3.2 作用在火箭上的力和力矩

根据刚化原理，对于运载火箭这一变质量质点系，必须将作用在火箭上的外力、外力矩及两个附加力和两个附加力矩表达式找到，才可具体建立它的质心运动方程和绕质心运动方程并进行求解。下面结合火箭飞行中所受到的力和力矩的物理意义及其表达式予以讨论。

3.2.1 附加力、附加力矩及发动机特性

1.附加力和附加力矩

设火箭为一轴对称物体，发动机喷管出口截面积为 S _e ，火箭质心记为 O ₁ 。燃料燃烧过程中 t 时刻质心相对于箭体的运动速度矢量为 V _rc ，而箭体内质点相对于箭体的速度矢量为 V _rb ，则该质点相对可变质心的速度矢量为 δρ/δt ：它与 V _rc 、 V _rb 有如下关系：

由雷诺迁移定理知

式中， H 为某一矢量点函数； ρ _m 为流体质量密度； V _rb 为燃烧产物相对于火箭的速度； n 为喷管截面 S _e 的外法向单位矢量。

式（3.2-2）表示被积函数的导数与积分的导数之间的关系。

运用式（3.2-2），可将作用于火箭上的附加力和力矩具体表达式导出。

（1）附加相对力

由式（3.1-19）知附加相对力为

将 δρ/δt 代替式（3.2-2）之 H 可得

将式（3.2-1）代入式（3.2-3）右端第二积分式，则有

对火箭而言，质心 O ₁ 相对箭体的速度 V _rc 与d S _e 无关，而流动质点只有从火箭发动机喷口截面 S _e 处流出箭体外， V _rb 只是指 S _e 面上的点相对于箭体的速度。如果把 S _e 面上的质点的排出速度看成是等同的，记 V _rb （d S _e ）= u _e ，则 V _rc 、 u _e 均可提到各积分号外。

事实上有

式中， 为质量秒耗量，且 。

则式（3.2-4）可写为

如果过 S _e 的各质点之速度 V _rb 不相同，则记

仍可得式（3.2-6）之形式。

式（3.2-3）右端第一积分式运用雷诺迁移定理则可写成

根据质心定义，该式右端第一项积分式为零。令喷口截面上任一点矢量 ρ 为火箭质心 O ₁ 到截面中心矢量 ρ _e 与截面中心到该点矢量 v 之和，如图3.2-1所示，有

如果过 S _e 的 V _rb 相同，且 S _e 对喷口截面中心点 e 为对称面，则

此时，注意到式（3.2-5）、式（3.2-9）、式（3.2-10），式（3.2-8）可写为

当然，如果 S _e 为对称面时， ρ _e 可用下式计算得到：

这样，式（3.2-3）右端第一项可写成

将式（3.2-6）和式（3.2-13）代入式（3.2-3）得

当考虑到火箭质点相对流动的非定常性很小，特别在火箭发动机稳定工作后，可认为是定常流动，即认为 ；而质心的相对速度 V _rc 及喷口截面中心矢径 ρ _e 的变化率 远小于 u _e ，因此， 及 均可忽略不计。这样，附加相对力就可写成

并由此得出结论：附加相对力的大小与通过出口面的线动量通量相等，而方向相反。

（2）附加哥氏力

由式（3.1-19）知附加哥氏力为

将式（3.2-11）代入，则得

（3）附加哥氏力矩

由式（3.1-23）知附加哥氏力矩为

注意到

则有

将该结果代入式（3.2-17）有

将上述第一项应用雷诺迁移定理后，有

根据式（3.1-28）有

微分上式得

将式（3.1-31）和式（3.2-20）代入式（3.2-19）得

将式（3.2-9）代入上式，并注意到当 S _e 为对称面，且过 S _e 的各质点之速度 V _rb 相同，则式（3.2-21）可写为

上式为附加哥氏力矩的完整表达式。注意到，火箭喷口截面尺寸较火箭的纵向尺寸要小得多，因此上式中在 S _e 上的积分项可略去不计。而上式中最后一项表示火箭内部有质量对质心相对运动所造成的角动量。由于火箭中 δρ/δt 很小，燃烧产物的气体质量也很小，且可将燃烧室的平均气流近似看成与纵轴平行，因此该项积分也可略去不计。最后认为附加哥氏力矩为

该力矩的第二项，是由单位时间内喷出的气流所造成的力矩，起到阻尼作用，通常称为喷气阻尼力矩；第一项为转动惯量变化引起的力矩，对火箭来说，因为 各分量为负值，所以该项起到减小阻尼的作用，该力矩的量约为喷气阻尼力矩的30%。

（4）附加相对力矩

由式（3.1-23）可知

改写为

运用雷诺迁移定理得

将式（3.2-1）代入上式，并注意到式（3.2-11），可得

截面 S _e 上 V _rb 可分解为平均排气速度矢量 u _e 与截面上速度矢量 V _η ，即

由于 V _η 在截面 S _e 上具有对称性，则

将式（3.2-9）、式（3.2-11）、式（3.2-25）代入式（3.2-24），并利用式（3.2-5）、式（3.2-10）及式（3.2-26）可得

按照前述相同的理由，略去上式中含有体积分的项。同时，考虑到 v 与 ρ _e 、 V _rc 及 V _η 与 u _e 的绝对值相比均很小而略去，因此附加相对力矩可用下式近似表示：

至此，已推导出附加力和附加力矩的表达式，归纳如下：

式中， 为质量秒耗量； u _e 为平均排气速度。当发动机确定后即为已知，惯量张量 及瞬时 t 质心 O ₁ 至喷口截面中心的矢量距离 ρ _e 则由火箭总体设计及火箭燃烧情况决定，而火箭转动角速度 ω _T 为火箭运动方程的一个变量。

2.火箭发动机特性

相对力 ，实质上是利用排出燃气所需的力产生的推动火箭前进的反作用力。火箭将携带的推进剂送入发动机燃烧室进行化学反应。主要燃烧产物就是释放的化学能所加热了的燃气。由于这些热燃烧被限制在容积很小的燃烧室内，所以燃气的热膨胀就导致高压。这些被压缩的燃气通过喷管膨胀而加速，产生作用于火箭的反作用力。

火箭所携带的推进剂的物理状态，可以分成液体推进剂、固体推进剂和固液推进剂三种，对应的火箭称为液体火箭、固体火箭和固液火箭。

液体火箭的推进剂有单组元推进剂、双组元推进剂之分。单组元推进剂，如过氧化氢（H ₂ O ₂ ）或肼（N ₂ H ₄ ），在催化剂作用下分解，从而产生高温、高压燃气。双组元推进剂为自燃推进剂，如液氢和液氧、偏二甲肼和四氧化二氮等。

固体火箭是将全部推进剂装在燃烧室壳体内，在固体药柱表面进行燃烧。药柱的形状设计十分重要，因为药柱形状决定了固体火箭的相对力对时间的变化关系。固体推进剂可以是把燃料和氧化剂组合在一个分子内的推进剂（双基药），也可以是燃烧剂和氧化剂的混合药（复合药）。

固液火箭发动机的氧化剂装在压力容器内并用挤压方式送入燃烧室，固体燃料在表面与氧化剂发生化学反应，从而产生高温、高压的燃烧产物。

不论是哪种，为了获取其相对力，均需将发动机装在试车台上进行热试车。发动机的静态试车是一门专业性很强的技术，下面仅以水平安装试车原理给出发动机特征量。

如图3.2-2所示，发动机地面静态试车时除了重力和试车台反作用力存在并相互抵消外，就只有轴向力。应当注意的是，该轴向力并不是单纯的相对力 ，还包括箭体表面上大气静压力和发动机喷口截面上燃气静压力所产生的轴向力。这两部分静压称为静推力，记为

式中， S _e 为喷口截面积； p 为试车台所在高度的大气静压力； p _e 为喷口截面上燃气静压力平均值，其方向与 轴重合； 为火箭纵轴方向的单位矢量。

因此，一台发动机的推力就定义为相对力 和静推力 P _st 之和 ，即

与静推力对应，相对力 也称为动推力或推力动分量。注意到燃气速度 u _e 指向 的反向，故推力值为

从上式看出，发动机推力不仅与推进剂秒消耗量 、喷管截面处燃气排气平均速度 u _e 及其燃气静压力 p _e 有关，而且与外界大气压力 p 也有关系。根据大气静压力 p 随高度 H 的增加而连续地减小的特性，显然发动机推力则随飞行高度 H 的增加而增加，即发动机推力 P 是火箭飞行高度 H 的函数。在发动机理论中，推力随高度而变化的规律称为发动机推力高度特性。

在地面试车时，由于大气压力 p 等于地面标准大气压力 p ₀ 且其值最大，所以发动机推力值最小，即

那么，在真空条件下试车时，由于大气压力 p =0，则发动机推力最大，即

计算表明，火箭离开地面飞行到真空时，发动机推力增加约15%～20%。

下面给出衡量发动机性能的主要指标。

（1）额定推力

在弹道计算中，为方便起见，常将式（3.2-31）变换为

式中， 为发动机推力高度特性修正项，随高度 H 而变化。 采用标准大气模型计算。

式中， P ₀ 为地面额定工作条件下发动机实测推力，称为地面额定推力。

式中， P _Z 为真空额定工作条件下的发动机实测推力，称为真空额定推力。

（2）比推力

单位时间内发动机消耗1kg重量推进剂所产生的推力称为比推力，也称比冲，用 P _SP 表示。它是衡量发动机性能的主要参数之一。

根据定义，发动机地面比推力和真空比推力可分别表示为

式中， 为推进剂重量秒消耗量地面额定值。

将式（3.2-34）代入式（3.2-32），则推力计算式又可表示为

（3）混合比

在弹道计算中，还经常用到推进剂混合比的概念。

推进剂混合比是指氧化剂重量秒消耗量 与燃烧剂重量秒消耗量 之比值，常用 K 表示，即

混合比是衡量发动机性能的一个主要参数。为使发动机取得较佳性能，不同种类的推进剂有着不同混合比。

3.2.2 控制力和控制力矩

火箭之所以能够飞行，并准确地使载荷命中目标或进入轨道，完全是由发动机推力、控制力和控制力矩作用的结果。所谓控制飞行（即程序飞行），就是指为完成某一给定的飞行任务而依据其相应的控制方案不断地改变火箭质心速度大小和方向的飞行。

众所周知，火箭在飞行过程中，受地球引力、空气动力和发动机推力的作用。由于地球引力作用线通过火箭质心，且其大小也不能随意改变，因而无法对火箭质心产生控制力矩。显然，对火箭飞行进行控制的力和力矩就只能是通过改变空气动力或发动机推力方向来产生。控制火箭飞行的力和力矩分别称为控制力和控制力矩。

对于运载火箭，目前用于产生控制力和控制力矩的机构有以下几种形式：空气舵、燃气舵、摆动发动机、摆动喷管和二次喷射及与之相应的伺服机构，并根据要求单独采用其中的一种形式，也可以两种不同形式同时采用。

以空气舵作为产生控制力和控制力矩的操纵机构，因依赖大气而受到飞行高度的限制，因此这种控制机构常用于在稠密大气层中飞行的火箭，且只能起着辅助控制的作用。

由于空气舵与燃气舵、摆动发动机与摆动喷管产生控制力和控制力矩的原理及其数学表达式基本相似，所以这里只讨论燃气舵、摆动发动机控制形式的控制原理。

1.燃气舵产生的控制力和控制力矩

燃气舵是安装在火箭发动机喷管出口处燃气流中的一种控制舵面（见图3.2-3），由石墨或其他耐高温材料制成。当其相对燃气流偏转时，便产生改变火箭飞行方向和姿态的控制力和控制力矩。它通常为“+”形布局，在喷口处的排列顺序是从火箭尾部向前看去，按顺时针方向编号，当火箭垂直竖起在发射台上时，位于火箭纵对称平面内的Ⅰ、Ⅲ舵恰好处于射击平面内，Ⅰ舵朝向目标瞄准方向。当Ⅰ、Ⅲ舵同步偏转时，由于舵面相对燃气流冲角的改变，便产生作用于舵面的燃气侧向力，并对火箭质心产生偏航力矩，以控制火箭的偏航运动；当Ⅰ、Ⅲ舵差动偏转时，则将产生绕箭轴滚动的控制力矩，以控制火箭的被动运动。Ⅱ、Ⅳ舵位于火箭横对称平面内，当其同步偏转时，便产生俯仰力矩，以控制火箭在射击平面内按预定程序稳定飞行，当其差动时也可控制火箭的滚动运动，但一般只用于同步转动而不实施差动运动。

为便于确定控制力和控制力矩的方向，对上述“+”形布局的燃气舵偏角通常规定：当火箭作负俯仰运动时，Ⅱ、Ⅳ舵的偏角 δ _Ⅱ 、 δ _Ⅳ 定义为正，反之为负。

此外，为便于计算控制力和控制力矩，通常又引进等效舵偏角的概念，其含义是与实际舵偏角具有相同控制力矩时的平均舵偏角，且规定产生负向控制力矩时的等效舵偏角为正，反之为负。这样，对应于3种控制力矩的等效舵偏角分别称为等效俯仰角 δ _φ 、等效偏航角 δ _ψ 和等效滚动角 δ _γ 。

根据实际舵偏角和等效舵偏角的定义，则舵偏角间的关系可表为

燃气流作用在燃气舵的合作用力矢量在箭体坐标系各轴上分量为

式中， C _{x 1j} 、 C _{y 1j} 、 C _{z 1j} 分别为燃气舵轴向力系数、法向力系数和侧向力系数； 为燃气流动压力，其中 u _j 为流经燃气舵的燃气平均喷射速度， ρ _j 为燃气流密度； S _j 为单个燃气舵的特征面积。

燃气流气动力系数可由发动机试车时测出，也可以利用经验公式计算。经计算表明，气动力系数不仅与舵偏角有关，而且还与舵的形状及燃气速度有关。对于液体火箭发动机来说，当发动机处于稳定工作状态时，燃气速度变化不大，可近似认为常数，这样对于给定形状的燃气舵，作用于舵面的阻力、升力（法向力）和力矩仅是舵偏角的函数。因此，用燃气舵来控制火箭使之按预定程序飞行要比空气舵稳定得多。

经验表明，在相当大的舵偏角范围内，法向力系数 C _{y 1j} 与燃气舵偏角 δ 成线性关系。于是，燃气流所产生的控制力和控制力矩可分别表示为

及

式中， 为燃气舵法向力系数对当量舵偏角的导数，且当燃气舵为“+”形布局时， ； 为一对燃气舵的控制力梯度； x _{r y} 、 x _z 分别为燃气舵铰链轴和火箭质心至火箭头部理论尖端的距离； z _{r y} 为燃气舵铰链轴至箭体纵轴的距离； 和 分别为俯仰、偏航和滚动控制力矩对等效舵偏角的导数。因规定等效舵偏角为正时控制力矩为负值，故控制力矩对等效舵偏角的导数均为负值。

火箭飞行中，位于高速高温燃气流中的燃气舵，因烧蚀作用，必然发生变形，这将导致燃气舵阻力和控制力梯度变化。当考虑到这一影响因素时，燃气舵阻力和控制力梯度可表为

式中， X _1c0 、 分别为发动机试车时的燃气舵阻力和控制力梯度； η 、 ζ 分别为因舵烧蚀而对舵阻力和控制力梯度的影响修正系数，由试验确定； t 为发动机工作时间。

习惯上，常把燃气舵阻力 X _1c 视为发动机推力在燃气舵上的损失，并将损失后的推力称为有效推力，用 P _e 表示，即

用燃气舵作为产生控制力和控制力矩的控制机构，具有结构简单和可在没有大气的高空进行控制的优点。但同时，这也存在因燃气舵阻力较大而造成推力损失较大，以及因其烧蚀变形而使控制力和控制力矩发生变化的缺点。因此，这种舵一般只用于发动机工作时间不长的中近程火箭。

2.摇摆发动机产生的控制力和控制力矩

借助于发动机摆动来改变推力方向，从而产生控制力和控制力矩以实现对火箭飞行姿态的控制，是运载火箭控制的发展趋势。这种控制方式具备，不受大气密度和发动机工作时间长短的限制，以及能够产生较大控制力和控制力矩的优点。

摇摆发动机组有“×”形和“+”形两种安装形式。由于前者比后者的控制效率高，因而常被用于需要较大控制力和控制力矩的多级运载火箭的第一级。

（1）“×”形布局的控制力和控制力矩

由4台摇摆发动机并联而成的“×”形布局的发动机组，其摇摆发动机相当于安装在一个正四棱锥体四侧面的底边上，安装轴线相当于锥体侧面底边的中线，且与箭体纵轴构成 μ 安装角。发动机可在锥体侧面内摆动，其摆动角 δ 正负定义如下：从火箭尾部向前看去，当发动机喷管沿箭体圆周线顺时针摆动时， δ 定义为正，反之为负。

显然，当发动机不摆动时，各台发动机推力线方向沿各自的安装轴线方向，而其合推力方向则必将沿箭体轴 O ₁ X ₁ 方向，此力只能使火箭质心运动而不能产生绕质心转动，要使火箭转动就必须摆动发动机。

如果4台发动机同时摆动正的 δ 角，则各台发动机推力线与其安装轴线之间也必然构成正的 δ 角。将每台发动机推力 P _i （ i =Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ）分解为沿其安装轴线方向上的分量 和垂直于安装轴线方向上的分量 （见图3.2-4），其分量 之合成量可使火箭质心运动，而垂直于安装轴线方向上的分量 则可使火箭产生绕其纵轴的负滚转运动；反之，如发动机同时摆动负的 δ 角时，则火箭必然产生绕其纵轴的正滚转运动。

同样道理，当组成“×”形布局的发动机按一定规律同时摆动时，则火箭也必然同时产生与之相应的俯仰、偏航运动。为计算方便，像燃气舵等效舵偏角那样，引进发动机等效摆动角的概念，其含义和表示方法与燃气舵等效舵偏角相同。

根据发动机摆动角 δ _Ⅰ 、 δ _Ⅱ 、 δ _Ⅲ 、 δ _Ⅳ 及发动机等效摆动角 δ _φ 、 δ _ψ 、 δ _γ 的定义且参考图3.2-5所示，有

或者

由于火箭在控制系统作用下飞行时的滚动运动很小，所以发动机等效摆动角 δ _γ 也很小。

当近似认为 δ _γ =0时，式（3.2-42）可简化为

将摆动后的发动机推力投影于箭体坐标系各轴上，显然，沿 O ₁ X ₁ 轴方向的合推力分量因只能推动火箭质心运动，而不能使其绕质心转动，故将其称为发动机有效推力；而沿 O ₁ Y ₁ 及 O ₁ Z ₁ 轴方向上的合推力分量，因可改变火箭速度方向和控制火箭绕质心的俯仰和偏航运动，因而分别称为法向控制力和横向控制力。

现以第Ⅲ台发动机为例来推导有效推力和控制力。

如第Ⅲ台发动机摆动正 δ _Ⅲ 时，则推力 P _Ⅲ 在其安装轴线上的分量 和垂直于安装轴线方向上的分量 可分别表示为（见图3.2-4）

因此， 和 在箭体坐标系各轴上的分量为

用同样方法，也可将第Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ台发动机摆动后的推力投影于箭体坐标系各轴上（见表3.2-1）。这样，将投影于 O ₁ X ₁ 轴上的推力分量 P _i cos δ _i cos μ 进行叠加，即得

假设4台发动机属于同一型号，因而有

式中， P 为4台发动机推力之和。

将式（3.2-44）和式（3.2-47）代入式（3.2-46）得

故发动机有效推力为

根据表3.2-1所示，可得发动机推力在 O ₁ Y ₁ 、 O ₁ Z ₁ 轴上投影之和

并且有

式中， R ′为摇摆发动机控制力梯度； P _{y 1} 和 P _{z 1} 分别为法向控制力和横向控制力。

由于发动机摆动角 δ _φ 、 δ _ψ 值不大，在近似计算中，可认为sin δ _φ ≈ δ _φ ，sin δ _ψ ≈ δ _ψ ，cos δ _φ ≈cos δ _ψ ≈1，于是有

火箭飞行姿态的变化，完全是控制力对其质心（或箭体坐标轴）构成的力矩作用的结果。该力矩称为控制力矩。

设 x _z 、 x _{r y} 分别为火箭质心 O ₁ 和控制力作用点 O′ （即发动机铰链轴）至其头部理论尖端的距离，根据力矩定义，则控制力 P _{y 1} 和 P _{z 1} 所产生的控制力矩可表示为

式中， M _{x 1c} 、 M _{y 1c} 、 M _{z 1c} 分别为滚动、偏航和俯仰力矩。

将式（3.2-51）代入上式，则有

式中

和 分别为偏航和俯仰控制力矩对发动机等效摆动角的导数。

（2）“+”形布局的控制力和控制力矩

由4台推力不大的游动发动机和1台推力较大的主发动机并联组成的“+”形布局的发动机组如图3.2-6所示。主发动机沿箭体纵轴固定安装，用它来产生推力而不产生控制力和控制力矩。游动发动机“+”形布局于主发动机周围，其安装形式和摆动规律与“×”形布局的摆动发动机组相似。正因为这样，“+”形布局的游动发动机组同样能够对火箭飞行进行控制。

采用与式（3.2-42）相同的推导方法，可得“+”形布局的游动发动机等效摆动角 δ _φ 、 δ _ψ 、 δ _γ 与其实际摆动角 δ _Ⅰ 、 δ _Ⅱ 、 δ _Ⅲ 、 δ _Ⅳ 间的关系式

或者

将摆动后的游动发动机推力 P _{u i} （ i =Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ）投影于箭体坐标系各轴上（见图3.2-6和表3.2-2），并将同一坐标轴上之投影进行叠加，注意有关系式：

式中， P _u 为四台游动发动机推力之和。根据上式则有

在实际弹道解算时，一般 δ _γ 是一个小量。当近似认为cos δ _γ ≈1、sin δ _γ ≈0，且令

则有

式中， R′ 为游动发动机控制力梯度； P _{y 1} 、 P _{z 1} 分别为游动发动机产生的法向和横向控制力； P _{x 1} 为游动发动机有效推力。

在等效摆动角 δ _φ 、 δ _ψ 很小，可近似认为sin δ _φ ≈ δ _φ 、sin δ _ψ ≈ δ _ψ 时，上式又可进一步简化为

当计入主发动机推力 P _z 时，则“+”形布局的发动机组有效推力 P _e 为

由式（3.2-50）和式（3.2-59）不难看出，“×”形布局时的发动机控制力梯度 R′ 是“+”形布局时控制力梯度 R′ 的 倍。也就是说，前者的控制效率是后者 倍。因此，“×”形布局的摇摆发动机常用于要求控制力较大的多级运载火箭的第一级。控制系统复杂和控制精度不高，却又成为这种布局的主要缺点。所以，在要求控制力较大而控制精度不高的情况下，宜采用“×”形的摆动发动机组。

如推导式（3.2-53）或式（3.2-54），可得游动发动机摆动时产生的控制力矩：

式中， x _{r y} 、 x _z 分别为游动发动机铰链轴和火箭质心至头部理论尖端的距离； 为游动发动机控制力矩对其等效摆动角的导数。

3.2.3 地球引力和重力

1.地球引力

对于一个保守力场，场外一单位质点所受到该力场的作用力称为场强，记作 F ，它是矢量场。场强 F 与该质点在此力场中所具有的势函数 U ，有如下关系：

式中，势函数 U 为标量函数，又称引力位。

地球对球外质点的引力场为一保守力场，如设地球为一均质圆球，可把地球质量 M 看作集中于地球中心，则地球对球外距地心为 r 的一单位质点的势函数为

式中， G 为万有引力常数，记 μ = GM 称为地球引力系数。

由式（3.2-64）可得地球对距球心 r 处一单位质点的场强为

场强 g 又称为单位质点在地球引力场中所具有的引力加速度矢量。

显然，如地球外一质点具有的质量为 m ，则地球对该质点的引力为

（1）地球引力位的球谐函数表示

实际地球为一形状复杂的非均质的物体，要求得其对地球外一点的势函数，则需要对整个地球进行积分来获得，即

式中，d m 为地球单位体积的质量； ρ 为d m 至空间所研究一点的距离。

由上式可以看出，要精确地求出势函数，则必须已知地球表面的形状和地球内部的密度分布，才能计算该积分值。这在目前还是很难做到的。应用球谐函数展开式可导出地球引力位的标准表达式

也可写为

式中， a _e 为地球赤道平均半径； J _n 为带谐系数， ， n ≠ m 时为田谐系数， n = m 时为扇谐系数； P _n （sin ϕ ）为勒让德函数； 称为缔合勒让德函数； ϕ 、 λ 为地球之地心纬度和经度。

式（3.2-70）的物理意义可以这样理解：

为地球为圆球时所具有的引力位； m =0的带谐项，将地球描述成许多凸形和凹形的带，如图3.2-7a所示，用以对认为地球是球形所得引力位的修正； n ≠ m 的部分，将地球描述成凹凸相间如同棋盘的图形，如图3.2-7b所示，用以对圆球修正，称为田谐项； n = m 的部分，则将地球描述成凹凸的扇形，如图3.2-7c所示，称为扇谐项。总之，求和符号中各项为地球形状和质量分布不同于均质球体而对球体引力位的增减。

（2）北天东坐标系下的地球引力分量形式

由上述保守力场势函数及其梯度的定义，可以知道，求地球引力在任意方向分量，即是计算地球引力势函数在该向的偏导。

如图3.2-8所示，记 e _r 为矢径 O _e P 的单位矢量，单位矢量 e _ϕ 位于 P 点与 OZ 轴确定平面∑内且垂直矢径 ρ ， e _λ 垂直于平面 Σ 与 e _r 、 e _ϕ 成右手系，即北天东坐标系。

由梯度在球坐标下表示形式

可得地球引力在北天东坐标系下分量为

式中

以上递推公式的初值为 、 、 。

（3）正常引力位及引力加速度

不同的地球模型，所得的系数有差异，对于质量分布于地轴及赤道面有对称性的两轴旋转椭球体，球外单位质点的引力位为

式中，其他各符号定义同式（3.2-70）； J _{2 n} 为偶阶带谐系数。

式（3.2-76）所表示的引力位 U 称为正常引力位，考虑到工程实际使用中的精度取至 J ₄ 即可，即视如下为正常引力位：

由于谐系数与地球模型有关，不同的地球模型下谐系数有差异，但 J ₂ 、 J ₄ 中，前者是统一的，后者差异较小。我国采用1975年国际大地测量协会推荐的数值，即

式（3.2-77）中勒让德函数为

在弹道设计和计算中，有时为了方便，可近似取式（3.2-77）中之 J ₂ 为止的引力位为正常引力位，即

要指出的是，正常引力位是人为假设的，不论是式（3.2-77）还是式（3.2-78），其所表示的正常引力位与实际地球的引力位均有差别，这一差别称为引力位的异常。如要求弹道计算的精度较高，则需顾及引力位异常的影响。

在以后的讨论中，均取式（3.2-78）作为正常引力位。

由式（3.2-78）可知，正常引力位仅与观测点的距离 r 及地心纬度 ϕ 有关。因此，引力加速度 g 总是在地球地轴与所考察的空间点构成的平面内，该平面与包含 r 在内的子午面重合，如图3.2-9所示。

对于位于点 P 的单位质量质点而言，为计算该点的引力加速度矢量，作过 P 点的子午面。令 r ⁰ 表示 的单位矢量，并令在此子午面内垂直 且指向 ϕ 增大方向的单位矢量为 ϕ ⁰ ，则根据式（3.2-45），引力加速度 g 在 r ⁰ 及 ϕ ⁰ 方向的投影分量为

令 ，则

显然，当上式不考虑含 J 的项时，即得

因此，含 J 的项，是考虑了地球扁率后，对作为均质圆球的地球的引力加速度的修正；而且当考虑地球扁率时，还有一个方向总是指向赤道一边的分量 g _ϕ 。这是由于地球的赤道略为隆起而使此处质量加大引起的。

为了计算方便，常把引力加速度投影在矢径 r 和地球自转 ω _e 方向。显然，这只需要将矢量 g _ϕ 分解到 r 及 ω _e 方向即可。如图3.2-9所示

将式（3.2-80）之 g _ϕ 代入上式可得

这样，引力加速度矢量可表示成下面两种形式

或

式中

2.重力

如地球外一质量为 m 的质点相对地球是静止的，该质点受到的引力为 mg 。另外，由于地球自身在以加速度 Ω 旋转，故该质点还受到随地球旋转而引起的离心惯性力，将该质点所受的引力和离心惯性力之和称为该质点所受到的重力，记为 mg 。则有

式中， ，为离心加速度。

空间一点的离心加速度 在该点与地轴组成的子午面内并与地轴垂直指向球外。将其分解到 r ⁰ 及 ϕ ⁰ 方向，可得

显然， g 同属于 、 g 所在的子午面内，将式（3.2-80）和式（3.2-88）代入式（3.2-87），即可得重力加速度 g 在 r ⁰ 及 ϕ ⁰ 方向的分量

3.2.4 空气动力及空气动力矩

1.地球大气

围绕地球表面的空气层，称为地球大气。尽管人类今天已由大气层飞行的时代迈入宇宙航行的时代，但空气依然是各类飞行器飞行时的重要介质，因此，有必要对大气的成分、结构、物理性质及标准大气等问题有所了解。

（1）大气成分

空气，实际上是氮、氧、二氧化碳、氢、臭氧、水蒸气及工业气体等多种气体的混合物。空气中所含某种气体的成分的多少，可用单位体积空气内所含该气体体积的百分数来表示。这种表示方法的好处在于，即使当空气的压强（压力）和温度在很大范围内变化时，这种体积的百分数也不会有多大的变化。

根据实际测定，大气的成分沿距地面（海平面）的高度可分为均质层和非均质层。在距地面95km以下的均质层中，特别是在地面附近，空气中所含各种气体成分的体积百分数基本上是不变的。按体积计算，空气中的氮气约占78.03%，氧气约占20.99%，稀有气体约占0.94%，而其余微量气体（二氧化碳、氢、臭氧、水蒸气与工业气体等）的总和则不到1%。

对于95km以上的非均质层，由于太阳紫外线的强烈辐射，大气中氮、氧和其他气体将被分解而处于原子状态。

（2）大气结构

整个大气层内的结构是很复杂的。由于地球形状与太阳辐射的影响，大气温度沿海平面高度以上的分布特性极为复杂，而由于温度沿高度分布的复杂性，导致了其他大气参数（压强、密度与音速等）与物理特性（黏性、压缩性与导热性等）沿高度的复杂性。

在地球引力的作用下，大气主要集中在地面附近。据统计，在距离地面5km的范围内含有将近全部大气质量的50%，而20km的范围内则含有全部大气质量的90%。因此，可以说，靠近地面的大气较稠密，而远离地面的大气则较稀薄，最后逐步过渡到无大气的宇宙空间。整个大气层的厚度约为2000～3000km。根据多年来人们对大气探测的结果，特别是近年来人造地球卫星的探测结果，大气沿高度的结构模型已基本清楚。国际气象组织共同研究规定，将大气层沿高度分为五层，即对流层、同温层、中间层、电离层和外大气层。

1）对流层

大气的低层是对流层，距海平面的高度约为11km。在这层大气中，约集中了整个大气质量的75%。在地面上，每立方厘米（cm ³ ）中约含有2.7×10 ¹⁹ 个空气分子，这个数字与地球上2019年人口约7.6×10 ⁹ 相比还大约54亿倍。因此说，对流层是一层稠密的大气层。

在对流层中，大气因受地面吸收的太阳能加热和起伏不平的地形影响，呈现出下层热空气不断上升而上层冷空气不断下沉的强烈对流现象。大气的温度、压强和密度随高度的增加而急剧下降，并经常发生着云、雾、雪、雷、电、风、暴风雨及旋风等各种天气现象。

对流层的高度可由其温度终止下降的高度而确定，但这在各个纬度上并不一致。在赤道附近，对流层高度最高，可达17～18km；在两极处，高度则最低，约为8km。而且该高度还与季节和其他因素有关。在平均纬度（45°）上，可认为对流层的平均高度约为11km。

根据测定，在对流层中，大气平均地面温度 t ₀ =15℃，即288.15K，地面密度 ρ ₀ =1.225kg/m ³ ，而地面压强 p ₀ =101325Pa。在高度5km处，大气温度约为255.65K，而相对密度比 p/p ₀ ≈6×10 ^-1 ，其相对压强比 p/p ₀ ≈5.3×10 ^-1 ；在对流层的上限11km处，大气温度约为216.65K，而密度比约为2.2×10 ^-1 ，压强比约为3×10 ^-1 。

此外，在对流层中，温度随高度的变化率（即温度梯度）约为-6.5K/km，且在相当大的范围内有水平风和垂直风。水平风是由地面上复杂地形造成的气压差所引起的，而垂直风则是因温度随高度分布的差异而形成的。

2）同温层

对流层的上层是同温层，其高度约为11～25km。

同温层的特点是，大气温度几乎保持不变，约为216.65K。在这层大气中，由于地形对大气的影响已不显著，因而既无对流现象和复杂的天气现象，也没有垂直方向的大气流动，但存在着一定的水平风。所以，同温层又名平流层。

对流层和同温层，大约集中了大气全部质量的90%以上。与对流层相比，同温层的大气稀薄度降低了1个数量级。

在同温层中，由于很少出现复杂的天气现象，因而也最适合一切靠大气飞行的飞行器（飞机、气球等）。

3）中间层

同温层之上是中间层，其高度约为25～90km。

这层大气的特点是，大气在太阳红外线的强烈辐射下进行着剧烈的化学反应，以致生成大量的臭氧成分，同时也引起部分空气分子的电离。

由于臭氧的吸热率高，因而开始时使气温急剧回升。在47km处，大气温度约为270.65K，温度梯度约为2.45K/km；随后在51km处，气温又降低；大约到85km处，大气温度又随着高度的增加而增加。

在中间层的上层，大气已非常稀薄。据测定，在60km处的密度比约为2.4×10 ^-4 ，而压强比约为2.0×10 ^-4 ；80km处的密度比约为1.3×10 ^-5 ，而压强比约为8.9×10 ^-6 ；90km处的密度比已降到2.1×10 ^-6 ，而压强比约为1.4×10 ^-6 。显然，在80km以上存在的大气已对各类飞行器失去意义，因而在此高度以上可以忽略大气的存在而当作真空来处理。

4）电离层

中间层之上是电离层，其高度约为90～500km。

这层大气层的特点是，空气极度稀薄和气压异常低（300km处的密度比和压强比约为1.1×10 ^-11 和6.4×10 ^-11 ）。在太阳光的强烈辐射下，气温随高度的增加而迅速升高，可高达999.64K，因而导致众多的空气分子分解和电离，形成大量带电的正负离子，导电性强，可较好地反射无线电波。

5）外大气层

电离层之上是外大气层，其高度从500km延伸到3000km。

这是一层向星际空间过渡的区域，它无明显的边界。在这层大气中，空气的稀薄程度小到每立方厘米仅有10 ⁵ 个分子，约为地面同体积分子数的270万亿分之一。在高度864km处，大气相对密度比和压强比也仅有2.9×10 ^-15 和7.4×10 ^-14 ，但气温却高达1000K左右，这显然是由于太阳光强烈辐射的缘故。

由于这层大气离地面太远，空气分子受地球引力很小，因而常有空气分子向星际空间逃逸出去，故外大气层也称逃逸层。

综上所述，大气沿高度的分布特性是极为复杂的，各层之间也并非有一明显的界限，而是彼此间存在一个较薄的过渡区域。

对运载火箭来讲，大气的影响通常只考虑到80～90km处。

（3）国际标准大气

当火箭在大气层中飞行或当气体（燃气）在发动机中流动时，气体的流动规律、空气对火箭的作用力及气体对发动机性能参数的影响，均与大气的压力 p 、密度 ρ 和温度 T 等状态参数密切相关。而大气的状态参数 p 、 ρ 和 T 不仅与距地面的高度有关，并且也受地区、季节和昼夜等因素的影响。为了便于分析、计算和比较火箭或发动机的性能，国际上需要制定一种大气参数的统一规范，以便大家遵循。这种经国际气象部门共同协商制定的大气参数规范，称为国际标准大气。

标准大气表，是以实际大气统计平均值为基础并结合一定的近似数值计算所形成的。它反映了大气状态参数的年平均状况。

1976年美国国家海洋和大气管理局、美国国家航空航天局、美国空军部联合制定了新的美国国家标准大气，它根据大量的探空火箭探测资料和人造地球卫星对一个以上完整的太阳活动周期的探测结果，把高度扩展到1000km。1980年我国原国家标准总局根据航空、航天部门的工作需要，发布了以1976年美国国家标准大气为基础的中华人民共和国国家标准大气（GB/T 1920—1980）。

显然，利用标准大气表算得的火箭运动轨迹，所反映的只是火箭的“平均”运动规律。对火箭设计而言，只关心该型号在平均大气状态下的运动规律，因此运用标准大气表就可以了。而对飞行试验而言，则可以以标准大气下的运动规律作为依据，考虑实际大气条件与标准大气条件的偏差对试验结果的影响，来对火箭的运动进行分析。

为了使用方便，在进行弹道分析计算时，通常采用以下标准大气参数计算公式。该公式采用拟合法给出，其计算参数值较标准大气表之值的相对误差小于万分之三，可以认为是足够精确的。

标准大气参数计算公式如下：

①0≤ Z ≤11.0191km

②11.0191km＜ Z ≤20.0631km

③20.0631km＜ Z ≤32.1619km

④32.1619km＜ Z ≤47.3501km

⑤47.3501km＜ Z ≤51.4125km

⑥51.4125km＜ Z ≤71.8020km

⑦71.8020km＜ Z ≤86.0000km

⑧86.0000km＜ Z ≤91.0000km

在0～91km范围内音速（单位为m/s）计算公式为

上述公式是以几何高度 Z 进行分段的，它与地势高度 H 具有以下关系

式中， R ₀ =6356.766km。

标准大气参数计算公式中 p ₀ 、 ρ ₀ 均为海平面值，即 p ₀ =1.01325N/m ² 、 ρ ₀ =1.2250kg/m ³ 。

2.空气动力

（1）空气动力产生的机理

当物体静止地放置于理想的大气中时，作用于其外表面上的大气压强可认为是处处相等的，因而大气压强的合作用力为零。但如果物体与理想空气有相对运动时，作用在物体上的大气压强就不再处处相等，从而出现了不平衡的大气压强之合作用力，即空气动力。下面就具体通过气流流经翼剖面的流线图，说明空气动力产生的物理实质（见图3.2-10）。

首先，当空气定常地流过图3.2-10a所示的一个外表面平直而内表面呈圆拱形的管道时，气体质点微团将形成疏密程度不同的流线束。这种流线束，称为流线谱。流线谱的疏密程度与通流面积的大小有关。事实上，由连续方程可知，在管道的狭窄处，由于通流截面小，流速增大，流线就密集，反之则反。其次，根据动量方程（伯努利方程），在流速增大的地方，其压强必然减小，反之则反。由此可知，流线谱的疏密程度不仅反映了流速的大小，而且也指明了压强的高低。这一客观规律，从质量守恒观点看是始终存在着的。即使将管道加粗，也由于管道内表面弯曲处是收缩的，因而这儿的流速仍然较大，而压强仍然较小。甚至把管道无限加粗，即把两个剖面间的距离增加到无限大，此时气流流经它的流动规律也仍然是上表面流速大、压强小，而下表面流速小、压强大。这一客观规律，对实际气体（黏性气体）也同样存在。由此看来，作用于物体上的空气动力是由物体外表面上压强分布的不同而造成的。换言之，空气动力是物体外表面压强差的合力，通常以符号 R 表示。

空气动力的大小与物体外表面上的压强分布有关，由空气动力学可知，其值通常用下列表达式计算

式中， C _R 为无因次的总空气动力系数； ρ 为空气密度； V 为火箭的飞行速度； S _m 为气动参考面积； 称为动压头。

空气动力的作用点，称为压力中心，简称压心，通常以符号 O _p 表示。一般情况下，火箭外形是轴对称的，因而压心应在箭体纵对称轴上，且压心 O _p 并不与火箭的质心 O ₁ 相重合。之后将会介绍，为获得一定的气动静稳定度，常人为地使压心落在质心之后，为此就需对火箭的气动外形有所选择。

在火箭相对大气运动时，如何确定作用在火箭上的空气动力是一个颇为复杂的问题，很难通过理论计算来准确确定。目前，使用的是用空气动力学理论进行计算与空气动力实验校正相结合的方法。空气动力实验是在可产生一定马赫数的均匀气流的风洞中进行的。在实验时，按比例缩小了的实物模型静止放在风洞内，然后使气流按一定的马赫数吹过此模型，通过测量此模型所受的空气动力计算出其空气动力系数，然后应用相似转换原理，求得实物在这些马赫数下所受到的空气动力。

在火箭研制过程中，由研究空气动力学的专门人员根据火箭外形，利用上面谈及的方法，给出该型号火箭的空气动力计算时所必需的数表、曲线和数学模型等。正确地使用这些资料，即可确定作用在火箭上的气动力和气动力矩。

（2）空气动力的数学表达式

1）空气动力在速度坐标系各轴上的分量

实际应用中，由于空气动力的实际测量是以物体基准线（如火箭轴对称线）与来流成一定攻角或侧滑角的情况下进行的，因而人们将总的空气动力 R 在速度坐标系的各轴上进行分解：将 R 在 X _V 轴的负向（来流速度方向）分量称为空气阻力，用 X 表示，将 R 在 Y _V 轴和 Z _V 轴正方向上分量分别称为空气升力和侧力，各以 Y 和 Z 表示（见图3.2-11）。于是有

式中， C _x 、 C _y 、 C _z 分别为无因次的空气阻力、升力和侧力系数。试验结果表明，在攻角 α 及侧滑角 β 较小的情况下， C _y 、 C _z 可表示为

式中， 为升力系数对攻角的偏导数； 为侧力系数对侧滑角的偏导数。

2）空气动力在箭体坐标系各轴上的分量

前面已将空气动力 R 投影在速度坐标系的三轴上，并分别称为气动阻力 X 、气动升力 Y 和气动侧力 Z ，这样的投影不仅符合空气动力产生的原理，而且也便于直接测量。但为了计算空气的力矩，还需要用类似的方法将空气动力 R 投影于箭体坐标系的三轴上，并将其在 X ₁ 轴的负方向取值，则有（见图3.2-12）

式中， X ₁ 、 Y ₁ 、 Z 1分别为轴向力、法向力和横向力； C _{x 1} 、 C _{y 1} 、 C _{z 1} 分别为轴向力、法向力和横向力系数。

在小攻角 α 及小侧滑角 β 下， C _{y 1} 、 C _{z 1} 可表示为

式中， 为法向力系数导数或法向力系数梯度，与 一样，其值恒为正； 称为侧向力系数或侧向力系数梯度，与 一样，其值恒为负。

（3）空气动力各分量及相应系数的关系

由于按式（3.2-91）和式（3.2-94）计算所得 X 、 X ₁ 均为正值，而实际合力 R 在箭体坐标系及速度坐标系 X 轴投影应为负值，故该投影分类应在 X 、 X ₁ 前冠以负号。

根据速度坐标系与箭体坐标系之间的方向余弦关系，即式（2.6-2），合力 R 在此两个坐标系的分量有如下关系：

式中

依据式（3.2-95）分别对空气动力各分量及相应系数进行讨论。

1）阻力和阻力系数

由式（3.2-95）可得

将 X ₁ 分为两部分：一部分是 α =0、 β =0时产生的轴向力 X ₁₀ ；另一部分是 α ≠0、 β ≠0时引起的阻力增量Δ X ₁ 。那么有

X ₁ = X ₁₀ +Δ X ₁

将其代入式（3.2-96）得

考虑到火箭为对称体，且飞行过程中， α 、 β 较小，即有式（3.2-65）和式（3.2-67）存在，则式（3.2-97）可近似为

记

式中， X _i 为攻角和侧滑角引起的诱导阻力。

将阻力写成系数形式，则有关系式

式中， C _{x 10} 为 α = β =0时的阻力系数，它与 α 、 β 无关，仅是马赫数 M 和高度的函数。研究发现， C _{x 10} 在 M =1附近跨音速区剧增，这主要是波阻的作用，超音速后，激波顶角减小，阻力系数减小；在一定的 M 下， C _{x 10} 随高度增加而增加，这主要是由于摩擦阻力在总空气动力中所占比重增加。

C _{x i} 为诱导阻力系数，通常只需对法向力和横向力在阻力方向的分量作修正即可，故计算时用下式：

式中， K 为与火箭形状有关的系数。

2）升力和升力系数

由式（3.2-95）可得升力表达式为

则升力系数为

C _y = C _{y 1} cos α -（ C _{x 10} + C _{x i} ）sin α

考虑到 α 较小， C _{x i} α 可略去不计，则上式可近似为

在 α 较小时，法向力系数 C _{y 1} 为 α 的线性函数，则可得

随高度变化很小，一般不予考虑。通常情况下，空气动力资料只给出 的曲线或数据。

3）侧力和侧力系数

由式（3.2-95）可得侧力表达式为

因 α 、 β 为小量，在略去二阶微量时，上式可简化为

同理可得侧向力系数为

侧力系数对 β 的导数为

注意到式（3.2-94），上式可写为

3.空气动力矩

一般情况下，火箭在飞行过程中，空气动力的作用点（压心）并不与其质心相重合，那么空气动力 R 必将对质心形成转动力矩，这种力矩称为气动稳定力矩，记为 M _st 。另外，当火箭产生相对于大气的转动时，大气将对其产生阻尼作用，该作用力矩称为阻尼力矩，记为 M _d 。

（1）气动稳定力矩

由于通常以箭体坐标系描述火箭的转动，因此，用空气动力对箭体坐标系三轴之矩来表示气动力矩。

已知

R = X ₁ + Y ₁ + Z ₁

而质心与压心之距离矢量可表示为 ， x _p 、 x _z 分别为压心、质心至火箭头部理论尖端的距离（见图3.2-13），均以正值表示。则稳定力矩为

将式（3.2-93）和式（3.2-94）代入上式，且记

式中， M _{y 1st} 、 M _{z 1st} 分别为绕 y ₁ 、 z ₁ 轴稳定力矩； m _{y 1st} 、 m _{z 1st} 为相应的力矩系数； l _k 为火箭的气动参考长度（见图3.2-13）。

则有

式中， ； 。

又记

显然俯仰力矩系数 和偏航力矩系数 有如下关系：

由以上讨论可得稳定力矩的最终计算公式为

由上式可知，稳定力矩的计算与质心和压心的位置有关。压心的位置是通过气动力计算和风洞实验确定的；质心的位置可以通过具体火箭的质量分布和剩余燃料的质量和位置分布得到。

（2）气动静稳定性和静不稳定性

因为法向力系数导数 总是大于零的，所以由式（3.2-113）知， 的符号完全取决于压心与质心的相对位置 和 的数值。如压心在质心之后，即 ，则 ，将产生与欧拉角 α （ β ）反号的俯仰（偏航）力矩。当火箭在飞行中出现干扰Δ α 、Δ β 时，力矩 M _{z 1st} 和 M _{y 1st} 使火箭分别绕 z ₁ 轴、 y ₁ 轴旋转来消除Δ α 、Δ β 角，此时称火箭是静稳定的，称 M _{z 1st} 、 M _{y 1st} 为静稳定力矩。相反，如压心在质心之前，则 ，则 ，必将产生与欧拉角 α （ β ）同号的俯仰（偏航）力矩，那么当出现Δ α 、Δ β 角时，力矩 M _{z 1st} 和 M _{y 1st} 将使火箭绕 z ₁ 轴、 y ₁ 轴旋转造成Δ α 、Δ β 增大，此时称火箭是静不稳定的，这两个力矩称为静不稳定力矩。无量纲量 称为稳定裕度。当该值为负且绝对值较大时，对火箭稳定性有好处，但也会导致其结构上有较大的弯矩，这对于运载火箭是不允许的。需要指出的是，静稳定性是指火箭在不加控制情况下的一种空气动力特性。实际上，对于静不稳定火箭而言，只要控制系统设计得当，火箭在控制力作用下，仍可稳定飞行。因此，不要将火箭的固有空气动力静稳定性与控制系统作用下的操纵稳定性混淆。

（3）阻尼力矩

火箭在运动中有转动时，存在大气的阻尼，表现为阻止转动的空气动力矩，这一力矩称为阻尼力矩。该力矩的方向总是与火箭转动方向相反，始终对转动运动的火箭起阻尼作用。

下面以俯仰阻尼力矩为例讨论气动阻尼力矩产生的机理及数学表达式的问题。如火箭以零攻角和速度 V 飞行，同时以角速度 ω _{z 1} 转动（见图3.2-14），则在距质心（ x _z - x ）处的单元长度有线速度 ω _{z 1} （ x _z - x ）。该线速度与火箭运动速度 V 组合成新的速度，这就产生了局部攻角Δ α 。图3.2-14给出了Δ α ＜0（ x ＜ x _z ）及Δ α ＞0（ x ＞ x _z ）两种情况。根据图3.2-14所示有下式：

因Δ α 很小，可近似认为

对质心产生的附加力矩为

式中， 为长度方向上某一单位长度的法向力系数对 α 的导数。

将全箭的空气动力矩综合起来，即可求得火箭的俯仰阻尼力矩为

式中， 为无因次俯仰角速度； 为俯仰阻尼力矩系数导数，符号始终为负，而其值则由实验确定。

同理，可得偏航阻尼力矩表达式：

式中， 为无因次偏航角速度； 为偏航阻尼力矩系数导数，符号恒为负，其值由实验确定。

对于轴对称火箭， ，故偏航阻尼力矩也可写为

当火箭以角速度 ω _{x 1} 绕纵轴 x ₁ 旋转时，也将产生附加的滚动阻尼力矩。由于火箭为一细长轴对称体，因而其滚动阻尼力矩主要由尺寸大的尾翼产生的，同时空气黏性对箭体也将产生不太大的摩擦阻尼力矩。

滚动阻尼力矩可写为

式中， 为无因次滚转角速度； 为滚转阻尼力矩系数导数，符号恒为负，其值由实验确定。

滚动阻尼力矩较俯仰和偏航阻尼力矩要小很多，它们相应的力矩系数的绝对值之比，对某些火箭而言约为1∶100。

火箭绕箭体坐标系各轴转动除引起对应轴的阻尼力矩外，还会引起交叉力矩。它也是以力矩系数导数形式给出的，在一般情况下，只考虑四个交叉力矩。

由滚动角速度 ω _{x 1} 引起的俯仰力矩 ；

由滚动角速度 ω _{x 1} 引起的偏航力矩 ；

由偏航角速度 ω _{y 1} 引起的滚动力矩 ；

由俯仰角速度 ω _{z 1} 引起的滚动力矩 ；

至于由偏航角速度 ω _{y 1} 引起的俯仰力矩、由俯仰角速度 ω _{z 1} 引起的偏航力矩均不考虑。

则由转动角速度引起的总力矩为

综上所述，火箭在大气中飞行并伴随转动运动时，在承受气动稳定力矩的同时，必然要受到气动阻尼力矩的作用，而阻尼力矩的大小，直接影响着火箭飞行的动态特性。 EIxUK9oz2jDV29S901xjNBtrelkdiXWlnzRE5Gr8B0Dk/+X7lAT7kG6KSFWOuW3G