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前面一节讲了流体的静力学，着重讨论了流体静力学基本方程。流体流动时的规律要比静止时复杂得多。本节首先介绍与流体流动有关的概念。
1．流量和流速
（1）流量
单位时间内流过管道任一截面的流体量，称为流量。流量用两种方法表示：体积流量——以 V s 表示，单位为m 3 /s；质量流量——以 w s 表示，单位为kg/s。
体积流量与质量流量的关系为
w s ＝ V s ρ （1-13）
（2）流速
流体质点单位时间内在流动方向上所流过的距离，称为流速，以 u 表示，其单位为m/s。但是，由于流体具有黏性，流体流经管道任一截面上各点速度沿管径而变化，在管中心处最大，随管径加大而变小，在管壁面上流速为零。工程计算中为方便起见，取整个管截面上的平均流速——单位流通面积上流体的体积流量，即
式中： A 为与流动方向相垂直的管道截面积，m 2 。于是
w s ＝ uAρ （1-15）
（3）质量流速
单位时间内流体流过管道单位截面积的质量，称为质量流速或质量通量，以 G 表示，其单位为kg/（m 2 ·s），其表达式为
由于气体的体积随温度和压强而变化，在管截面积不变的情况下，气体的流速也要发生变化，采用质量流速为计算带来方便。
（4）管径、体积流量和流速之间的关系
对于圆形管道，以
d
表示其内径，则有
，于是
式中 V s 一般由生产任务规定，而适宜流速则通过操作费和基建费之间的经济权衡来确定。
大流量长距离管道内某些流体的常用流速范围见表1-1。
表1-1 某些流体在管道中的常用流速范围
适宜流速的大小与流体性质及操作条件有关。如悬浮液不宜低速，高黏度、高密度及易燃易爆流体不宜高流速。
2．定态流动与非定态流动
（1）定态流动
各截面上流体的有关参数（如流速、物性、压强）仅随位置而变化，不随时间而变，流动系统如图1-13（a）所示。
图1-13 流动情况示意图
（2）非定态流动
流体流动有关物理量随位置和时间均发生变化，流动系统如图1-13（b）所示。
化工生产中多属连续定态过程。
如图1-14所示，选择一段管路或容器作为所研究的控制体，该控制体的控制面为管或容器的内壁面、截面1—1′与2—2′组成的封闭表面。流体在管道中做定态流动时，其间既无物料累积也无物料漏损时，根据质量守恒原理可得
w 1 ＝ w 2
图1-14 管路系统的总质量衡算
因为 w s ＝ uAρ ，则上式可写为
w s ＝ u 1 A 1 ρ 1 ＝ u 2 A 2 ρ 2 （1-18）
推广之
w s ＝ u 1 A 1 ρ 1 ＝ u 2 A 2 ρ 2 ＝…＝ uAρ ＝常数 （1-18a）
对于不可压缩流体（ ρ ＝常数），可得到
V s ＝ u 1 A 1 ＝ u 2 A 2 ＝…＝ uA ＝常数 （1-18b）
式（1-18）～式（1-18b）统称为管内定态流动时的连续性方程式。
连续性方程式反映了一定流量下，管路各截面上流速的变化规律。对于圆形管道内不可压缩流体的定态流动，可得到
例1-7
设图1-14所示的系统中输送的是水。已知吸入管道1的直径为
⏀
108×4mm，系统排出管道2的直径为
⏀
76×2.5mm。水在吸入管内的流速为1.5m/s，求水在排出管中的流速（水为不可压缩流体）。
解
伯努利方程式是流体流动中机械能守恒和转化原理的体现，它描述了流入和流出系统的流体量及有关流动参数间的定量关系。
伯努利方程推导的思路：从解决流体流动问题的实际需要出发，采用逐步简化的方法，即流动系统的总能量衡算（包括内能和热能）→流动系统的机械能衡算→不可压缩流体定态流动的机械能衡算。
1．流动系统的总能量衡算
衡算范围：1—1′与2—2′两截面及内壁面。
衡算基准：1kg流体。
基准水平面：0—0′平面。
（1）流动流体所具有的能量
设 u 1 、 u 2 分别为流体在截面1—1′及2—2′处的流速，m/s； p 1 、 p 2 分别为流体在截面1—1′及2—2′处的压强，Pa； Z 1 、 Z 2 为垂直距离，m； A 1 、 A 2 分别为1—1′及2—2′处的截面积，m 2 ； v 1 、 v 2 分别为流体在截面1—1′及2—2′处的比容，m 3 /kg。
①1kg流体进出系统时输出和输入能量有下列各项：
内能：物体内部能量的总和。设1kg流体输入、输出的内能分别为 U 1 、 U 2 ，单位J/kg。
位能：由重力场计起的位能，即物体反对重力而做的功。位能＝ mgZ ，单位为kg·m 2 /s 2 ＝N·m＝J，所以1kg流体输入、输出的位能分别为 gZ 1 、 gZ 2 ［J/kg］。
动能：由物理学中知道，质量为
m
，速度为
u
的物体具有的动能
，单位为kg·m
2
/s
2
＝J，所以1kg流体输入、输出的动能分别为
。
静压能（压强能）：静止的流体内都有一定的静压强存在，流动着的流体内部的任何位置也都有一定的静压强存在，流体克服这个静压强所做的功就是流体的静压能，或者叫作流动功。
设质量为 m 、体积为 V 1 的流体，通过截面1—1′，设流体推进此截面所需的作用力为 p 1 A 1 ，而流体通过此截面所走的距离为 V 1 / A 1 ，则流体带入系统的静压能为
输入静压能＝ p 1 A 1 V 1 / A 1 ＝ p 1 V 1
对于1kg流体，输入静压能＝ p 1 V 1 / m ＝ p 1 v 1 ；同理，1kg流体输出静压能： p 2 v 2 ，其单位为J/kg。
在上述各能量中，位能、动能、静压能又称为机械能，三者之和称为总机械能或总能量。
②此外在如图1-15所示衡算范围内还接有换热器及泵，则进出系统的能量还包括：
图1-15 流动系统的总能量衡算
热：换热器向系统或从系统移走的热量。设换热器移走或提供单位质量流体的热量为 Q e ［J/kg］。
外功（净功）：流体经过泵或其他输送设备所获得的能量。设单位质量的流体经过输送设备所获得的能量为 W e ［J/kg］。
综上所述，1kg流动流体所具有的能量如表1-2所示。
表1-2 流动流体具有的能量
（2）能量守恒定律
根据热力学第一定律，1kg流体为基准的连续定态流动系统的能量衡算式为
或
式（1-19）与式（1-19a）即定态流动过程的总能量衡算式，也是流动系统热力学第一定律表达式。
2．流动系统的机械能衡算
（1）流体定态流动的机械能衡算式
由热力学第一定律知，1kg流体从1—1′截面流至2—2′截面时，内能的增量等于其所获得的热能减去因流体被加热而引起体积膨胀所消耗的功，即
式中：
为1kg流体流经两截面间因被加热而引起体积膨胀所做的功，J/kg；
为1kg流体在两截面间所获得的热量，J/kg。
实际上，
由换热器加入的热量
Q
e
及能量损失∑
h
f
两部分组成，即
式中：∑ h f 为1kg流体流经两截面间的沿程能量损失（转化为内能），J/kg。
由数学知
将如上三式代入式（1-19），得到
此式即流体定态流动的机械能衡算式，适用于可压缩和不可压缩流体。
（2）伯努利方程式——不可压缩流体定态流动的机械能衡算式
对于不可压缩流体，
，因而将式（1-22）中的
项积分后可得
或
对于理想流体，∑ h f ＝0，再若无外功加入，则有
式（1-24）称为伯努利方程式，式（1-23）及式（1-23a）是伯努利方程式的引申，习惯上也称伯努利方程式。
从上面推导过程可看出，伯努利方程适用于不可压缩流体连续的定态流动。
3．伯努利方程的讨论
（1）理想流体伯努利方程式的物理意义：1kg理想流体在管道内做定态流动而又没有外功加入时，其总机械能
是守恒的，但不同形式的机械能可以互相转换。
（2）式（1-23a）中各项单位均为J/kg，但应区别各项能量所表示的不同意义： gZ 、 u 2 /2、 p/ρ 指某截面上流体本身所具有的能量；∑ h f 为两截面间沿程的能量消耗，具有不可逆性； W e 为1kg流体在两截面间获得的能量，即输送机械对1kg流体所做的有效功，是输送机械的重要参数之一。单位时间内输送机械所做的有效功称为有效功率，用 N e 表示，其单位为W，即
N e ＝ W e w s （1-25）
（3）压头和压头损失以1N流体为基准，则黏性流体的伯努利方程式变为
式中各项单位为J/N或m，其中Δ
Z
、
分别为位压头、动压头和静压头；
H
e
为输送机械的有效压头；
H
f
则为压头损失。
（4）流体静力学基本方程式是伯努利方程式的特例。当系统中的流体处于静止状态时，则式（1-23a）变为
（5）伯努利方程式的推广
①对于可压缩流体的流动，当
（绝压）＜0.2时，仍可用式（1-23a）计算，但式中的
ρ
要用两截面间的平均密度
ρ
m
代替。
②非定态流动的任一瞬间，伯努利方程式仍成立。
伯努利方程式与连续性方程式的联合应用，可解决流体输送中的各种有关问题，其中还包括进行管路计算及根据流体力学原理进行流速或流量的测量等。
1．伯努利方程式解题要点
（1）作图与确定衡算范围
根据题意画出流动系统的示意图，并指明流体的流动方向。定出上、下游截面，以明确流动系统的衡算范围。
（2）截面的选取
两截面均应与流动方向相垂直，并且在两截面间的流体必须是连续的。所求的未知量应在截面上或在两截面之间，且截面上的 Z、u、p 等有关物理量，除所需求取的未知量外，都应该是已知的或能通过其他关系计算出来。
两截面上的 u、p、Z 与两截面间的∑ h f 都应相互对应一致。
（3）基准水平面的选取
基准水平面可以任意选取，但必须与地面平行。如衡量系统为水平管道，则基准水平面通过管道的中心线，Δ Z ＝0。
（4）两截面上的压强
两截面的压强除要求单位一致外，还要求基准一致。
（5）单位必须一致
在用伯努利方程式解题前，应把有关物理量换算成一致的单位，然后进行计算。
2．应用举例
（1）确定管道中流体的流量
例1-8
20℃的空气在直径为80mm的水平管流过。现于管路中接一文丘里管，如图1-16所示。文丘里管的上游接一水银U管压差计，在直径为20mm的喉颈处接一细管，其下部插入水槽中。空气流过文丘里管的能量损失可忽略不计。当U管压差计读数
R
＝25mm、
h
＝0.5m时，试求此时空气的流量。大气压强为101.33×10
3
Pa。
图1-16 例1-8附图
解 该题有两项简化，即
当理想流体处理，∑ h f ＝0；
可压缩流体当不可压缩流体对待，取平均密度 ρ m 。
计算的基本过程：
根据题意，绘制流程图，选取截面和基准水平面，确定衡算范围，见图1-16。
核算两截面间绝压变化是否小于20％
则：
在两截面间列伯努利方程式，并化简得
将 ρ m 代入上式并整理，可得
用连续性方程式确定 u 1 与 u 2 之间关系，即
联立式（a）及式（b）解得 u 1 ＝7.34m/s，于是
（2）确定设备间的相对位置
例1-9
有一输水系统，如图1-17所示，水箱内水面维持恒定，输水管直径为
⏀
60×3mm，输水量为18.3m
3
/h，水流经全部管道（不包括排出口）的能量损失可按∑
h
f
＝15u
2
公式计算，式中
u
为管道内水的流速（m/s）。
图1-17 例1-9附图
（1）求水箱中水面必须高于排出口的高度；
（2）若输水量增加5％，管路的直径及其布置不变，管路的能量损失仍可按上述公式计算，则水箱内的水面将升高多少米？
解 该题是计算伯努利方程中的位能项（两截面间的位差）。解题的要点是根据题给条件对伯努利方程作合理简化。
解题步骤：绘出流程图，确定上、下游截面及基准水平面，如图1-17所示；在两截面间列伯努利方程式并化简（ W e ＝0， p 1 ＝ p 2 ， Z 2 ＝0，由于 A 1 ≥ A 2 ， u 1 ≈0）可得到
（1）设水箱中水面高于排出口的高度为 H ，将有关数据代入式（a）便可求得 Z 1 （ H ），即
于是
（2）输水量增加5％后， u 2 及∑ h f 分别变为
于是，水箱内的水面将升高
Δ H ＝8.58m-7.79m＝0.79m
（3）确定输送设备的有效功率
例1-10
用泵将贮液池中常温下的水送至吸收塔顶部，贮液池水面维持恒定，各部分的相对位置如图1-18所示。输水管的直径为76×3mm，排水管出口喷头连接处的压强为6.15×10
4
Pa（表压），送水量为34.5m
3
/h，水流经全部管道（不包括喷头）的能量损失为160J/kg，试求泵的有效功率。
图1-18 例1-10附图
解 泵的有效功率用式（1-25）计算，即
N e ＝ W e w s （a）
式中 w s 为规定值， W e 则需用伯努利方程式计算，即
截面、基准水平面的选取如图1-18所示。但要注意2—2′截面必须选在排水管口与喷头的连接处，以保证水的连续性。
式（b）中：Δ p ＝6.15×10 4 Pa， u 1 ≈0，∑ h f ＝160J/kg。
于是
若泵的效率为0.75，则泵的轴功率为
N ＝ N e / η ＝4.6/0.75kW＝6.13kW
（4）确定管路中流体的压强
例1-11
水在如图1-19所示的虹吸管内做定态流动，管路直径没有变化，水流经管路的能量损失可以忽略不计，试计算管内截面2—2′、3—3′、4—4′、5—5′处的压强。大气压强为1.0133×10
5
Pa，图中所标注的尺寸均以mm计。
图1-19 例1-11附图
解 为计算管内各截面的压强，应首先计算管内水的流速。先在贮槽水面1—1′及管子出口内侧截面6—6′间列伯努利方程式，并以截面6—6′为基准水平面。
在本题条件下，作两点简化假定，即∑ h f ＝0及 u 1 ≈0，且由题给条件， Z 6 ＝0， p 1 ＝ p 6 ＝0（表压）， Z 1 ＝1m，于是伯努利方程简化为
对于均匀管径，各截面积相等，流速不变，动能为常数，即
理想流体各截面上总机械能为常数，即
以2—2′为基准水平面，则贮水面1—1′处的总机械能为
仍以2—2′为基准水平面，则各截面的压强计算通式为
则
p 2 ＝（130.8-9.81-0）×1000Pa＝120990Pa
p 3 ＝（130.8-9.81-9.81×3）×1000Pa＝91560Pa
p 4 ＝（130.8-9.81-9.81×3.5）×1000Pa＝86660Pa
p 5 ＝（130.8-9.81-9.81×3）×1000Pa＝91560Pa
由上面计算数据可看出：对于等径管路，各截面上动能相等（连续性方程式）。理想流体在等径管路中流动，同一水平面上各处的压强相等（总机械能守恒）。