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3.1 变质量力学基本原理

当研究火箭的运动时,在每一瞬间,只将该瞬间位于“规定”表面以内的质点作为它的组成。这一“规定”表面,通常取火箭的外表面和喷管的出口断面。发动机工作时,燃料燃烧后的气体质点不断地由火箭内部喷出,火箭质量不断减少,因此,整个火箭运动过程是一变质量系。实际上,火箭质量变化原因除燃料消耗外,还有控制发动机系统及冷却工作时的工质消耗影响等,这些都使火箭整体不是一个定质点系。这样,动力学的经典理论就不能直接用来研究火箭的运动,因而有必要介绍变质量系运动的基本力学原理。

3.1.1 变质量质点的基本方程

设有一质量随时间变化的质点,其质点在 t 时刻为 m t ),并具有绝对速度 V ,此时该质点的动量为

在时间d t 内,由外界作用在系统质点上的力 F ,且质点 M 向外以相对速度 V r 喷射出元质量-d m ,如图3.1-1所示。显然有

图3.1-1 变质量质点示意图

假设在d t 时间内质点 m t +d t )具有的速度增量为d V ,那么在 t +d t 时刻,整个质点的动量应为

略去d m d V 项,则

比较式(3.1-1)和式(3.1-4),可得整个质点在d t 时间内的动量变化量:

根据常质量质点动量定理有

式中, F 为外界作用在整个质点上的力。

即有

该方程称为密歇尔斯基方程,即变质量质点基本方程。对于不变质量质点, ,则式(3.1-7)可变为如下形式:

如果将式(3.1-7)中具有力的因次项 视为作用在质点 M 上的力,记为 P r 。则可将式(3.1-7)写成如下形式:

式中, P r 为喷射反作用力。

对于物体而言, ,故喷射反作用力的方向与 V r 方向相反,是一个加速度力。

由上可知,物体产生运动状态的变化,除外界作用力外,还可通过物体本身向所需运动反方向喷射而获得加速度,这称为直接反作用原理。

根据密歇尔斯基方程,如果质点不受外力作用,则有

如设 V V r 正好反向,则有以下标量形式

当喷射元质量的速度 V r 为定值,对上式积分可得

式中, V 0 m 0 为起始时刻质点所具有的速度和质量; m 0 为物体结构质量 m k 与全部可喷射质量 m T 之和。

如初始速度 V 0 =0,在 m T 全部喷射完时,物体具有的速度为

上式为著名的齐奥尔柯夫斯基公式。用该公式计算出的速度为理想速度。

该式说明,物体不受外力作用时,变质量质点在给定的 m 0 中,喷射物质占有的质量 m T 越多或喷射物质质量一定,但喷射元质量的速度 V r 越大,则质点的理想速度就越大。

3.1.2 变质量质点系的质心运动方程和绕质心转动方程

当组成物体为变质量质点系,其中除有一些质点随物体作牵连运动外,在物体内部还有相对运动,这对物体的运动也是有影响的。此外,如对该物体运用密歇尔斯基方程来建立运动方程,则存在近似性,因此必须对变质量质点系进行专门讨论。

前面关于理论力学的内容,已介绍了离散质点系的动力学方程。即,在惯性系 O-XYZ 中,有一质点系 S ,该质点系由 N 个质点组成,离散质点 m i 在惯性坐标系中的矢径为 r i ,外界作用于系统 S 上的总外力为 F S ,则系统 S 的平动方程及转动方程分别为

现在要研究连续质系(即物体)的运动方程,则将物体考虑成无穷个具有无穷小质量的质点组成的系统。在这种情况下,式(3.1-12)和式(3.1-13)中的求和符号可用积分符号来代替,于是有

上两式中虽只有一个积分符号,实质上,对于一个三维系统,该积分为三重积分。这是因为d m 可以写成 ρ d V ,其中的 ρ 为质量密度,d V 为体积元。故将该体积元以 表示。

1.连续质系 S 的质量运动方程

设系统 S 对惯性坐标系有转动速度 ω T ,而系统 S 中的任一质点元 p 在惯性坐标系中的矢径 r 可以为系统 S 质心的矢径 r c m 与质心到质点元 p 的矢量 ρ 之和,如图3.1-2所示,有

图3.1-2 质点系矢量关系

利用理论力学中加速度合成定理可得 p 点的绝对加速度为

由于 ρ 表示系统 S 的质点到质心的矢径,根据质心的定义有 。因此,将式(3.1-17)代入式(3.1-14)后,有

式(3.1-18)为适用于任意变质量物体的一般运动方程,从而可得任意变质量物体的质心运动方程为

式中

分别称为系统 S 的附加哥氏力和附加相对力。

2.连续质系 S 的转动方程

由式(3.1-15)不难写出变质量质点系 S 在力 F 下所产生的绕惯性坐标系原点 O 和绕系统 S 质心的力矩方程

考虑到以后研究火箭在空中的姿态变化是以绕质心的转动来进行的,因此下面对式(3.1-21)进行讨论。

将式(3.1-17)代入式(3.1-21),则力矩方程可写为

注意到 r c m 与质量d m 无关,且按质心的定义有 =0,故上式简化为

上式为适用于任意变质量物体的绕质心的一般转动方程。据此可写成另一种形式,首先将上式移项写为

式中

分别为系统 S 的附加哥氏力矩和附加相对力矩。

式(3.1-23)左端的第一项,根据矢量叉积运算法则可得

该式是将系统视为刚体后,该刚体对质心的总角动量。

现将变质量物体的质心作为原点 o 1 ,建立一个与该物体固连的任意直角坐标系 o 1 -xyz ,并设有

则由矢量运算公式得

定义

式中, I xx I yy I zz 为转动惯量;其余为惯量积。

为书写方便,可将式(3.1-26)写为

式中

为惯量张量。

将式(3.1-28)代入式(3.1-24)可得

同理,可将式(3.1-23)之左侧第二项写为

最终可将式(3.1-23)写为

显然,式(3.1-32)左端是惯性力矩。

式(3.1-19)和式(3.1-32)是变质量物体的一般的质心运动方程和绕质心运动方程,形式上与适用于刚体的方程式相同。因此,可引进一条重要的原理,即刚化原理,现叙述如下:

在一般情况下,任意一个变质量系统在瞬时 t 的质心运动方程和绕质心运动方程,能用如下这样一个刚体的相应方程来表示:这个刚体的质量等于系统在瞬时 t 的质量,而它受的力除了真实的外力和力矩外,还要加两个附加力和力矩,即附加哥氏力、附加相对力和附加哥氏力矩、附加相对力矩。 qW9xNYpX/g9f5/xXlCPhfAKcbDEKJIlJ3rMcw9I9kx/dOUixPel0EZSIC3ph1XBd

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