3.1 变质量力学基本原理

当研究火箭的运动时，在每一瞬间，只将该瞬间位于“规定”表面以内的质点作为它的组成。这一“规定”表面，通常取火箭的外表面和喷管的出口断面。发动机工作时，燃料燃烧后的气体质点不断地由火箭内部喷出，火箭质量不断减少，因此，整个火箭运动过程是一变质量系。实际上，火箭质量变化原因除燃料消耗外，还有控制发动机系统及冷却工作时的工质消耗影响等，这些都使火箭整体不是一个定质点系。这样，动力学的经典理论就不能直接用来研究火箭的运动，因而有必要介绍变质量系运动的基本力学原理。

3.1.1 变质量质点的基本方程

设有一质量随时间变化的质点，其质点在 t 时刻为 m （ t ），并具有绝对速度 V ，此时该质点的动量为

在时间d t 内，由外界作用在系统质点上的力 F ，且质点 M 向外以相对速度 V _r 喷射出元质量-d m ，如图3.1-1所示。显然有

假设在d t 时间内质点 m （ t +d t ）具有的速度增量为d V ，那么在 t +d t 时刻，整个质点的动量应为

略去d m d V 项，则

比较式（3.1-1）和式（3.1-4），可得整个质点在d t 时间内的动量变化量：

根据常质量质点动量定理有

式中， F 为外界作用在整个质点上的力。

即有

该方程称为密歇尔斯基方程，即变质量质点基本方程。对于不变质量质点， ，则式（3.1-7）可变为如下形式：

如果将式（3.1-7）中具有力的因次项 视为作用在质点 M 上的力，记为 P _r 。则可将式（3.1-7）写成如下形式：

式中， P _r 为喷射反作用力。

对于物体而言， ，故喷射反作用力的方向与 V _r 方向相反，是一个加速度力。

由上可知，物体产生运动状态的变化，除外界作用力外，还可通过物体本身向所需运动反方向喷射而获得加速度，这称为直接反作用原理。

根据密歇尔斯基方程，如果质点不受外力作用，则有

如设 V 与 V _r 正好反向，则有以下标量形式

即

当喷射元质量的速度 V _r 为定值，对上式积分可得

式中， V ₀ 、 m ₀ 为起始时刻质点所具有的速度和质量； m ₀ 为物体结构质量 m _k 与全部可喷射质量 m _T 之和。

如初始速度 V ₀ =0，在 m _T 全部喷射完时，物体具有的速度为

上式为著名的齐奥尔柯夫斯基公式。用该公式计算出的速度为理想速度。

该式说明，物体不受外力作用时，变质量质点在给定的 m ₀ 中，喷射物质占有的质量 m _T 越多或喷射物质质量一定，但喷射元质量的速度 V _r 越大，则质点的理想速度就越大。

3.1.2 变质量质点系的质心运动方程和绕质心转动方程

当组成物体为变质量质点系，其中除有一些质点随物体作牵连运动外，在物体内部还有相对运动，这对物体的运动也是有影响的。此外，如对该物体运用密歇尔斯基方程来建立运动方程，则存在近似性，因此必须对变质量质点系进行专门讨论。

前面关于理论力学的内容，已介绍了离散质点系的动力学方程。即，在惯性系 O-XYZ 中，有一质点系 S ，该质点系由 N 个质点组成，离散质点 m _i 在惯性坐标系中的矢径为 r _i ，外界作用于系统 S 上的总外力为 F _S ，则系统 S 的平动方程及转动方程分别为

现在要研究连续质系（即物体）的运动方程，则将物体考虑成无穷个具有无穷小质量的质点组成的系统。在这种情况下，式（3.1-12）和式（3.1-13）中的求和符号可用积分符号来代替，于是有

上两式中虽只有一个积分符号，实质上，对于一个三维系统，该积分为三重积分。这是因为d m 可以写成 ρ d V ，其中的 ρ 为质量密度，d V 为体积元。故将该体积元以 表示。

1.连续质系 S 的质量运动方程

设系统 S 对惯性坐标系有转动速度 ω _T ，而系统 S 中的任一质点元 p 在惯性坐标系中的矢径 r 可以为系统 S 质心的矢径 r _{c ， m} 与质心到质点元 p 的矢量 ρ 之和，如图3.1-2所示，有

利用理论力学中加速度合成定理可得 p 点的绝对加速度为

由于 ρ 表示系统 S 的质点到质心的矢径，根据质心的定义有 。因此，将式（3.1-17）代入式（3.1-14）后，有

式（3.1-18）为适用于任意变质量物体的一般运动方程，从而可得任意变质量物体的质心运动方程为

式中

、 分别称为系统 S 的附加哥氏力和附加相对力。

2.连续质系 S 的转动方程

由式（3.1-15）不难写出变质量质点系 S 在力 F 下所产生的绕惯性坐标系原点 O 和绕系统 S 质心的力矩方程

考虑到以后研究火箭在空中的姿态变化是以绕质心的转动来进行的，因此下面对式（3.1-21）进行讨论。

将式（3.1-17）代入式（3.1-21），则力矩方程可写为

注意到 r _{c ， m} 与质量d m 无关，且按质心的定义有 =0，故上式简化为

上式为适用于任意变质量物体的绕质心的一般转动方程。据此可写成另一种形式，首先将上式移项写为

式中

、 分别为系统 S 的附加哥氏力矩和附加相对力矩。

式（3.1-23）左端的第一项，根据矢量叉积运算法则可得

记

该式是将系统视为刚体后，该刚体对质心的总角动量。

现将变质量物体的质心作为原点 o ₁ ，建立一个与该物体固连的任意直角坐标系 o ₁ -xyz ，并设有

则由矢量运算公式得

定义

式中， I _xx 、 I _yy 、 I _zz 为转动惯量；其余为惯量积。

为书写方便，可将式（3.1-26）写为

式中

为惯量张量。

将式（3.1-28）代入式（3.1-24）可得

同理，可将式（3.1-23）之左侧第二项写为

最终可将式（3.1-23）写为

显然，式（3.1-32）左端是惯性力矩。

式（3.1-19）和式（3.1-32）是变质量物体的一般的质心运动方程和绕质心运动方程，形式上与适用于刚体的方程式相同。因此，可引进一条重要的原理，即刚化原理，现叙述如下：

在一般情况下，任意一个变质量系统在瞬时 t 的质心运动方程和绕质心运动方程，能用如下这样一个刚体的相应方程来表示：这个刚体的质量等于系统在瞬时 t 的质量，而它受的力除了真实的外力和力矩外，还要加两个附加力和力矩，即附加哥氏力、附加相对力和附加哥氏力矩、附加相对力矩。 G4Q/1ouzYMLV2Ez2QgmK4leB8AW19QbPCEMtfeMcNXfZRbEjbwKUGmzSfSHqp0lY