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【例题 4.1】 试求如图 4.1（a）所示外伸梁中 C 、 D 左邻和右邻截面上的剪力和弯矩。
图 4.1 例题 4.1 图
【分析】 求解梁内力是正确绘制剪力和弯矩图的前提条件。通常求解梁横截面上的内力时，先要求支座反力。利用截面法求解梁内力时，通常假设所求内力的符号均为正的，这样求出来的结果符合内力正负规定，而无须说明，也可利用计算规律直接计算梁内力。
【解】 （1）求支座反力。
首先，解除支座约束，代之以约束反力，作受力图，如图 4.1（b）所示。设支座反力分别为
F
C
y
、
F
E
y
，根据静力学平衡条件求得：
（2）求内力。
•方法一：利用截面法。
①欲求 C 左邻截面的内力，可沿 C 左邻截面将梁截开，取其左侧部分为研究对象，作受力图，如图 4.1（c）所示。截面上的内力按剪力和弯矩的正负号规定，均画成正的。列出静力平衡方程：
解得
②欲求 C 右邻截面的内力，同理，取其左侧部分为研究对象，作受力图，如图 4.1（d）所示。列静力平衡方程：
解得
③欲求 D 左邻截面的内力，同理，取其左侧部分为研究对象，作受力图，如图 4.1（e）所示。列静力平衡方程：
解得
④欲求 D 右邻截面的内力，同理，取其左侧部分为研究对象，作受力图，如图 4.1（f）所示。列静力平衡方程：
解得
•方法二：利用计算规律直接计算。
因为梁任一截面上的剪力和弯矩与该截面以左（或以右）梁上外力向该截面形心简化后的主矢和主矩大小相等、方向相反，所以梁内任一横截面上的剪力，在数值上等于该截面左侧（或右侧）梁上所有外力在垂直轴线方向上投影的代数和。梁内任一横截面上的弯矩，在数值上等于该截面左侧（或右侧）梁上所有外力（包括外力偶）对该截面形心的力矩的代数和。
① C 左邻截面的内力：
② C 右邻截面的内力：
③ D 左邻截面的内力：
④ D 右邻截面的内力：
【例题 4.2】 利用 q （ x ）、 F S （ x ）、 M （ x ）之间的微分关系绘制如图 4.2（a）所示外伸梁的剪力图和弯矩图。
图 4.2 例题 4.2 图
【解】 （1）求支座反力。
首先，解除支座约束，代之以支座反力，作受力图，如图 4.2（b）所示。根据静力学平衡条件求得： F A y ＝ 1.17 qa （↑）， F B y ＝ 3.83 qa （↑）。
（2）剪力图绘制（从左向右）。
A 截面上有向上的支座反力 F A y ＝ 1.17 qa ，故 A 截面上的剪力向上突变，突变量为 1.17 qa ， A 处右邻截面的剪力为 F S A＋ ＝ 1.17 qa 。
AB 段梁上有向下的均布荷载 q ，剪力图为斜向下的直线，在 B 处左邻截面上的剪力为 F S B－ ＝1.17 qa －3 qa ＝－1.83 qa 。
B 截面上有向上的支座反力 F B y ＝ 3.83 qa ，故 B 截面上的剪力向上突变，突变量为 F S B ＝3.83 qa ， B 处右邻截面上的剪力为 F S B＋ ＝－1.83 qa ＋3.83 qa ＝ 2 qa 。
BC 段梁上无荷载作用，所以剪力为常量，均等于 F S B＋ ＝ 2 qa 。
（3）弯矩图绘制。
AB 段：梁上有向下的均布荷载 q ，所以弯矩图为向下凸的抛物线，且根据微分关系，剪力 F S ＝ 0 处（即 x ＝ 1.17 a 截面上），抛物线取得极大值 M max ＝ 0.68 qa 2 。
A 截面无集中力偶作用， M A ＝ 0。
B 处截面有支座反力，无集中力偶，故弯矩不发生突变，可计算得到 M B ＝－ qa 2 。
三点以一向下凸的平滑抛物线连接即为此分段弯矩图。
BC 段：梁上无荷载作用，所以剪力为常量，故弯矩图为斜向下的直线。
C 截面上作用有逆时针的集中力偶，在弯矩图上产生突变，突变量为 qa 2 ，在 C 处左邻截面上的弯矩为 M C－ ＝ qa 2 。
以直线连接 B 、 C 两截面处的点，即为此分段弯矩图。