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08 城堡的常用技巧

1.线段的极大值

考虑到线段的长度受限于盘面的大小,那么我们一般先从最大数入手。左图中3右侧只能画出长度为3的线段,我们可以直接画出。这一条线段画出后,提示2的上方只能画出两条线段了,因此这一列也可以确定。

右图中,通过提示2画出一条线段后,延伸线段形成回路,此时第一行已经有一条长度1的线段,余下格子不能形成线段。

2.线段的互斥与抽屉

我们来看下图中所示的结构。提示2的右侧最多有三个横向的路径,我们要从其中选两个。如果按下面左图的方式走线,我们会发现数字1的提示无法放入。这种结构叫作互斥。

进一步观察发现,提示2右边的3个可能位置,左侧两格最多仅有一条线段,因此右侧处必须有一条线。这就是抽屉原理,N条线段在N+1个可能位置中时,经常使用这一思路。

3.黑与白的性质

根据规则,黑框一定在回路外侧,白框一定在回路内侧,因此有如下左图所示的结论。

城堡的一个很重要的结论,就是黑格与白格之间,必定有奇数条线将内外两侧进行区分,常用的结构见右图。

与之同理,同色之间必然只可能有偶数条线(包括0条),当黑格之间最多只能放入一条线时,则必定没有线。

4.回路的性质

利用回路的谜题,回路的性质都非常重要。后文中的数回谜题和珍珠谜题等都是回路类型的谜题,涉及回路性质的部分将不再赘述。

回路一般有两种性质,一种是延展性,另一种是连通性。延展性是指线条会进行延伸,例如下面左图的线条必定会延展成右图的结构,可以理解为线头要“走出去”,最终与自身闭合。

因为延展性,回路不能走到题目里的死角,下面左图中,我们可以叉掉一些路径,然后得到线索。

下面右图是另一个常见的情况,左上角区域一定是要经过的,这一部分的线头一定要延展出去,和右下角的线段连接。此时线段的两端必定从这一区域仅有的两个出口延伸出去。

连通性是防止回路提前闭合的一种性质。在下图中,我们对上文中的延展性图示进行了修改,在盘面的其余部分也有线段时,左上角的回路不能提前闭合,否则将形成不只一个回路。

另外的一些比较复杂的情况如下面两张图所示。在下面两张图中,如果线段往打叉的方向走,那么一定会形成提前闭合的回路。 ls1W4IZYGjJvPnRmZJFskkL0FPv33Lb1OrCdHTQJNGQlkt3p/klayDHjTZL7o4nR

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