3.2.5 标准误差

3.2.5.1 平均数标准误差

样本平均数的标准差称作样本平均数标准误差（standard error， SE ）。它是对统计量从总体（population）中抽样产生的抽样误差（sampling error）的测量。虽然标准误差与标准差都表示离散性，但是它们有重要的区别：标准误差是样本统计量（如平均数）抽样分布的标准差，反映对总体参数（parameter，如总体平均数 μ ）估计的精确度；标准差则反映样本原始数值离中趋势。

平均数标准误差的计算公式为：

其中， σ 是总体标准差， n 是样本量。在大样本情况下，可以用样本标准差 S 代替总体标准差，即：

假如有变量 X 的一组数据（ n ＝20）：38，53，47，46，45，45，44，42，35，38，44，38，41，34，36，35，38，45，32，51，试求样本平均数标准误差。样本数据的平均数 M ＝41.35，则标准差 ≈5.769 9。根据公式3.14，得到 SE ＝ ≈1.29。R计算样本平均数标准误差的函数是trimse（xtr＝，0），其中x是数值向量，截尾量为0。该函数来自数据包Rallfun－v37。

公式3.13和3.14显示，样本量越大，标准误差就越小，样本平均数越接近总体平均数，样本的代表性也就越好，反之亦然。下面采用模拟试验探讨在不同样本条件下平均数标准误差估计与平均数估计精确度之间的关系。假如有一个正态分布总体（平均数 μ ＝10，标准差 σ ＝2）。从这一总体中分别随机抽取 n 1＝10、 n ₂ ＝15和 n ₃ ＝50的样本10 000次，绘制每个样本条件下标准误差估计分布曲线，如图3.1所示。理论上，平均数标准误差为： SE ₁ ＝0.63， SE ₂ ＝0.52， SE ₃ ＝0.28。即，随着样本量增大，平均数标准误差变小，样本平均数估计准确性增强。图3.1显示，随着样本量增大，标准误差估计趋于减小，且标准误差估计的变异性也在减小（即分布越来越集中），从而提高了平均数估计的准确性。

3.2.5.2 截尾平均数标准误差

样本截尾平均数标准误差的计算利用缩尾标准差 s _w 和截尾量 γ ，计算公式为：

计算20％截尾平均数标准误差时，截尾量 γ ＝0.2。R计算样本截尾平均数标准误差的函数是数据包Rallfun－v37中的trimse（x，tr＝0.2），其中x是数值向量，默认的截尾量为0.2。

利用3.2.5.1节变量 X 的数据计算样本20％截尾平均数标准误差。本例 n ＝20， γ ＝0.2， S _w ＝3.918 915。根据公式3.15， SE ＝ ≈1.46。 73mQLAZ1C1M8UmG91WhpY39lfLEY6znltAtTogoR7PnGCfo2PhBXEe702EwFOTJT