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黎曼通过运用笛卡儿坐标系而将几何学进行代数化的处理，从而打开了非欧几何学的新世界。它在理论上提供了一种无限的可能性，这是仅限于使用尺子、量角器和圆规等的几何学所无法达到的。那么怎样才能在四维（或更高维）空间对事物进行测度呢？一般确实不能，也只有数学家才会想到追问这样的问题，他们可以写下并运算描述这种多维现象的方程。
图2.3 A. 在球体表面，所有的经度线跨越赤道时都互相垂直，所以它们是平行的——但它们都将相会于两个极点！
B. 球面上的三角形，其三个角的和大于180°。
以著名的毕达哥拉斯定理为例，它将直角三角形边长的平方联系在一起。今天，术语“平方”在这个语境中会立即令人联想到x 2 之类的数字形象。然而，毕达哥拉斯本人的方式，却是通过绘制和测量三角形每个边的正方形面积而得到他的定理。术语“几何”本身就意味着“大地测量”，它是从测量土地并确定其面积发展而来。用笛卡儿坐标系的方式也能表达这些联系，例如，使用一个方程式把三个参数（通常称为x、y和z）彼此联系起来。一旦有了这样一个方程，就可以为三个以上的参数（的确，想要多少参数都可以）建构类似的方程式了，其中各参数之间的关联与毕达哥拉斯定理给我们提供的三角形各边的关系规则可以完全一样。在某种意义上，这个具有超额项的方程描述的是高维空间，但等效于几何学对三角的描述。
这一切都使数学家们着迷，如果不会因此而折寿的话（也有例外，正如我们即将看到的，当进入描述四维空间的几何学时）。正是伯恩哈德·黎曼，他指出了数学的这种可能性。
黎曼出生于1826年，20岁时进入哥丁根大学，跟随高斯学习数学。到1847年高斯70岁时，黎曼离开他去了柏林，但在那里学习了两年后又回到哥丁根。他在1851年被授予博士学位，而在此期间他还给物理学家威廉·韦伯（Wilhelm Weber）当了一段时间的助手。韦伯是电学的先驱，他的研究对于建立光和电现象之间的联系，特别是对建立麦克斯韦电磁理论的图景很有帮助。那时的德国大学，要接纳诸如黎曼这样的年轻学者，他自己先要设法申请一种称之为“编外讲师”的授课者资格，其收入来自听课学生所支付的学费，而学生可以自主选择这类课程（现在若能恢复这个主意，恐怕会很有意思）。为了证明自己具备这个资格，申请者就必须先对大学的教师们进行一次试讲。按照规则，申请者可自行为讲座提供三个可能的题目，而教授们可以从这三个题目中选择一个感兴趣的试听。还有一个传统，虽然要求必须提供三个题目，但教授们总是在清单上的前两个中选择一个。在黎曼自己提供的清单里，前两个他已经做了充分的准备，而对第三个，是有关几何学基础概念方面的题目，事先却几乎没怎么太考虑过。黎曼当然对几何学是很感兴趣的，但他显然没有沿着这个思路进行过任何准备。没想到就是这个论题被选中了。高斯虽已年过70岁高龄，但在哥丁根大学仍然很有影响力，他发现黎曼清单上的第三项很有诱惑力，而且任何习惯都可以改变。27岁的编外讲师候选人获知了这个让他吃惊的消息，他得用这个讲座来打开知名度。
也许，部分是因为必须就自己没准备好的题目进行讲座，并且这将决定他的职业生涯。在这样的压力下，黎曼病倒了，错过了定好的讲座日期，直到1854年的复活节后才康复。只因高斯的缘故而请了病假，这才使他有了七个多星期的时间来为讲座做准备。最后，讲座于1854年6月10日举行。能让高斯如此感兴趣的题目是：“论建立在几何学基础上的若干假设”（On the hypotheses which lie at the foundations of geometry）。这个讲座涵盖了广泛的议题，包括给出了空间弯曲性的含义和如何度量它的作用定义，以及对于球面几何的首次描述（甚至推断，我们生活于其中的空间也可能是轻微弯曲的，使整个宇宙封闭起来，就像球体的表面，但是三维，而不是二维）。最重要的是，借助代数将几何推广到了多维。黎曼的这个讲座稿，直到他去世一年后的1867年才得以出版。
虽然黎曼将几何扩展到多维度是这次讲演最重要的特点，但事后最让人感到惊奇的是，他认为空间可以弯曲成一个封闭的球。这明显比米歇尔和拉普拉斯的暗星观念更为接近半个多世纪后爱因斯坦的广义相对论——甚至离爱因斯坦出生也还有1/4个世纪呢，因为前者不过是简单地将牛顿的引力观念应用到牛顿的光微粒概念上而已。
当然，黎曼得到了这份工作——虽然不是因为他关于宇宙可能的“封闭性”这一先见之明。高斯在1855年即将78岁生日之前去世了，尔后不到一年，黎曼给出了其关于几何基础假设的经典论述。1859年，当高斯的继任者去世时，黎曼自己成了接任的教授，离他经历自己失魂落魄地做试讲，以谋取一个谦卑的编外讲师职位相去不过四年（历史上没有记载他是否也曾抵御不了诱惑，而要求后来的申请者做第三个题目的试讲）。由于肺结核，他在39岁时就早逝了，如若他能像高斯那样长寿的话，就能看到自己多维空间的杰出数学思想在爱因斯坦的物质运动新描述中找到了实际应用。但爱因斯坦甚至不是第二个设想我们的宇宙有可能是弯曲的人，他必须沿着那些比他更熟悉新几何学的数学家们所指引的道路，才能到达自己的广义相对论。