1.2 数学规划基本类型

1.2.1 数学规划及其分类

数学规划是研究对现有资源进行统一分配、合理安排、合理调度和最优设计以取得最大效果的数学理论方法。例如，某项确定的任务，怎样以最少的人力、物力去完成；或是对给定的人力、物力要求能最大限度地发挥作用从而能够完成尽可能多的任务。也就是在满足既定目标的要求下，按照某一衡量指标寻求最优方案的问题。必须满足的既定目标的要求称为约束条件，衡量指标称为目标函数，则数学规划就是求目标函数在一定约束条件下的极值问题。

数学规划问题求解“最优”的特征决定了其应用的广泛性。早在18世纪，著名数学家欧拉就曾说：宇宙万物无不与最小化或最大化的原理有关系。经济社会中，在有限的资源下求解最优的计划、路线、组合和策略等问题都可以归结为数学规划问题。数学规划的应用遍及工程、经济、金融、管理、医药和军事等领域。可以说，数学规划的原理渗入社会发展的各个方面，甚至在我们的日常生活里也有各种各样的最优化问题。

要形成一个最优化问题的数学模型，首先需要用合适的决策变量描述系统的特征量，这一步是建立规划问题的基础和关键，一般可以将系统中最值得关注和需要输出的要素设为决策变量（Decision Variable），决策变量的一组取值代表一个具体方案；然后，辨识系统的性能目标如成本、利润、时间等，将目标定量描述为决策变量的函数，也就是目标函数（Objective Function），目标函数决定了问题的优化方向，可以是一个也可以是多个；最后，用决策变量组成的函数表示资源或技术条件，对应的约束用等式或者不等式来定义，形成约束函数（Constraint Functions），变量的限定条件也可以归入约束函数。

数学规划是运筹学中的一个大的体系，包括线性规划、非线性规划、整数规划、多目标规划、组合规划、随机规划、动态规划等。建立数学规划后，可以再根据变量特征、目标函数的数量和形式、约束条件的形式等判定规划问题的类型，然后利用相应的算法或软件求解。

（1）存在多个目标，即目标函数 f （ x ）取一个向量值函数，称为多目标规划（Multi－Objective Programming或Goal Programming）。

（2）如果所有决策变量取整数，称为整数规划（Integer Programming）；一部分变量取整数，另一部分变量取实数，为混合整数规划（Mixed Integer Programming，MIP）；决策变量仅取值0或1的一类特殊的整数规划是0－1规划。

（3）从一个连通无限集合（可行域）中寻找最优解，称为连续优化（Continuous Optimization）问题；从一个有限的集合或者离散的集合中寻找最优解，称为离散优化（Discrete Optimization）也叫组合优化（Combinatorial Optimization）或组合规划。

（4）目标函数和约束函数都是线性的规划问题称为线性规划（Linear Programming，LP）；否则为非线性规划（Nonlinear Programming，NLP）。

（5）最优化目标函数和约束中出现的参数是完全确定的，称为确定型优化（Deterministic Optimization）问题；否则称为非确定型优化（Uncertain Optimization）问题，包括了随机规划（Stochastic Programming）、模糊规划（Fuzzy Programming）等特殊情形。

（6）实际的决策过程是随时间而变化，分析中将决策变量分阶段并需要包含时间参量集为动态规划（Dynamic Programming）；否则为静态规划（Static Programming）。

以上分类依据的标准不同，所以可能会形成不同分类方法交叉形成的混合问题，如非线性整数规划、多目标随机规划等。当然，分类特征越多，问题也会越复杂。