材料力学学习指导与习题精解最新章节_杨震著

3.3 习题精解

【习题 3.1】（略）

【习题 3.2】冲床冲压钢板如图 3.3 所示，已知钢板厚度 t ＝ 8 mm，冲头直径 d ＝ 20 mm，冲头的许用挤压应力［ σ _bs ］＝ 1 440 MPa，若钢板材料的抗剪强度 τ _b ＝ 300 MPa。试求所需的冲压力 F ，并校核冲头的挤压强度。

图 3.3 习题 3.2 图

【解】（1）剪切面即为钢板内侧被冲头冲出的圆柱体表面。其面积为

A ＝ πdt ＝ 3.14 × 20 mm × 8 mm ＝ 502.4 mm ²

要完成钢板的冲压所需的冲力为

（2）挤压面为冲头端部面积：

在上述冲力作用下，挤压力为

F _bs ＝ 150.72 kN

此时，挤压应力为

综上，冲头的挤压强度满足要求。

【习题 3.3】如图 3.4（a）所示轴的直径 d ＝ 80 mm，键的尺寸为 b ＝ 24 mm， h ＝ 14 mm。键的许用切应力［ τ ］＝ 40 MPa，许用挤压应力［ σ _bs ］＝ 90 MPa。若由轴通过键所传递的扭转力偶矩 M _e ＝ 3.2 kN·m，试求所需键的长度 l 。

【解】（1）由键的剪切强度设计 l 。

沿图 3.4（a） n — n 截面假想的将键切开成两部分，并把 n — n 截面以下部分和轴作为整体来考虑。因 n — n 截面上的切应力均匀分布，有

图 3.4 习题 3.3 图

F _S ＝ A τ ＝ blτ

对轴心取矩，由平衡方程，得

（2）由键的挤压强度设计 l 。

右侧侧面挤压力为

由于图 3.4（b） n — n 截面上部分水平方向力平衡

F _S ＝ F _bs

由此可得， l ≥126.98 mm。

综上， l 取为 127 mm。

【习题 3.4】木榫接头如图 3.5 所示。 a ＝ b ＝ 120 mm， h ＝ 350 mm， c ＝ 45 mm， F ＝ 40 kN。试求接头的剪切应力和挤压应力。

【解】作用在木榫接头上的剪力为 F ，剪切面面积为 bh ，接头的切应力为：

作用在木榫接头上的挤压力 F ，挤压面面面积为 bc ，接头的挤压应力为：

图 3.5 习题 3.4 图

图 3.6 习题 3.5 图

【习题 3.5】如图 3.6 所示，凸缘联轴节传递的扭矩 T ＝ 3 kN·m。 4 个直径 d ＝ 12 mm的螺栓均匀地分布在 D ＝ 150 mm的圆周上。材料的许用切应力［ τ ］＝ 90 MPa，试校核螺栓的抗剪强度。

【解】假设每只螺栓所承受的剪力相同，都为 F _S 。4 个螺栓所受剪力对联轴节轴线的力矩之和与联轴节所传递的力偶矩 M _e 相平衡，所以得到：，即有

则

故螺栓的抗剪强度满足要求。

【习题 3.6】如图 3.7 所示，螺钉受拉力 F 作用。已知材料的许用切应力［ τ ］和许用正应力［ σ ］之间的关系为［ τ ］＝ 0.6［ σ ］。试求螺钉直径 d 与钉头高度 h 的合理比值。

图 3.7 习题 3.6 图

【解】当螺钉杆和螺钉头内的应力同时达到各自的许用应力时， d 和 h 之比最为合理。螺钉杆的拉伸强度条件为

螺钉头的剪切强度条件为

上两式相比，得

所以

【习题 3.7】两块同一种材料的钢板用 7 个铆钉连接，如图 3.8（a）所示。已知钢板厚度 t ＝ 6 mm，宽度 b ＝ 200 mm，铆钉直径 d ＝ 18 mm。材料的许用应力[ σ ]＝ 160 MPa， [ τ ]＝100 MPa， [ σ _bs ]＝ 240 MPa。荷载 F ＝ 150 kN，试校核此接头的强度。

图 3.8 习题 3.7 图

【解】（1）受力分析，以上部分钢板和螺钉为研究对象，作受力图如图 3.8（b）所示。

则有螺钉剪切力和挤压力分别为：

（2）螺钉的剪切和挤压强度计算。

（3）钢板的拉伸强度计算。

通过受力比较，知 2—2 和 3—3 截面更危险。

综上，接头安全。

【习题 3.8】铆钉连接如图 3.9（ a）所示，已知钢板的厚度 t ＝ 10 mm，铆钉直径 d ＝ 15 mm，铆钉的许用切应力［ τ ］＝ 120 MPa，许用挤压应力［ σ _bs ］＝ 200 MPa， F ＝20 kN，试校核铆钉的强度。

图 3.9 习题 3.8 图

【解】（1）受力分析，以下部分钢板及铆钉为研究对象，如图 3.9（b）、（c）所示。

则有铆钉剪切力和挤压力分别为

F _S ＝ F

F _bs ＝ F

（2）铆钉的剪切应力和强度计算。

（3）铆钉的挤压应力和强度计算。

铆钉强度满足要求。

【习题 3.9】画出如图 3.10 所示各轴的扭矩图。

【解】该题计算轴的内力——扭矩，应采用截面法进行计算。即在指定的截面位置处用一个假想的截面把杆件截开，取出其中的一部分，在截开的截面上假设相应的内力，最后利用平衡方程进行求解。

图 3.10 习题 3.9 图

（a）解：如图取截面

1—1 截面：

2—2 截面：

3—3 截面：

扭矩图：

（b）解：

（c）解：

（d）解：

【习题 3.10】传动轴如图 3.11 所示，主动轮 A 输入功率 P _A ＝ 420 kW，从动轮 B 、 C 、 D 输出功率分别为 P _B ＝ P _C ＝ 120 kW， P _D ＝ 180 kW，轴的转速 n ＝ 300 r／ min。试绘制该轴的扭矩图。

图 3.11 习题 3.10 图

【解】（1）外力偶矩计算。

（2）根据截面法作轴的扭矩图。

【习题 3.11】薄壁圆管扭转切应力公式为（ R ₀ 为圆管的平均半径，t为壁厚），试证明： R ₀ ≥10 t 时，该公式的最大误差不超过 4.53％。

【证】薄壁理论切应力公式：

空心圆轴扭转切应力公式：

误差：

当 R ₀ ≥10 t 时，误差

证毕。

【习题 3.12】如图 3.12 所示，已知变截面钢轴上的外力偶矩 M _e _B ＝ 1.8 kN·m， M _e _C ＝1.2 kN·m，试求该轴的最大切应力和最大相对扭转角。（已知 G ＝ 80 GPa）

图 3.12 习题 3.12 图

【解】（1）计算内力，得到内力图。

（2）计算 τ _max 。

由此得到： τ _max ＝ 48.9 MPa。

（3）计算 φ _max 。最大相对扭转角发生在 C 端。

【习题 3.13】材料及长度相同的两根圆轴，一根为实心圆轴，直径为 d ，一根为空心圆轴，内外径比值为 α ＝ 0.8，外径为 D ，求它们受扭时具有相同强度时的质量比及刚度比。

【解】由于两根圆轴强度相同，受扭空心轴和实心轴在相同外力偶作用下其最大切应力相等，由此可得两轴的抗扭截面系数相同。即

W _t _空＝ W _t _实

其中

则有：π D ³ (1－ α ⁴ )／16 ＝π d ³ ／16，可求得：

相同强度时，质量比即为截面面积比

由刚度设计准则，确定轴能承受的最大扭矩为 T _max ＝［ φ ］ GI _p 。材料相同，在单位许用扭转角相同的条件下，其刚度比即为极惯性矩之比：

【习题 3.14】如图 3.13 所示，手摇绞车由两人同时操作，若每人加在手柄上的作用力 F ＝ 200 N，已知轴的许用切应力［ τ ］＝ 40 MPa，试根据强度条件设计 AB 轴的直径，并确定最大起重量 W 。（图示中尺寸单位为mm）

图 3.13 习题 3.14 图

【解】（1） AB 轴直径计算。

（2）最大起重量 W 计算。

设传动时齿轮间的切向力为 F ₁ ，则由平衡条件有：

再由平衡条件得：

【习题 3.15】如图 3.14 所示的等截面圆轴，已知 d ＝ 100 mm， l ＝ 500 mm， M _e1 ＝ 8 kN·m， M _e2 ＝ 3 kN·m， G ＝ 82 GPa。求：①最大切应力；② A 、 C 两截面间的相对扭转角；③若 BC 段的单位长度扭转角与 AB 段相等，则 BC 段的内径 d ₁ 应为多大？

图 3.14 习题 3.15 图

【解】作出轴的扭矩图，可知最大扭矩 T _max ＝ 5 kN·m。

（1）最大切应力发生在 AB 段最外边缘，为

（2） AC 两截面间相对扭转角为

（3）要是 AB 段和 BC 段的单位长度扭转角相同，则 BC 段需设置成空心截面，其内径需要满足

即

【习题 3.16】一直径 d ＝ 40 mm的实心圆轴所传递的功率为 30 kW，转速 n ＝ 1 400 r／ min。该轴由 45 号钢制成，许用切应力［ τ ］＝ 40 MPa，切变模量 G ＝ 80 GPa，单位长度杆的许用扭转角［ φ′ ］＝ 1 °／ m。试校核此轴的强度和刚度。

【解】（1）外力偶矩计算。

（2）最大切应力及强度校核。

强度满足要求。

（3）单位长度的扭转角及刚度校核。

刚度满足要求。

综上，该轴强度和刚度均满足要求。

【习题 3.17】阶梯圆轴如图 3.15 所示， AE 段为空心，外径 D ＝ 140 mm，内径 d ＝ 100 mm； BC 段为实心， d ＝ 100 mm。外力偶 M _e _A ＝ 18 kN·m， M _e _B ＝ 32 kN·m， M _e _C ＝ 14 kN·m，已知［τ］＝ 80 MPa，［ φ′ ］＝ 1.2°／ m， G ＝ 80 GPa。试校核该轴的强度和刚度。