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为了严格、全面地描述火箭的运动和提供准确的运动状态参数，因而需要建立准确的空间运动方程及相应的空间弹道计算方程。这一部分，仅讨论主动段运动微分方程组的建立方法及运动规律。
式（3.1-19）给出了任一变质量质点系在惯性坐标系中的质心动力学矢量方程
结合本章3.2节讨论的火箭实际受力，可知
式中， mg 为作用在火箭上的引力矢量； R 为作用在火箭上的气动力矢量； P st 为发动机静推力矢量； F c 为作用在火箭上的控制力矢量。
且由式（3.2-29）知
考虑附加相对力
与发动机静推力分量合成为推力
P
，见式（3.2-31），则可得火箭在惯性坐标系中以矢量形式描述的质心动力学方程（为书写方便，以后
r
c，m
均写成
r
）
由变质量质点系的绕质心运动方程，即式（3.1-32）：
并结合3.2节火箭分析其所受的外界力矩
式中， M st 为作用在火箭上的气动稳定力矩； M c 为控制力矩； M d 为火箭相对大气转动时引起的阻尼力矩。
根据式（3.2-29）知附加相对力矩、附加哥氏力矩为
则可得到用矢量形式描述的火箭绕质心转动的动力学方程为
用矢量描述的火箭质心动力学方程和绕质心转动的动力学方程固然给人以简洁、清晰的概念，但对这些微分方程求解还必须将其投影到选定的坐标系中来进行。通常，选择发射坐标系为描述火箭运动的参考系。该坐标系是定义在将地球看作以角速度 Ω 进行自转的两轴旋转椭球体上的。
由于发射坐标系为一动参考系，其相对于惯性坐标系以角速度 ω e 转动，故由理论力学中加速度合成定理可知
将其代入式（3.4-2）并整理得
下面将上面等式各项在发射坐标系中分解。
（1）相对加速度项
（2）推力项 P
由式（3.2-30）知，推力 P 在箭体坐标系内描述形式最简单，即
已知箭体坐标系到发射坐标系的方向余弦阵为
，可由式（2.4-9）转置求得，则可知推力
P
在发射坐标系的分量为
（3）气动力项 R
已知火箭飞行中所受的气动力在速度坐标系中的分量为
且速度坐标系到发射坐标系的方向余弦阵为
，可由式（2.6-1）转置求得，则气动力
R
在发射坐标系的分量为
（4）控制力项 F c
由3.2.2节内容可知，无论执行机构是燃气舵或不同配置形式的摇摆发动机，均可将控制力以箭体坐标系的分量表示为同一形式：
而各力的具体计算公式则根据采用何种执行结构而定，因此控制力在发射坐标系的三分量不难用下式求得：
（5）引力项 mg
由式（3.2-85）知
由式（2.4-6）知，空间任一点地心矢径
式中， R 0 为发射点地心矢径，其在发射坐标系三分量可由式（2.4-5）给出； ρ 为发射点到弹道上任一点矢径。
由式（3.4-12）可知 r 0 在发射坐标系的分量为
在发射坐标系的分量可由式（2.8-3）给出，即
式中， ω e x 、 ω e y 、 ω e z 可由式（2.5-8）给出，即
于是可得引力在发射坐标系分量形式：
（6）附加哥氏力项
由式（3.2-29）知
式中， ω T 为箭体相对于惯性坐标系的转动角速度矢量，它在箭体坐标系的分量可表示为
ρ e 为质心到喷口出口中心点距离，即
因此可得
在箭体坐标系的三分量为
从而
在发射坐标系中的分量可由下式来描述：
（7）离心惯性力项- mω e ×（ ω e × r ）
记牵连加速度为
根据式（2.5-8），并注意到
则牵连加速度在发射坐标系中的分量形式为
式中
则离心惯性力 F e 在发射坐标系上的分量为
（8）哥氏惯性力项
记哥氏加速度为
为火箭相对于发射坐标系的速度，有
并注意到式（2.5-8），则（3.4-22）可写为
式中
从而可得哥氏惯性力 F k 在发射坐标系的分量形式为
将式（3.4-6）、式（3.4-8）、式（3.4-9）、式（3.4-11）、式（3.4-15）、式（3.4-17）、式（3.4-21）和式（3.4-25）代入式（3.4-5），并令
P e = P - X 1c
则在发射坐标系中建立的质心动力学方程为
式（3.4-4）如下：
将式中各项在箭体坐标系内进行分解。
由于箭体坐标系为中心惯量主轴坐标系，因此惯量张量式（3.1-29）可简化为
在3.2.4节已给出气动稳定力矩、阻尼力矩在箭体坐标系中各分量表达式：
由于控制力矩与所采用的执行机构有关，这里以燃气舵作为执行机构，则其控制力矩如式（3.2-40）所示，则有
附加相对力矩和附加哥氏力矩矢量表达式如式（3.2-29）所示，则有
注意到在标准条件下，即发动机安装无误差，其推力轴线与箭体轴 X 1 平行，则附加相对力矩为0，而如果控制系统中采用摇摆发动机为执行机构，该附加相对力矩即为控制力矩。
附加力矩向箭体坐标系分解时，只要注意到下式：
则不难得到下式：
则式（3.4-4）即可写成箭体坐标系内的分量形式：
上面建立的质心动力学方程和绕质心转动的动力学方程，其未知参数个数远大于方程数目，因此要求解火箭运动参数还必须补充有关方程。
（1）运动学方程
质心速度和位置参数关系方程为
火箭绕惯性（平移）坐标系转动角速度 ω T 在箭体坐标系的分量，由式（2.4-11）不难得到下式：
原则上可由此解得 φ T 、 ψ T 、 γ T 。
箭体相对于发射坐标系的转动角速度 ω 与箭体相对于惯性（平移）坐标系转动角速度 ω T 、地球自转角速度 Ω 之间有如下关系：
注意到式（2.4-9），则上式在箭体坐标系的投影分量表示式为
（2）控制方程
姿态控制系统的功能是控制火箭姿态运动，实现程序飞行，执行制导导引要求和克服各种干扰影响以保证姿态角稳定在容许范围内。
由陀螺仪或惯性平台提供的测角基准是惯性（平移）坐标系的，火箭绕质心运动可以分解为绕箭体3个轴的角运动。火箭在惯性（平移）坐标系的姿态角则分别为俯仰角 φ T 、偏航角 ψ T 、滚动角 γ T 。因此，姿态控制系统是三维控制系统，对应3个基本控制通道，分别对火箭的3个轴进行控制和稳定。各控制通道的组成基本相同，每个通道有敏感姿态运动的测量装置、形成控制信号的变换放大器和产生操纵作动的执行机构，如图3.4-1所示。
图3.4-1 控制通道示意图
如图3.4-1所示，如从控制姿态角而言，将箭上实际测量的姿态角与预定的程序姿态角组成误差信号，有
式中，
、
、
分别为给定的姿态角，通常取为
式中， φ pr （ t ）称为俯仰程序角，它是随时间按一定规律变化的值。
运载火箭的姿态控制，多采用姿态角及其变化率和位置、速度参数等多回路控制。箭上俯仰、偏航、滚动3个通道的输入信号与执行机构偏转角之间的函数关系称为该通道的控制方程。其一般形式为
此控制方程是由设计提供的。由于火箭角运动的动态过程进行得非常快，对火箭质心运动的影响很小，因而在研究火箭质心运动时，常采用略去动压过程的控制方程，即
式中，
、
、
分别为俯仰、偏航和滚转通道的静态放大系数。
这里要强调指出的是，式（3.4-36）的控制方程对解算标准飞行条件下的火箭质心运动参数是适用的。在实际飞行条件下，控制方程还取决于火箭采用何种制导方法。例如，对于显式制导方法，控制方程
、
、
则要根据火箭飞行实际状态参数及控制泛函（如射程、需要速度等）来实时计算得到；对于开路制导有时为保证火箭在射击平面内飞行及关机点速度倾角为要求值，需要在偏航及俯仰通道加入控制导引信号，如可采用如下控制方程：
式中， k φ u φ 、 k ψ u ψ 两项分别为横向和法向导引相应的附加偏转角。
（3）欧拉角之间的联系方程
由式（2.5-18）知道 φ T 、 ψ T 、 γ T 与 φ 、 ψ 、 γ 的联系方程为
那么所需的 φ 、 ψ 、 γ 可由上式解得。注意到，速度倾角 θ 及航迹偏航角 σ 可由下式解得：
则箭体坐标系、速度坐标系及发射坐标系的8个欧拉角已知5个，其余3个可由式（2.4-9）、式（2.6-1）和式（2.6-2）间的如下关系得出：
即
又由式（3.4-39）可以得出
因 β 、 σ 、 ν 和 γ 均较小，将它们的正弦、余弦量展开成泰勒级数取至一阶量，并将上述各量之一阶微量的乘积作为高阶量略去，则上式可简化、整理为
将 α 也视为小量，按上述原则作进一步简化可得
（4）附加方程
1）速度计算方程
2）质量计算方程
式中，
m
0
为火箭点火瞬间的质量；
为发动机工作单位时间内的质量消耗量；
t
由火箭点火瞬间（
t
=0）开始的计时。
3）高度计算方程
因计算气动力影响，必须知道弹道上任一点距地面的高度 h ，故要补充有关方程。
已知弹道上任一点距地心的距离为
设地球为一两轴旋转椭球体，则地球表面任一点距地心的距离与该点的地心纬度 ϕ 有关。由图2.8-1所示可知，空间任一点矢径 r 与赤道平面的夹角为该点在地球上星下点所在的地心纬度角 ϕ 。该角可由 r 与地球自转角速度矢量 Ω 之间的关系式求得：
则对应地心纬度 ϕ 之椭球表面距地心的距离可根据式（2.4-3）得到：
在理论弹道计算中计算高度时，可忽略图2.8-1所示 μ 的影响，因此，空间任一点距地球表面的距离为
综合上述讨论，可整理得火箭在发射坐标系中的一般运动方程：
以上共32个方程，有32个未知量：
V x 、 V y 、 V z 、 ω T x 1 、 ω T y 1 、 ω T z 1 、 x 、 y 、 z 、 φ T 、 ψ T 、 γ T 、 ω x 1 、 ω y 1 、 ω z 1 、 δ φ 、 δ ψ 、 δ γ 、 φ 、 ψ 、 γ 、 θ 、 σ 、 α 、 β 、 ν 、 r 、 φ 、 R 、 h 、 V 、 m 。原则上当已知控制方程的具体形式后，给出32个起始条件，即可进行求解。
事实上，由于其中有些方程是确定量之间具有明确关系的方程，因此这些量不是任意给出的，而当有关的参数起始条件给出时，它们也相应地确定，如 ω x 1 、 ω y 1 、 ω z 1 、 α 、 β 、 ν 、 φ 、 ψ 、 γ 、 ϕ 、 R 、 h 、 V 、 m 14个参数即属于此种情况。在动力学方程中，有关一些力和力矩（或力矩导数）的参数均可用上述方程组中解得的参数进行计算，其计算式在本章已经给出，这里不再赘述。
火箭空间一般方程较精确地描述了火箭在主动段的运动规律。实际在研究火箭质心运动时，根据火箭飞行情况，为计算方便，可作如下假设：
（Ⅰ）在一般方程中的一些欧拉角，如 ψ T 、 γ T 、 ψ 、 γ 、 σ 、 α 、 β 、 ν 等在火箭有控制的条件下，主动段中所表现的数值均很小。因此可将一般方程中，上述这些角度的正弦值取为该角弧度值，而其余弦值取为1；当上述角度值出现两个以上的乘积时，则可作为高阶项略去。据此，一般方程中的方向余弦阵及附加方程的一些有关欧拉角关系的方程式可做出简化。当然，附加哥氏力项亦可略去。
（Ⅱ）火箭绕质心运动方程是反映火箭飞行过程中的力矩平衡方程。对姿态稳定的火箭，这一动态过程很快，以至于对火箭质心运动不发生影响。因此，在研究火箭质心运动时，可不考虑动态过程，即将绕质心运动方程中与姿态角速度和角加速度的有关项忽略，称为“瞬时平衡”假设。则由式（3.4-4）得
M st + M c =0
将式（3.2-20）和式（3.2-115）代入上式，则有
对于控制方程如取
将式（2.5-18）代入上式即得到略去动态过程的控制方程：
根据假设（Ⅰ），可知式（3.4-43）所示欧拉角关系成立，整理如下：
则可得
其中
根据以上假设，且忽略 ν 、 γ 的影响，即得到在发射坐标系中的空间弹道计算方程：
上式为空间弹道计算方程，给定相应起始条件就可求得火箭质心运动参数。
在实际弹道计算中，有时根据应用需要，用惯性加速度表测量参数视加速度 W ·作为参变量，不难写出除引力以外作用在火箭上的力在箭体坐标系内的各投影值：
式中， a A 为火箭的绝对加速度； g 为引力加速度。则空间弹道计算方程中之质心动力学方程可改写为如下形式：
运用空间弹道计算方程解得的各个参数还用来计算一些有实际应用价值的参量，如箭下点的位置（经、纬度）、射程角、火箭飞行过程中的加速度（切向、法向、侧向）及过载。
1）箭下点的经、纬度
箭下点地心纬度 ϕ 在空间弹道方程的解算中已求得，而相应的大地纬度，则可根据两者的关系式（2.2-15）得出，即
为求箭下点经度 L ，因已知发射点经度 L 0 ，只需求出箭下点经度与发射点经度之差Δ L ，则 L = L 0 +Δ L 。为此，在地心处建立空间直角坐标系 O e -X e Y e Z e ，如图2.5-1所示，则类似式（2.4-19），可得发射坐标系至该空间直角坐标系的转换关系式为
从而可得任一时刻箭下点的经度与发射点经度差Δ L 的求解式：
Δ L 的值可由下式判定：
2）箭下点对应的射程角 β
则得
3）切向、“法向”、侧向加速度
将火箭质心相对于发射坐标系的加速度沿速度坐标系三轴分解，则得沿速度坐标系三轴的加速度分量
，依次称为切向加速度、“法向”加速度及侧向加速度；由空间弹道方程已解得发射坐标系的加速度分量
，且已知
ν
为小量时，发射坐标系至速度坐标系方向余弦矩阵为
则有以下关系式成立
即
注意到 ν 为小量时有下列关系式：
则式（3.4-58）可写为如下形式：
考虑到 σ 为小量，则 V z 较之 V x 、 V y 甚小，则可近似取为
式（3.4-59）可近似为
式（3.4-58）～式（3.4-60）均可用来计算火箭质心在速度坐标系中的切向、“法向”、侧向加速度。
4）轴向、法向、横向过载系数
在火箭总体设计中，从仪表和箭体结构强度设计角度考虑，需要知道它们要承受的加速度有多大。为此，设计者把火箭飞行中除引力以外作用在火箭上的力 N 称为过载。显然，视加速度即为过载所产生的加速度，将 N 在箭体坐标系中分解为
过载系数定义为， N 被火箭质量 m 与地面重力加速度 g 0 之乘积除后的值，即
式中， n x 1 、 n y 1 、 n z 1 分别为火箭飞行中的轴向、法向、横向过载系数。
由发射坐标系中的质心动力学方程，即式（3.4-5）：
将其在速度坐标系投影，根据矢量微分法则有
由于
式中， ω V 为速度坐标系相对于发射坐标系的转动角速度。
如图2.6-2所示，类似式（2.4-12）的推导可得
故可得
代入式（3.4-62），有
上式为火箭质心相对于发射坐标系的加速度沿速度坐标系的分解。
将式（3.4-65）代入式（3.4-5）左端，而式（3.4-5）右端各项可参考式（3.4-26）右端内容直接写出它们在速度坐标系的分量形式，最终可得在速度坐标系内的质心动力学方程为
观察上式，后两式中等式左端均有两个微分变量，为进行求解，先引进矩阵
：
用矩阵
左乘式（3.4-66）则得
为简化书写，火箭质心动力学方程式（3.4-68）和火箭绕质心动力学方程式（3.4-28），这里就不再重述了，下面仅给出解算空间动力学方程需补充的一些方程式。由于这些方程与发射坐标系下的补充方程基本相同，个别不同的方程式，其符号意义也是明确的，直接列写如下：
这样，即可得到由上式及式（3.4-68）和式（3.4-28）共同组成在速度坐标系内描述的空间弹道方程。其中共有29个方程式，给定起始条件即可求解。
在新型号火箭的初步设计阶段，由于各分系统参数未定，因而只需进行弹道的粗略计算。为此，对上述空间弹道方程作一些简化假设：
（Ⅰ）地球为一均质圆球，忽略地球扁率及
g
ϕ
的影响。此时引力
g
沿矢径
r
的反向，且服从平方反比定律。即，
，
g
ϕr
=0。
（Ⅱ）由于工程设计人员在初步设计阶段只关心平均状态下的参数，故通常忽略地球旋转的影响，认为 ω e =0。显然，惯性坐标系与发射坐标系始终重合。
（Ⅲ）忽略由于火箭内部介质相对于箭体流动所引起的附加哥氏力和全部哥氏力矩。
（1）姿态控制常用简化方程
基于以上假设，式（3.4-68）可简化如下：
由式（2.6-2）可得
且注意到式（3.4-67），则有
式（3.4-69）右边第二项的展开是很复杂的，考虑到控制力本身较小，一般认为 Y 1c 在 Y V 方向， Z 1c 在 Z V 方向，并参考式（3.2-39），有
则
且注意到
将式（3.4-70）～式（3.4-73）代入式（3.4-69）并注意到式（3.2-91），得
（2）主动段摄动常用简化方程
如视 β 、 ν 、 σ 为小量，且角度的正弦取其角度的弧度值，余弦取为1，等式中出现这些角度之间的乘积时，则作为二阶以上项略去。可得
由
得
考虑到引力加速度
g
在发射坐标系下又可记为
，并注意到
x
、
z
向加速度远小于
y
向，且
，则有
（3）弹道方程的进一步简化
在前面3个假设的基础上，再提出4个假设：
（Ⅳ）认为在控制系统作用下，火箭始终处于力矩瞬时平衡状态。
（Ⅴ）将欧拉角 α 、 β 、 ψ 、 γ 、 σ 、 ν 及 θ - φ 视为小量。这些角度的正弦取其角度的弧度值，其余弦取为1，且在等式中出现这些角度之间的乘积时，则作为二阶以上项略去。则有
那么
（Ⅵ）考虑到控制力较小，故将控制力与 α 、 β 、 ν 的乘积略去。
（Ⅶ）由于引力在 x 、 z 方向的分量远小于引力在 y 方向的分量，故将它们与 σ 的乘积项略去。
根据以上假设，即可将前述速度坐标系下的质心运动方程式（3.4-68）及其附加方程进一步简化为两组方程。
第一组方程为
该方程取
后，则与侧向参数无关，称为纵向运动方程式。给定起始条件即可求解。
第二组方程为
在第一组方程解得后，即可由此组方程解得侧向参数。该组方程称为侧向运动方程。