4.3.2 第一类错误和第二类错误之间的关系

在其他条件不变的情况下，第一类和第二类错误率的变化呈反向的关系。即，第一类错误率增大，第二类错误率就减小；第一类错误率减小，第二类错误率就增大。下面举个例子。

已知随机变量 X 服从正态分布，总体标准差 σ ＝2.5，但是总体平均数 μ 未知，零假设是： μ ＝ μ ₀ ＝10。同时，假设实际上正态分布随机变量 X 的总体平均数 μ ＝ μ ₁ ＝12， σ ＝2.5。设定 α ＝0.05，试求在双侧和单侧检验条件下的第二类错误率 β 。在标准正态分布中， α ＝0.05，则计算双侧检验的 Z 分数（又称临界值）的R函数是qnorm（1－0.05／2），由此得到的临界值是1.96。如果在总体平均数 μ ＝ μ ₀ ＝12和总体标准差 σ ＝2.5的正态分布中随机抽样（ n ＝20）计算得到的 Z 分数小于1.96，则不拒绝零假设，出现第二类错误。如果抽样计算得到的 Z 分数大于或等于1.96，则正确拒绝零假设。由此产生的第一类和第二类错误率如图4.4左分图所示。如果采用单侧检验，则 α ＝0.05时， Z 分数临界值为1.644 9（约为1.64）。同样，如果从总体平均数 μ ＝ μ ₀ ＝12和总体标准差 σ ＝2.5的正态分布中随机抽样（ n ＝20）计算得到的 Z 分数小于1.644 9，则不拒绝零假设，出现第二类错误。如果抽样计算得到的 Z 分数大于或等于1.644 9，则正确拒绝零假设。第一类和第二类错误率的关系如图4.4右分图所示。

图4.4左分图显示，采用双侧检验时， α ／2＝0.025，第二类错误率较低（ β ＝0.053），统计效力很高（0.947）。右分图显示，采用单侧检验时， α ＝0.05，第二类错误率下降（ β ＝0.027），统计效力更高（0.973）。

由于第二类错误率和统计效力存在简单的函数关系，本例第二类错误率的计算可以利用pwr数据包中的函数pwr.norm.test（d＝NULL，n＝NULL，sig.level＝0.05，power＝NULL，alternative＝c（'two.sided'，'less'，'greater'））。在该函数中，d是效应量（effect size，即Cohen’s d ），计算上等于研究假设总体平均数与零假设总体平均数的差异除以标准差。效应量是统计分析中非常重要的统计量，后面章节会对之展开讨论。R函数默认第一类错误率（sig.level）为 0.05，假设检验可采用双侧（'two.sided'）或单侧（'less' ，'greater' ）。