上面讲的是对线段树的点更新和区间查询，若要求对区间中的所有点都进行更新，该怎么办？若对区间的每个点都进行更新，则时间复杂度较高，可以引入懒操作。下面讲解带有懒标记的区间更新和区间查询操作。

1. 区间更新

对[ l , r ]区间进行更新，例如将[ l , r ]区间的所有元素都更新为 v ，步骤如下。

（1）若当前节点的区间被查询区间[ l , r ]覆盖，则仅对该节点进行更新并做懒标记，表示该节点已被更新，对该节点的子节点暂不更新。

（2）判断是在左子树中查询还是在右子树中查询。在查询过程中，若当前节点带有懒标记，则将懒标记下传给子节点（将当前节点的懒标记清除，将子节点更新并做懒标记），继续查询。

（3）在返回时更新最值。

例如，在[1, 10]区间的线段树中修改[4, 8]区间的值为20，其过程如下。

（1）先判断[4, 8]区间是否覆盖树根区间[1, 10]，树根划分点mid=(1+10)/2=5，查询区间横跨树根的左右子树区间，分别到左右子树中查找区间[4, 8]，若当前节点有懒标记，则下传懒标记。

（2）在左子树[1, 5]中查找更新区间[4, 8]，划分点mid=(1+5)/2=3，查询区间在右子树中，到右子树[4, 5]中查找区间[4, 8]，若该节点有懒标记，则下传懒标记。更新区间[4, 8]正好覆盖[4, 5]区间，更新最值并做懒标记。

（3）在右子树[6, 10]中查找更新区间[4, 8]，划分点mid=(6+10)/2=8，查询区间在左子树中，到左子树[6, 8]中查找更新区间[4, 8]，若该节点有懒标记，则下传懒标记。更新区间[4, 8]正好覆盖[6, 8]区间，更新最值并做懒标记。

（4）返回时，更新节点的最值为其左右子树最值的最大值。

算法代码：

2. 区间查询

带有懒标记的区间查询和普通的区间查询有所不同，在查询过程中若遇到节点有懒标记，则下传懒标记，继续查询。例如，查询[6, 7]区间的最值，过程如下。

（1）求树根[1, 10]的划分点，mid=(1+10)/2=5，查询区间[6, 7]在右子树中，继续判断，经过[6, 8]区间时，该节点有懒标记，则下传懒标记（当前节点的懒标记清除，下传至左右子节点）。

（2）继续判断，找到[6, 7]区间，返回该区间的最值即可。

算法代码：

3. 算法分析

线段树采用了分治算法策略，其点更新、区间更新、区间查询均可在 O (log n )时间内完成。树状数组和线段树都用于解决频繁修改和查询的问题，树状数组可以实现点更新、区间和查询，线段树可以实现点更新、区间更新和区间查询。树状数组比线段树节省空间，代码简单易懂，但是线段树用途更广、更灵活，凡是可以用树状数组解决的问题都可以用线段树解决。 bgihg32edn8z42JvyN+gqLHv/r49IWj9z7KbUAmPMB0ZfsztDvLddaKe7hImaPNg