下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
当研究火箭的运动时，在每一瞬间，只将该瞬间位于“规定”表面以内的质点作为它的组成。这一“规定”表面，通常取火箭的外表面和喷管的出口断面。发动机工作时，燃料燃烧后的气体质点不断地由火箭内部喷出，火箭质量不断减少，因此，整个火箭运动过程是一变质量系。实际上，火箭质量变化原因除燃料消耗外，还有控制发动机系统及冷却工作时的工质消耗影响等，这些都使火箭整体不是一个定质点系。这样，动力学的经典理论就不能直接用来研究火箭的运动，因而有必要介绍变质量系运动的基本力学原理。
设有一质量随时间变化的质点，其质点在 t 时刻为 m （ t ），并具有绝对速度 V ，此时该质点的动量为
在时间d t 内，由外界作用在系统质点上的力 F ，且质点 M 向外以相对速度 V r 喷射出元质量-d m ，如图3.1-1所示。显然有
图3.1-1 变质量质点示意图
假设在d t 时间内质点 m （ t +d t ）具有的速度增量为d V ，那么在 t +d t 时刻，整个质点的动量应为
略去d m d V 项，则
比较式（3.1-1）和式（3.1-4），可得整个质点在d t 时间内的动量变化量：
根据常质量质点动量定理有
式中， F 为外界作用在整个质点上的力。
即有
该方程称为密歇尔斯基方程，即变质量质点基本方程。对于不变质量质点，
，则式（3.1-7）可变为如下形式：
如果将式（3.1-7）中具有力的因次项
视为作用在质点
M
上的力，记为
P
r
。则可将式（3.1-7）写成如下形式：
式中， P r 为喷射反作用力。
对于物体而言，
，故喷射反作用力的方向与
V
r
方向相反，是一个加速度力。
由上可知，物体产生运动状态的变化，除外界作用力外，还可通过物体本身向所需运动反方向喷射而获得加速度，这称为直接反作用原理。
根据密歇尔斯基方程，如果质点不受外力作用，则有
如设 V 与 V r 正好反向，则有以下标量形式
即
当喷射元质量的速度 V r 为定值，对上式积分可得
式中， V 0 、 m 0 为起始时刻质点所具有的速度和质量； m 0 为物体结构质量 m k 与全部可喷射质量 m T 之和。
如初始速度 V 0 =0，在 m T 全部喷射完时，物体具有的速度为
上式为著名的齐奥尔柯夫斯基公式。用该公式计算出的速度为理想速度。
该式说明，物体不受外力作用时，变质量质点在给定的 m 0 中，喷射物质占有的质量 m T 越多或喷射物质质量一定，但喷射元质量的速度 V r 越大，则质点的理想速度就越大。
当组成物体为变质量质点系，其中除有一些质点随物体作牵连运动外，在物体内部还有相对运动，这对物体的运动也是有影响的。此外，如对该物体运用密歇尔斯基方程来建立运动方程，则存在近似性，因此必须对变质量质点系进行专门讨论。
前面关于理论力学的内容，已介绍了离散质点系的动力学方程。即，在惯性系 O-XYZ 中，有一质点系 S ，该质点系由 N 个质点组成，离散质点 m i 在惯性坐标系中的矢径为 r i ，外界作用于系统 S 上的总外力为 F S ，则系统 S 的平动方程及转动方程分别为
现在要研究连续质系（即物体）的运动方程，则将物体考虑成无穷个具有无穷小质量的质点组成的系统。在这种情况下，式（3.1-12）和式（3.1-13）中的求和符号可用积分符号来代替，于是有
上两式中虽只有一个积分符号，实质上，对于一个三维系统，该积分为三重积分。这是因为d
m
可以写成
ρ
d
V
，其中的
ρ
为质量密度，d
V
为体积元。故将该体积元以
表示。
设系统 S 对惯性坐标系有转动速度 ω T ，而系统 S 中的任一质点元 p 在惯性坐标系中的矢径 r 可以为系统 S 质心的矢径 r c ， m 与质心到质点元 p 的矢量 ρ 之和，如图3.1-2所示，有
图3.1-2 质点系矢量关系
利用理论力学中加速度合成定理可得 p 点的绝对加速度为
由于
ρ
表示系统
S
的质点到质心的矢径，根据质心的定义有
。因此，将式（3.1-17）代入式（3.1-14）后，有
式（3.1-18）为适用于任意变质量物体的一般运动方程，从而可得任意变质量物体的质心运动方程为
式中
、
分别称为系统
S
的附加哥氏力和附加相对力。
由式（3.1-15）不难写出变质量质点系 S 在力 F 下所产生的绕惯性坐标系原点 O 和绕系统 S 质心的力矩方程
考虑到以后研究火箭在空中的姿态变化是以绕质心的转动来进行的，因此下面对式（3.1-21）进行讨论。
将式（3.1-17）代入式（3.1-21），则力矩方程可写为
注意到
r
c
，
m
与质量d
m
无关，且按质心的定义有
=0，故上式简化为
上式为适用于任意变质量物体的绕质心的一般转动方程。据此可写成另一种形式，首先将上式移项写为
式中
、
分别为系统
S
的附加哥氏力矩和附加相对力矩。
式（3.1-23）左端的第一项，根据矢量叉积运算法则可得
记
该式是将系统视为刚体后，该刚体对质心的总角动量。
现将变质量物体的质心作为原点 o 1 ，建立一个与该物体固连的任意直角坐标系 o 1 -xyz ，并设有
则由矢量运算公式得
定义
式中， I xx 、 I yy 、 I zz 为转动惯量；其余为惯量积。
为书写方便，可将式（3.1-26）写为
式中
为惯量张量。
将式（3.1-28）代入式（3.1-24）可得
同理，可将式（3.1-23）之左侧第二项写为
最终可将式（3.1-23）写为
显然，式（3.1-32）左端是惯性力矩。
式（3.1-19）和式（3.1-32）是变质量物体的一般的质心运动方程和绕质心运动方程，形式上与适用于刚体的方程式相同。因此，可引进一条重要的原理，即刚化原理，现叙述如下：
在一般情况下，任意一个变质量系统在瞬时 t 的质心运动方程和绕质心运动方程，能用如下这样一个刚体的相应方程来表示：这个刚体的质量等于系统在瞬时 t 的质量，而它受的力除了真实的外力和力矩外，还要加两个附加力和力矩，即附加哥氏力、附加相对力和附加哥氏力矩、附加相对力矩。