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生活在公元前300年左右的欧几里得，其名字已经成为一种几何学的“标准”形式，这倒不是因为他发明（或发现）了这个几何学的全部内容，而是因为他把这种几何学的全部都囊括进了十三卷称之为《几何原本》的专著之中。他生活在亚历山大港，可能曾就读过柏拉图设在雅典的学院，并且很可能不是在公元前340年柏拉图去世之后。就其个人而言，他不一定是个伟大的数学家（当然阿基米德也不一定是），但他生活在古希腊数学探索伟大时代的末期，并且把所有的一切都清楚地记录下来。他使用了逻辑化的推理，从少数几个诸如什么是我们所说的“点”或“直线”等之类的定义和基本公理出发，证明了各种各样的几何性质（诸如三角形的内角和等于180°之类）。《几何原本》最早被翻译成阿拉伯文，之后又翻译成拉丁文，从而使数学的这一基础幸存和延续了两千多年。
但欧几里得的一条关于平行线的基本假设，总是引起证明上的麻烦。这条基本假设被称为平行公设。它说，如果有一条给定的直线，在该直线之外有一个点，通过这个点，能且仅能画出另一条直线，可以和第一条直线平行。虽然这个概念似乎是常识，用一把尺子、铅笔和纸进行反复验证，会说服大多数人相信它肯定是真的，但平行公设实际上又是无法用欧几里得几何学的其他公理加以证明的。1733年，意大利数学家吉罗拉莫·萨凯里（Girolamo Sacchri）指出，平行公设必须是在至少存在着一个三角形，且其内角总和为180°的情形下才成立。实际上他考虑过在三角形中并非上述情况的可能性，但他错误地认为，他已经证明了这种可能性是不存在的。所以，萨凯里错过了发现非欧几何的机会。然而，欧几里得几何学本身，已在17世纪被勒内·笛卡儿（René Descartes）的工作所改变。
笛卡儿生于1596年，是法国布列塔尼地方议会一个议员的儿子。他是一个多病的孩子，并习惯了躺在床上进行思考。他在一个耶稣会学院接受教育，然后在普瓦提埃大学学习法律，并于1616年毕业。但他没有选择作为一个学者或律师的平静生活，而是在之后十几年中把自己的大部分时间都用于在欧洲的各种军队中服役，把他的数学天才花费在作为一个军事工程师的角色上。当他在巴伐利亚公爵的军中服役时，1619年的11月10日，在冬天的多瑙河畔，笛卡儿躺在自己温暖的床上，进入了他有关几何学的革命性思考。我们之所以知道发现的确切日期和当时环境，是因为笛卡儿自己后来在他的皇皇巨著《科学中正确运用理性和追求真理的方法论》（ A discourse on the Method of rightly conducting the Reason and seeking Truth in the Sciences ）中详细地讲述了这些情况。该书出版于1637年，通常简称为《方法论》。
1629年，当笛卡儿离开了军队之后，他定居在了荷兰。我们现在仍很希望他一直留在荷兰。但在1649，他终于忍不住接受了瑞典克莉丝汀女王发出的邀请，成为她在斯德哥尔摩宫廷的成员，去帮助建立一个科学院，并给她教授哲学。在到达斯德哥尔摩的时候，笛卡儿已经50多岁了。让他恐怖的是，他发现每天早晨都不能再躺在床上了，他的职责包括每天早上5点就要去见女王，为她进行私人授课。在瑞典式的严冬里，他很快就开始感冒发烧，并发展成肺炎，这个病症（加上当时医生所惯常使用的放血疗法）最终葬送了他。他死于1650年2月，距离其54岁生日还差短短的几周时间。
笛卡儿在其《方法论》中所表现出来的对于几何学的洞察力，连同他的许多其他工作一起，使他跻身于一流的哲学家和科学思想家之列。这不仅是在他那个年代如此，而是在任何时代都如此。他在很多方面都是第一个现代型的思想家，他拒绝接受任何超出合理怀疑之外并无法得到证明的东西，甚至包括人体的运行可以用机械的和科学原理进行解释，摒弃幕后有神秘力量在起作用的概念。但只有他的一个伟大见解与我的故事相关。当笛卡儿躺在床上看着苍蝇嗡嗡嗡地在他房间的墙角里不规则运动时，他所领会到的是，任意时刻苍蝇飞行的位置都可以简单地用三个数字，即从相接于墙角的三个面（两个墙面和一个天花板）到该苍蝇之间的特定距离，来加以确定。虽然他立刻就看出这是一个三维的形式，但在地球表面或在一张方格纸上，我们更习惯于二维的坐标系统。在一张方格纸上，某个点可以用两个数，即x和y来加以确定的观念，对于我们确实已经是如此的根深蒂固，以至于今天的人都想不到这个主意也不奇怪。但笛卡儿想到了这个著名的并以他的名字来命名的位置测量系统，即笛卡儿坐标系。如果在一座现代化的城市里，通过告诉他“向北三个街区，向东两个街区”来指点某人去寻找目的地，或者，采用数字编号的方块将其目的地标示在一张城市地图上时，那就是在用笛卡儿坐标指引方向了（图2.1）。
图2.1 应用笛卡儿坐标系，三对数字——（2，3），（6，6），（8，1）完全定义一个特殊的三角形。
以相同的方式，采用笛卡儿坐标系，就可以描绘特殊几何形状的性质。当选择一组数轴作为参考（通常是两条相互垂直的直线，例如，x轴和y轴）时，则可以用三对数字定义一个三角形三个顶点的位置。如此一来，笛卡儿就开辟了用数组之间的关系——代数方程——来研究几何的可能性。他也通过用图形代表方程，从而开辟了将代数问题转化为几何问题的可能性。
而这一切并不限于诸如三角形之类的直线图形。对于二维空间中的任何曲线，都可以用指定了沿线各点的数字对（x和y值）来定义，或者由告诉了如何得到x和y值的方程来定义。同样的事情应用到三个维度（例如，计算苍蝇的飞行轨迹）上，只要具备三个参考坐标轴和三个坐标数值即可。
从哪儿开始测量坐标数呢？这并不重要！可以把衡量的基准（我们在中学时所画的那些图形的坐标轴原点）放在任意的地方，甚至可以将数轴扭转方向，或改变它们之间的角度，使它们不再是直角，仍然会有一套独特的笛卡儿坐标来描述所感兴趣的线条。正如可以用一组数字（或方程）来描述曲线的形状一样，也可以使用一套数字（或相应的方程）来描述诸如纸张平面、地球表面、软饮料桶的表面，或者（原则上）更复杂的如一张揉皱纸的表面等曲面形状。这正是19世纪数学家们所做的工作，他们借助笛卡儿所提供的工具，最终超越了欧几里得。