象成四维直角三角形斜边的长度，并用毕达哥拉斯定理计算，它没有改变。但相对于移动的观察者而言，又会观察到这个张量确实有变化，在时间的延长和长度的收缩方面，彼此间保持了一个完美的平衡。

我们所熟悉的日常三维空间中鼓乐队的指挥仗，虽然它总是保持着相同的长度，但又取决于不同的视角——观察视角——如果你从它的一端看过去，它可以很短；而如果从侧面查看它的话，也可以显示其真实长度。当它在空中旋转时，其长度似乎是在不断地变化着——但这都只是一个观察视角的问题（图2.6）。这就是几何学对于狭义相对论奇怪性质的解释——通过在四维时空，即三维空间和一维时间中不断变换视角的结果。

在方程中，存在着一个主要的和一个次要的微妙之处。首先，是时间参数带有负号，而三个表征三维空间的参数都是正的。这就是为什么时间不能被简单地看作是四维空间中的一个维度，因为它是一种负的空间维度。当尺子收缩时，时间就会增加；而当尺子扩大时，时间就会减少。但在总体上，四维时空的尺度张量保持相同。其次，方程中表征时间的参数总是光速的乘数，所以一秒的时间就相当于30万千米的空间。

这就是为什么当移动速度跟光速相当的时候，相对论效应就会变得很明显。闵可夫斯基对狭义相对论的极大简化，是1908年他在科隆的一次讲座中提出的，而在1909年他去世后不久才正式出版。他在讲座的开幕词中赋予四维时空这一新概念以重要的意义，而其重要性立即就得到了其他人的认可：

我将向你们表达的有关时间和空间的观念，已经从实验物理学的土壤中破土而出，并展示出其自身的力量。它们是根本性的。从今以后，空间和时间本身，都注定会消失在暗影之中，只有两者的某种结合，将会保持一个独立的存在。

但在一开始就对闵可夫斯基几何化狭义相对论不以为然的若干人中的一个，正是有名的“懒狗”阿尔伯特·爱因斯坦。他从不对数学抱有多大兴趣，但还是很快就学会了与之相处。毫无疑问，着是由于受到一个事实的激励，即他的名声几乎立刻随着闵可夫斯基那些有关新时空观念的词语而开始腾飞——内瓦大学在1909年7月授予了爱因斯坦荣誉博士，这是他许多荣誉博士学位中的第一个。

即便如此，闵可夫斯基版本的狭义相对论也只是采用了黎曼许多想法中的一个，即多维几何的概念，一点也没有涉及黎曼关于弯曲空间的更深刻思想内容，因为还不需要。狭义相对论的几何学，仍然是欧几里得式的几何，服从着那些应用于平直空间的规则。只是将欧几里得几何学扩展到四个维度——平直的时空而已。下一个巨大阶梯的来临，便是爱因斯坦在其老朋友格罗斯曼的极力鼓动下，开始考虑弯曲时空的内涵时，跨越了作为特殊情况的平直时空，创建出一个更广泛的理论——广义相对论。 ytcNRgvsz1UftxJLBU2ZAMeRsjsPK22NqfjhjXZfMth50CTBy+O4AxYhOge/U5c8