1.5　流体在管内的流动阻力

实际上理想流体是不存在的。流体在流动过程中需要消耗能量来克服流动阻力，本节讨论流体流动阻力的产生、影响因素及其计算，以解决流体在管截面上的速度分布及伯努利方程式中流动阻力∑ h _f 的计算问题。

1.5.1　流动阻力

流动阻力产生的原因与影响因素可以归纳如下：流体具有黏性，流动时存在着内摩擦，它是流动阻力产生的根源；固定的管壁或其他形状固体壁面促使流动的流体内部发生相对运动，为流动阻力的产生提供了条件。流动阻力的大小与流体本身的物理性质、流动状况及壁面的形状等因素有关。

流体在管路中流动时的阻力有两种：

（1）直管阻力——流体流经一定管径的直管时，因流体内摩擦而产生的阻力 h _f 。

（2）局部阻力——流体流经管路中的管件、阀门及管截面的突然扩大或缩小等局部地方所产生的阻力 。

1.5.2　流体在直管中的流动阻力

1．计算圆形直管阻力的通式——范宁公式

推导计算圆形直管阻力通式的基础，是流体做定态流动时的受力平衡。

流体以一定速度在圆管内流动时，受到方向相反的两个力的作用：一个是推动力，其方向与流动方向一致；另一个是摩擦阻力，其方向与流动方向相反。当这两个力达到平衡时，流体做定态流动。

现分析不可压缩流体以速度 u 在一段水平直管内做定态流动的情况，如图1-32所示。

在图中1—1′与2—2′两截面之间（以管中心线为基础水平面）列伯努利方程式并化简，得到

p ₁ - p ₂ ＝ ρh _f （1-41）

流体在直径为 d ，长度为 l 的水平管内受力情况如下：

促使流体向前流动的推动力

平行作用于流体柱表面上的摩擦力 F ＝ τS ＝ τπdl

定态流动时，以上两力应大小相等方向相反，则得

即

由式（1-41）得

为了便于工程计算并突出影响流动阻力各因素，将式（1-42）进行变换，得到

令 λ ＝8 τ / ρu ² ，则得

或

式（1-43）与式（1-43a）是计算圆形直管阻力所引起能量损失的通式，称为范宁公式。此式对湍流和滞流均适用，式中 λ 为摩擦系数，无因次，其值随流型而变，湍流时还受管壁粗糙度的影响，但不受管路铺设情况（水平、垂直、倾斜）所限制。

2．管壁粗糙度对 λ 的影响

按材料性质和加工情况，将管道分为两类，即水力光滑管，如玻璃管、黄铜管、塑料管等；粗糙管，如钢管、铸铁管、水泥管等。其粗糙度可用绝对粗糙度 ε 和相对粗糙度 ε /d表示。

某些工业管道的粗糙度范围列于表1-5中。

当流体做滞流流动时，管壁上凹凸不平的地方都被有规则的流体层所覆盖，流体质点对管壁凸出部分不会有碰撞作用。所以，在滞流时，摩擦系数与管壁粗糙度无关， λ 仅为 Re 的函数。

当流体做湍流流动时，靠管壁处总存在着一层滞流层，如图1-33（a）所示，如果滞流内层的厚度 δ _b 大于壁面的绝对粗糙度，即 δ _b ＞ ε ，此时管壁粗糙度对摩擦系数的影响与滞流相近。随着 Re 数的增加，如图1-33（b）所示，滞流内层的厚度逐渐变薄，当 δ _b ＜ ε 时，壁面凸出部分便伸入湍流区内与流体质点发生碰撞，使湍流加剧，此时壁面粗糙度对摩擦系数的影响便成为重要的因素。 Re 值愈大，滞流内层愈薄，这种影响愈显著。

3．滞流时的摩擦系数

仍以如图1-32所示的水平圆管内的定态流动为例讨论。设为等径水平管稳流，则

故滞流时的直管阻力 h _f 与 μ、l、u 成正比，与 ρ、d ² 成反比。

比较式

和

所以滞流时

λ ＝64/ Re （1-44）

式中： 为管内流动的雷诺数。

4．湍流时的摩擦系数（因次分析规划实验法）

（1）问题的提出

湍流时内摩擦应力可仿牛顿黏性定律写出

由于湍流时影响因素的复杂性，难以通过数学方程式直接求解，须通过实验建立经验关联式。借助因次分析方法规则组织试验，以减少试验工作量，并将试验结果整理成便于推广应用的经验关联式。

（2）因次分析的基础——因次一致原则和Π定理

①因次一致的原则

凡是根据基本物理规律导出的物理方程中各项的因次必相同。如以等加速度a运动的物体，在 θ 时间内所走过的距离l可用下式表示，即

式中： l 为在 θ 时间内物体所走过的距离，m； u ₀ 为物体的初速度，m/s； a 为物体的加速度，m/s ² 。

各项均为长度因次

L ＝（ Lθ ^-1 ） θ ＋（ Lθ ^-2 ） θ ² （1-46）

②白金汉Π定理

任何因次一致的物理方程均可表达成一组无因次数群的零函数，即

无因次数群的数目 i ，等于影响该现象物理量数目 n 减去用以表示这些物理量的基本因次数目 m ，即

i ＝ n - m （1-48）

由于式（1-48）中的物理量数目 n ＝4，即 l、u、a、θ ，基本因次数 m ＝2，即 L、θ ，所以无因次数群数目 i ＝4-2＝2，即 及 。

（3）实验研究的基本步骤

若过程比较复杂，仅知道影响某一过程的物理量，而不能列出该过程的微分方程，则常采用雷莱指数法，将影响该过程的因素组成为无因次数群。下面以湍流时流动阻力问题为例说明雷莱指数法的用法和步骤。

①析因试验——寻找影响过程的主要因素

对所研究的过程进行初步试验的综合分析，尽可能准确地列出主要影响因素。

如对湍流阻力所引起的压强降Δ p _f 的影响因素包括：流体性质： ρ、μ ；设备几何尺寸： d、l、ε ；流动条件：主要为流速 u 。

待求的一般不定函数关系式为

Δ p _f ＝ ⏀ （ d，l，u，ρ，μ，ε ）　（1-49）

也可用幂函数来表示，即

Δ p _f ＝ Kd ^a l ^b u ^c ρ ^j μ ^k ε ^q （1-49a）

②因次分析法规划实验——减少实验工作量

式（1-49a）中的 k、a、b 等均为待定值，各物理量的因次分别为

［ p ］＝ Mθ ^-2 L ^-1 ，［ d ］＝［ l ］＝［ ε ］＝ L ，［ ρ ］＝ ML ^-3 ，［ u ］＝ Lθ ^-1 ，［ μ ］＝ ML ^-1 θ ^-1

把各物理量的因次代入式（1-49a）并整理得到

Mθ ^-2 L ^-1 ＝ M ^{j ＋ k} θ ^{- c - k} L ^{a ＋ b ＋ c -3 j - k ＋ q}

根据因次一致原则，两侧各基本量因次的指数应相等，即对于因次 M ，1＝ j ＋ k ；对于因次 θ ，-2＝- c - k ；对于因次 L ，-1＝ a ＋ b ＋ c -3 j - k ＋ q 。

将 a、c、j 表示为 b、k 及 q 的函数，则可解得

a ＝- b - k - q ， c ＝2- k ， j ＝1- k

于是（1-49a）变为

Δ p _f ＝ Kd ^-b-k-q l ^b μ ^{2- k} ρ ^{1- k} μ ^k ε ^q

把指数相同的物理量合并在一起，便得到无因次数群的关系式，即

式中： 称为欧拉准数，以 E _u 表示； 即 Re 准数； 为相对粗糙度。

③实验数据处理与待定数的确定

变换式（1-50），得到

与式（1-43）相比较，可得

（a）湍流 λ 经验关联式

湍流下 λ 的经验公式很多，在此仅举三例。

光滑管

上式适用的范围为 Re ＝3×10 ³ ～1×10 ⁵ 。

粗糙管

上式适用于 。

上式适用于 Re ＝3×10 ³ ～3×10 ⁶ 。

（b）湍流 λ 关联图

在过程计算中，为使用方便，一般将实验数据进行综合整理，以 为参数，标绘 λ-Re 关系曲线，如图1-34所示，由 Re 及 值便可查得 λ 值。

图中可划分为四个区域，各区域的影响因素如表1-6所示。

由图看出，在湍流区，当 一定时， λ 随 Re 值增大而下降；当 Re 值一定时， λ 随 的增加而增大。

在过渡区计算流动阻力时，为安全起见，一般将湍流时的曲线延伸，以查取 λ 值。

④因次分析方法的评价

优点：用数群代替物理量试验，可减少试验工作量，试验易于进行；结果便于推广；可不要微分方程式。

缺点：确定物理量及整理数群的任意性，不能代替试验。

5．圆管内实验结果的推广——非圆形管的当量直径

一般说来，截面形状对速度分布及流动阻力的大小都会有影响。实验表明，对于非圆形截面的通道，可以用一个与圆形管直径 d 相当的“直径”来代替，称作当量直径，用 d _e 表示。当量直径等于4倍水力半径 r _H 。水力半径 r _H 定义为流体在流道里的流通截面 A 与润湿周边 Π 之比，即

水力半径

对于直径为 d 的圆形管子，由水力半径的定义可知

当量直径

d _e ＝4 r _H （1-54）

当流体在非圆形管内做湍流流动时，在计算 h _f 及 Re 的有关表达式中，均可用 d _e 代替 d 。但需注意：①不能用 d _e 来计算流体通道的截面积，流速和流量；②滞流时， λ 的计算式（1-44）须修正， λ ＝ C/Re ，式中 C 值随流通形状而变，如表1-7所示。

在化工中经常遇到的套管换热器环隙间及矩形截面的当量直径可分别表示如下：

套管换热器环隙当量直径为

d _e ＝ d ₁ - d ₂

式中： d ₁ 为套管换热器外管内径，m； d ₂ 为套管换热器的内管外径，m。

矩形截面的当量直径为

式中： a、b 分别代表矩形的两个边长，m。

1.5.3　管路上的局部阻力

当流体的流速大小或方向发生变化时，均产生局部阻力。局部阻力造成的能量损失有两种计算方法。

1．局部阻力系数法

克服局部阻力所引起的能量损失，可表示成动能 的某个倍数，即

入口 ζ _c ＝0.5，出口 ζ _e ＝1。突然扩大或缩小的 ζ 值可查图1-35。管件阀门的 ζ 值可查表1-8。

2．当量长度法

把局部阻力折算成相应长度的直管阻力，即

式中： l _e 称为局部阻力的当量长度，m。表示流体流过某一管件或阀门的局部阻力，相当于流过一段与其具有相同直径、长度为 l _e 的直管阻力。实际上是为了便于计算，把局部阻力折算成一定的直管阻力。可由图1-36管件与阀门的当量长度共线图查出。由左边管件或阀门对应的点与右侧管内径相应点的连线与中间标尺的交点读取 l _e 值。

必须指出：用阻力系数法及当量直径法所求得的结果并不一定相同，它们只是一种近似的估算法。注意以下两点：

（1）管路出口上动能和能量的损失只能取一项。当截面选在出口内侧时，取动能；选在出口外侧时，取能量损失（ ξ _e ＝1）。

（2）不管突然扩大还是缩小， u 均取小管中的流速。

1.5.4　管路系统中的总能量损失

管路系统的总能量损失（总阻力损失）是管路上全部直管阻力和局部阻力之和。当流体流经直径不变的管路时，可写出

式中：∑ h _f 为管路系统总能量损失，J/kg；∑ ζ 为管路中局部阻力系数之和； l 为各段直管总长度，m。

式中：∑ l _e 为管路中局部阻力当量长度之和，m。

应该注意，上式仅适用于直径相同的管段或管路系统的计算。当管路系统中存在若干不同直径的管段时，管路的总阻力应逐段计算，然后相加。

根据上述可知，欲降低∑ h _f ，可采取如下的措施：

（1）合理布局，尽量减少管长，少装不必要的管件阀门。

（2）适当加大管径并尽量选用光滑管。

（3）在允许的条件下，将气体压缩或液化后输送。

（4）高黏度液体长距离输送时，可用加热方法（蒸气伴管）或强磁场处理，以降低黏度。

（5）允许的话，在被输送液体中加入减阻剂。

（6）管壁上进行预处理——低表面能涂层或小尺度肋条结构。

但是有时为了某工程目的，需人为地造成局部阻力或加大流体湍动（如液体搅拌，传热传质过程的强化）。

例1-12 如图1-37所示，将敞口高位槽A中密度870kg·m ^-3 、黏度0.8mPa·s的溶液自流送入设备B中。 p _B ＝10kPa，阀门前、后的输送管道分别为 ⏀ 38mm×2.5mm和 ⏀ 32mm×2.5mm的无缝钢管，阀门前、后直管段部分总长分别为10m和8m，管路上有一个90°弯头、一个标准阀（全开）。为使溶液能以4m ³ ·h ^-1 的流量流入设备B中，问 z 为多少米？

解 在面1—1′与2—2′间列机械能衡算式

查表1-5取管壁绝对糙度 ε ＝0.2mm，则

突然缩小 ζ ₁ ＝0.5，查表1-7知90°弯头 ζ ₂ ＝0.75，则 8KgCE0xu0rF4wnNsAIDr4U36sEoXcM+sFm2KN0/kNeS1PqXw3eSqFqqlt2RYI9Uo