超越欧几里得

第一个超越了欧几里得、欣赏并明白其所作所为意义的是德国人卡尔·高斯。他是一位伟大的数学家，1777年出生于不伦瑞克。他来自一个贫穷的家庭（其父亲是一名园丁和本地商人的助理），但他14岁时就显示了非凡的数学才能，因此被他学校老师的一个朋友推荐给了不伦瑞克公爵的宫廷，不伦瑞克成为他的赞助人后，对高斯的经济支持一直持续到1806年，直到公爵由于参加耶拿战役受伤而死为止。到那时候，29岁的高斯不仅很好地建立起自己的体系，而且完成了他对数学的几乎所有重大贡献。虽然他的大部分工作仍然不为其他科学家所知，在很大程度上是个遗世独立者。

这有两个原因。其一，高斯是在不伦瑞克公爵的赞助下，当其年龄介于14岁到17岁时就做出了数学上的许多重要发现，那时他正就读于不伦瑞克的卡罗琳学院。来自贫困家庭的年轻天才根本不知道如何着手出版自己的著作。从1795年到1798年，高斯在哥丁根大学学习，并不断在数学上做出新的发现，当他22岁从黑尔姆施泰特大学获得博士学位时，他最伟大的数学成就已全部实现。原因之其二，高斯之所以较少发表他的工作成果，甚至在他已经为学术界所熟悉之后依然如此，那是因为他是个完美主义者。他只会出版那些经过深思熟虑并且已经打磨到他自己也感到满意的成果。其结果是，19世纪其他数学研究者的许多重要发现，到头来却被证明是高斯的首创。他将这些东西遗留在自己的笔记本里而没有发表出来。

19世纪初，高斯已将自己科学上的关注重点转移到了天文学上，当不伦瑞克公爵去世后，他成为哥丁根天文台的台长和大学教授，并一直在那儿工作直到1855年2月去世。他以自己的数学速记方式所写的笔记，包含了一些从来没人能弄懂的内容，也可能是后人至今仍未能重现的数学发现。但就人们已读懂的内容看，早在1799年，他就发现了非欧几何的一种形式，比俄国数学家尼古拉·伊万诺维奇·罗巴切夫斯基描述和正式发表这种几何学整整早了30年之久。

罗巴切夫斯基（第一次公开讨论这个想法是在1826年）也曾被一名匈牙利军官亚诺什·鲍耶抢了先机，鲍耶并不完全是个业余爱好者，而是另一位数学家沃尔夫冈（Wolfgang）的儿子，沃尔夫冈是高斯的同代人和朋友。他曾想让亚诺什到哥丁根去跟高斯学习，但让他失望的是年轻人却在1818年加入了军队，当时年仅16岁，跟笛卡儿当年一样。年轻的鲍耶也不是一名战斗士兵，而是工程方面的官员，受其父亲迷恋于平行假设的影响，而热衷于探索欧几里得几何学的性质。他在1823年做出了类似罗巴切夫斯基和高斯的发现，但直到1832年之前没能找到发表出来的机会。

这三个研究者攻克的是一种基本上相同的新型几何学。他们证明，建立一个完整、自洽的新几何学是可能的，除了平行公设，其中所有的公理和假设都与欧氏几何毫无二致。在他们各自独立发展出来的具体非欧几何学中，能够画一条直线并标记一个不在那条线上的点，通过该点可以画出很多条不与第一条线相交的直线，因此所有这些线都是平行的。这种类型的几何学可应用于以特定方式弯曲的表面，该面称为“双曲面”。它的形状像一个鞍子——此类表面是开放的，并可无限延伸（图2.2）。在一个开放的双曲面上，三角形的内角和总是小于180°；这被称之为具有负曲率。

大多数人会发现，从另一个不同的例子中更容易把握非欧几何的概念，但奇怪的是，上述这三个非欧几何的先驱者却没有沿着那个路径做出他们得发现。这个路径就是类似地球表面的球体表面，它没有延伸到无限（无限永远是个令非专业人士感到不舒适的概念），并且被认为是封闭的，或者说具有正的曲率。不难看出，球面上的平行线具有很奇特的行为——取任意两条经度线，在赤道上出发时是相互平行的，像所有其他的经度线一样，朝着南北两个方向延伸，最后它们将在南北极有两次相交会的机会。在一个诸如这种封闭的表面上，三角形内角之和总是大于180°（图2.3）。总而言之，由欧几里得几何学所支配的平坦表面，只不过是开放和封闭空间之间一种特殊和边缘的情况。事实上，在开放和封闭空间中，存在着许多非欧几里得几何学的可能性。但数学家们却没有意识到这一点，直到伯恩哈德·黎曼的工作出现时才改变。黎曼是高斯19世纪50年代的学生，除其他工作之外，他最重要的贡献就是发现了“球面”几何学。