【习题 2.1】 试求图 2.5 中各杆 1—1 和 2—2 横截面上的轴力，并作杆件的轴力图。

【解】 （a）解：根据外力可知，该杆分为 2 段，分别计算其内力。

（1）用截面法求 1—1 横截面上的轴力。

①用假想的平面沿着 1—1 横截面切开，留下右部分进行研究，并代入相应的内力，如图 2.6所示。

②根据平衡条件，由平衡方程

解得

F _N1 ＝ 3 F

（2）用截面法求 2—2 横截面上的轴力。

①用假想的平面沿着 2—2 横截面切开，留下右部分进行研究，并代入相应的内力，如图 2.7 所示。

②根据平衡条件，由平衡方程

解得

F _N2 ＝ F

（3）画轴力图，如图 2.8 所示。轴力图坐标原点与杆的左端对齐。

（b）解： F _N1 ＝ 2 F ， F _N2 ＝ 0。画轴力图如图 2.9 所示。

（c）解： F _N1 ＝ 2 F ， F _N2 ＝－ F 。画轴力图如图 2.10 所示。

（d）解：根据外力可知，该杆分为 3 段，分别计算其内力。

用同样的分析方法，可求出左右两个分段的轴力。

F _N1 ＝ 2 F

F _N2 ＝ 0

对于中间一段，在如图 2.11 所示位置切开，保留左边一部分，代入相应的内力。

根据平衡条件，由平衡方程

解得

画轴力图如图 2.12 所示。

【习题 2.2】 试求如图 2.13 所示的等直杆横截面 1—1，2—2 和 3—3 上的轴力，并作轴力图。若横截面面积 A ＝ 400 mm ² ，试求各横截面上的应力。

【解】 （1）用截面法计算各横截面上的轴力。

F _N1 ＝ 30 kN， F _N2 ＝－10 kN， F _N3 ＝－30 kN

（2）画轴力图，如图 2.14 所示。

（3）计算各段横截面上正应力。

【习题 2.3】 如图 2.15 所示的阶梯柱，从上至下横截面面积依次为 A ₁ ＝ 200 mm ² ， A ₂ ＝ 300 mm ² ， A ₃ ＝ 400 mm ² ，作轴力图，并求各段内的正应力。

【解】 （1）作轴力图。

该柱分为上中下 3 段，各段的轴力分别为：

F _N1 ＝－10 kN， F _N2 ＝ 10 kN， F _N3 ＝－20 kN

画轴力图，如图 2.16 所示。

（2）计算各段的正应力。

【习题 2.4】 如图 2.17 所示为一旋臂吊车的计算简图， AC 杆为刚性杆，斜杆 AB 为直径 d ＝ 20 mm的钢杆，起吊的荷载 W ＝ 20 kN，小车可以在梁 AC 上左右移动。当小车移到何处时，斜杆 AB 横截面上的应力最大？等于多少？

【解】 （1）计算轴力。

当小车移动到靠近铰 A 时，斜杆 AB 横截面上的正应力最大。取 AC 杆为研究对象，受力图如图 2.18 所示。

根据平衡条件，列平衡方程为

解得

F _N ＝ 51.54 kN

（2）计算正应力。

【习题 2.5】 直径为 10 mm的圆杆，在拉力 F ＝ 10 kN的作用下，试求最大切应力，并求与横截面的夹角为 α ＝ 30°的斜截面上的正应力及切应力。

【解】 （1）计算最大切应力。

最大切应力发生在45°的斜截面上，由题可知：

轴力

F _N ＝ 10 kN

横截面上正应力

则最大切应力

（2）计算 α ＝ 30°的斜截面上的正应力及切应力。

【习题 2.6】 如图 2.19 所示的试样，厚度 δ ＝ 2 mm，试验段板宽 b ＝ 20 mm，标距 l ＝ 100 mm。在轴向拉力 F ＝ 6 kN的作用下，测得试验段伸长Δ l ＝ 0.15 mm，板宽缩短Δ b ＝ 0.015 mm。试确定该材料的弹性模量 E 和泊松比 μ 。

【解】 （1）确定弹性模量 E 。

由题可知，轴力

F _N ＝ 6 kN

横截面正应力

纵向线应变

由胡克定律

σ ＝ E ε

可得

（2）确定泊松比 μ

横向线应变

泊松比

【习题 2.7】 某种材料的试样，直径 d ＝ 10 mm，标距 l ₀ ＝ 100 mm，由拉伸试验测得其拉伸曲线如图2.20所示，其中 d 为断裂点。试求：①此材料的延伸率约为多少？②由此材料制成的构件，承受拉力 F ＝ 40 kN，若取安全系数 n ＝ 2，求构件所需的横截面面积。

【解】 （1）计算材料的延伸率。

由 F⁃ Δ l 曲线可知，材料拉断时的变形为 d 点横坐标值，约为 28.75 mm。则断后延伸率

（2）确定横截面面积。

由 F ⁃Δ l 曲线可知，屈服极限应力

许用应力

承受拉力 F ＝ 40 kN时，横截面上的轴力

F _N ＝ 40 kN

由强度条件

可得

即构件所需的横截面面积 A ＝ 349.07 mm ² 。

【习题 2.8】 等截面直杆受力情况和各段长度如图 2.21 所示，杆件截面积 A ＝ 400 mm ² ， F ₁ ＝ 60 kN， F ₂ ＝ 20 kN， F ₃ ＝ 20 kN，材料的［ σ ］＝ 200 MPa，试校核杆件的强度。

【解】 （1）计算各段轴力。

AB段轴力

F _N1 ＝ F ₂ ＋ F ₃ － F ₁ ＝－20 kN

BC段轴力

F _N2 ＝ F ₂ ＋ F ₃ ＝ 40 kN

CD 段轴力

F _N3 ＝ F ₃ ＝ 20 kN

（2）强度校核。

由于是等直杆，所以最大正应力发生在轴力最大的一段。

因为 σ _max ＜ ［ σ ］，所以该杆的强度足够。

【习题 2.9】 如图 2.22 所示的铰接正方形结构，各杆的横截面面积都等于 30 cm ² ，材料均为铸铁，其许用拉应力［ σ _t ］＝ 35 MPa，许用压应力［ σ _c ］＝ 150 MPa，试求结构的许可荷载。

【解】 （1）分别计算拉杆和压杆的轴力。

根据结构和受力的对称性可知： AD 、 DC 、 AB 、 BC 杆均为拉杆，且轴力相等； AC 杆为压杆。

现分别取结点 D 和结点 A 进行受力分析。

取结点 D 为研究对象（如图 2.23）， AD 和 DC 杆受到的轴力均为 F _N1 。

根据平衡条件，由平衡方程

解得

取结点 A 为研究对象（如图 2.24）， AD 和 AB 杆受到的轴力均为 F _N1 。

根据平衡条件，由平衡方程

解得

（2）确定许可荷载。

由拉应力的强度条件可得

即

由压应力的强度条件可得

综上可知，许可荷载

［ F ］＝ 148.49 kN

【习题 2.10】 如图 2.25 所示结构， BC 和 BD 均为边长 a ＝ 60 mm的正方形截面木杆， DC 为直径 d ＝ 10 mm的圆形截面钢杆。已知 F ＝ 8 kN，木材的许用应力［ σ _木 ］＝ 10 MPa，钢材的许用应力［ σ _钢 ］＝ 160 MPa，试分别校核木杆和钢杆的强度。

【解】 （1）计算各杆轴力。根据结构及受力的对称性可知， BC 和 BD 杆的轴力相等，且铰 D 处的约束力为 F ／ 2。

取结点 D 作为研究对象，受力图如图 2.26 所示。

根据平衡条件，列平衡方程。

由 ，解得：

由 ，解得：

（2）强度校核。

木杆的工作应力：

钢杆的工作应力：

因此，木杆和钢杆的强度均足够。

【习题 2.11】 如图 2.27 所示结构， BC 和 BD 都是圆截面直杆，直径均为 d ＝ 25 mm，材料都是Q235 钢，其许用应力［ σ ］＝ 160 MPa。试求该结构的许用荷载。

【解】 计算轴力：取结点 B 为研究对象，如图 2.28 所示。由平衡方程可得

由此可知，最大的工作应力在 BC 杆。

由强度条件： ，可得：

解得

F ≤ 107.29 kN。

故许可荷载：［ F ］＝ 107.29 kN。

【习题 2.12】 气动夹具如图 2.29 所示，已知气缸内径 D ＝ 164 mm，缸内气压 p ＝ 0.8 MPa，活塞杆材料为 20 钢，［ σ ］＝ 80 MPa。试设计活塞杆的直径 d 。

【解】 计算轴力：根据题意可知，活塞所受到的压力为

则活塞杆轴力

根据强度条件

可得

即

解得

d ≥ 16.32 mm

故取活塞的直径 d ＝ 16.32 mm。

【习题 2.13】 变截面直杆如图 2.30 所示，已知： A ₁ ＝ 400 mm ² ， A ₂ ＝ 800 mm ² ， E ＝ 200 GPa，求各段变形及杆的总伸长变形。

【解】 （1）计算各段杆轴力。

由题可知

F _N1 ＝－40 kN， F _N2 ＝－100 kN

（2）计算各段杆变形。

（3）计算杆总的伸长变形。

Δ l ＝Δ l ₁ ＋Δ l ₂ ＝－1.35 mm

【习题 2.14】 图 2.31 中的M12 螺栓内径 d ₁ ＝ 10.1 mm，拧紧后在计算长度 l ＝ 80 mm内产生的总伸长为Δ l ＝ 0.025 mm。钢的弹性模量 E ＝210 GPa，试计算螺栓内的应力和螺栓的预紧力。

【解】 （1）计算螺栓内的应力。

由线应变定义可知

由胡克定律可得

σ ＝ E ε＝ 210 × 103 MPa × 0.000 313 ＝ 65.625 MPa

（2）计算预紧力。

由

可得

即预紧力 F ＝ 5.26 kN 。

【习题 2.15】 等截面杆承受轴向均布荷载如图 2.32 所示， q 、 l 、 EA 均为已知，试求该杆的伸长量。

【解】 （1）计算轴力。

用截面法计算距离自由端 x 位置处横截面上的轴力，受力图如图 2.33 所示。

由 可得

F _N （ x ）＝ qx （0 ≤ x ＜ l）

（2）计算杆的伸长量。

距离自由端 x 处取一微段d x ，并计算其伸长量。

则整根杆的伸长量

【习题 2.16】 如图 2.34 所示，结构 CD 为刚性杆， AB 为直径 d ＝ 25 mm的圆截面钢杆，其弹性模量 E ＝ 210 GPa， a ＝ 1 m。现测得 AB 杆的纵向线应变 ε ＝ 8×10 ^－4 ，求此时荷载 F 的大小及 D 点的竖向位移。

【解】 （1）确定 F 的大小。

根据胡克定律，可计算出 AB 杆的正应力。

σ ＝ Eε ＝ 210 × 103 MPa × 8 × 10－ ⁴ ＝ 168 MPa

由正应力计算公式

可得

取 CD 杆为研究对象，受力如图 2.35 所示。

由平衡方程

解得

（2）计算 D 点的竖向位移 δ _D 。

分析结构变形后的情况（如图 2.36 所示），可知

其中

则

【习题 2.17】 如图 2.37 所示结构，在结点 B 处承受集中荷载 F 的作用，试按以下两种情况求结点 B 的水平位移和竖直位移。

① BC 是刚性杆， BD 的抗拉刚度为 EA ；

② BD 是刚性杆， BC 的抗拉刚度为 EA 。

【解】 （1）计算各杆的内力。

取结点 B 为研究对象，受力如图 2.38 所示。由平衡方程

解得

（2）当 BC 是刚性杆时， BD 杆的变形为Δ l _BD 。

分析结构变形后的几何关系，如图 2.39 所示。

可知

则 B 点的水平位移

δ _Bx ＝ 0

B 点的竖直位移

（3）当 BD 是刚性杆时， BC 杆的变形为Δ l _BC 。

分析结构变形后的几何关系，如图 2.40 所示。

则 B 点的水平位移

B 点的竖直位移

【习题 2.18】 如图 2.41 所示结构， AB 为一刚性杆， CD 为钢制斜拉杆。已知 CD 的横截面面积 A ＝ 200 mm ² ，弹性模量 E ＝ 200 GPa， F ＝ 10 kN，求 CD 杆的伸长量和 A 点的垂直位移。

【解】 （1）计算 CD 杆的轴力。取 AB 杆为研究对象，受力如图 2.42 所示。

由平衡方程

解得

（2）计算 CD 杆的伸长量。

（3）计算 A 点的垂直位移 δ _{A y} 。

分析结构变形后的几何关系，如图 2.43 所示。

可知

即 δ _A y＝ 4.24 mm。

【习题 2.19】 如图 2.44 所示，设 CG 为刚体， BC 为铜杆， DG 为钢杆，两杆的横截面面积分别为 A ₁ 和 A ₂ ，弹性模量分别为 E ₁ 和 E ₂ 。如要求 G 处的位移是 C 处的两倍，试求 x 。

【解】 （1）计算各杆轴力。分析 CG 杆的受力情况，如图 2.45 所示。

由平衡方程

联立求解，得

（2）确定 x 。

BC杆的变形

DG杆的变形

题目要求 G 处的位移是 C 处的两倍，即

解得

【习题 2.20】 如图 2.46 所示结构，设 BD 和 BC 分别为直径是 30 mm和 20 mm的圆截面杆， E ＝ 200 GPa， F ＝ 10 kN，试求 B 点的垂直位移。

【解】 （1）计算各杆的轴力。

取结点 B 作为研究对象，受力如图 2.47 所示。

由平衡方程

解得

（2）计算各杆的变形。

BC 杆的变形

BD杆的变形

（3）分析结构变形后的几何关系。

由图 2.48 可知

则

又

则

由三角形 M′MB″ 与三角形 M′B′B 相似，且 可得

即

解得

则 B 点的垂直位移 JsJHu4V8uLuj6+Vk1+LgOJiDNw4KOvCkyitcIGUbfgnRLEG7fFdc9YIfL1D327t5