3.3.2 偏度和峰度

描述数据分布形状的两个参数是偏度和峰度。偏度和峰度的测量方法通常有多种。Joanes＆ Gill（1998）比较了三种测量方法。第一种测量偏度和峰度的方法是 g ₁ 和 g ₂ ，计算公式为：

g ₁ 和 g ₂ 是传统的测量方法。后两种方法是对传统方法的改进。第二种偏度和峰度的测量方法是 G ₁ 和 G ₂ ，计算公式为：

第三种偏度和峰度的测量方法是 b ₁ 和 b ₂ ，计算公式为：

其中， s ² ＝ 。建议研究者在实际研究中使用后两种方法。

R计算偏度和峰度需要安装与调用数据包，如R数据包pastecs和e1071。若使用pastecs数据包，采用函数stat.desc（x，norm＝TRUE），其中x是数值向量，变元norm＝TRUE不仅用于返还偏度和峰度值，而且还返还正态分布检验的 W 值和 p 值。函数stat.desc（x，norm＝TRUE）采用第三种方法计算偏度和峰度。若使用e1071数据包，函数skewness（x，type＝2）计算第二种偏度；设置type＝3，计算第三种偏度。若要计算峰度，函数kurtosis（x，type＝2）采用第二种计算方法；设置type＝3，采用第三种方法。

在正态分布中，偏度和峰度值均为0。实际研究中，数据分布的偏度和峰度值通常偏离0值，从而违反正态分布。偏度反映数据分布的对称性。数据分布的右尾巴较长时，小值较多，较大的极端数值（如异常值）使平均数右移，出现正偏态（positively skewed）分布，偏度值大于0。当数据分布的左尾巴较长时，大值较多，较小的极端数值使平均数左移，出现负偏态（negatively skewed）分布，偏度值小于0。峰度也包括正峰态（positive kurtosis）和负峰态（negative kurtosis）。峰度值大于0的分布为正峰态，峰度值小于0的分布为负峰态。一个参考性建议是， skew .2 SE （偏度值与两倍标准误差的商；标准化偏度值）或 kurt .2 SE （峰度值与两倍标准误差的商；标准化峰度值）的绝对值大于1时，说明偏度或峰度有统计显著意义（即数据违反正态分布， p ＜0.05）。R函数stat.desc（x，norm＝TRUE）返还 skew .2 SE 和 kurt .2 SE 。

有时候，用“高狭峰”（leptokurtic）和“低阔峰”（platykurtic）分别描述正峰态和负峰态。需要注意的是，峰态不仅与峰顶有关，也与尾巴有关，而且尾巴的作用更重要。在典型的正峰态分布中，数据分布的尾巴比正态分布的尾巴更重（heavier），其峰顶比正态分布的峰顶更高（higher）。在典型的负峰态分布中，数据分布的尾巴比正态分布的尾巴更轻（lighter），峰顶比正态分布的峰顶更扁平（flatter）。虽然尾巴的轻重和尖峰程度时常是峰度的两个成分，但是峰度也可能主要反映一个成分（如重尾巴）的影响。因此，对于对称分布来说，正峰态或表示尾巴过剩，或表示中央过剩，或表示两者兼而有之，而负峰态或表示尾巴轻，或表示中央轻，或表示两者兼而有之（肩部过剩）（DeCarlo，1997，p.294）

图3.6反映数据违反正态分布的不同情形。

图3.6中的实线代表经验分布，虚线代表理论正态分布。左上图显示，多数数值集中在左边，右尾巴拉长，整个数据分布呈正偏态分布；相对于正态分布，数据分布的右尾巴较重，中央过剩，出现高狭峰，使数据分布呈正峰态。右上图显示，多数数值集中在右边，左尾巴拉长，整个数据分布呈负偏态分布；相对于正态分布，数据分布的左尾巴较重，中央过剩，出现高狭峰，使数据分布呈正峰态。左下图显示，数据大致呈对称分布，没有偏态现象，但是出现明显的低阔峰（即分布呈扁平状，肩部过剩），尾巴偏短，数据分布呈负峰态。右下图显示，数据大致呈对称分布，没有偏态现象，但是出现明显的高狭峰，数据分布为正峰态。 VR3El6ikwTXaJdKAE+DifuHiNBxYSOHHS8eSjI8/inMs+Tm8YJF/twm6Ddhnos6f