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其坐标系的坐标原点 O n 可根据需要选在任意点， O n Y n 与过原点的地心矢径 r 的方向一致， O n X n 轴指向北极且与 O n Y n 轴垂直， O n Z n 轴指向东方且与 O n X n 、 O n Y n 成右手系（见图2.8-1）。
假定某时刻火箭位于空间点
K
，且以点
K
为原点作北天东坐标系
K-X
n
Y
n
Z
n
。下面基于定义推导惯性坐标系
O-XYZ
至北天东坐标系
K-
X
n
Y
n
Z
n
的方向余弦矩阵
。
图2.8-1 北天东坐标系与惯性坐标系的关系
如图2.8-1所示，不妨记惯性坐标系原点 O 地心矢径为 R 0 、北天东坐标系原点 K 地心矢径为 r K 、 O 至点 K 矢径为 ρ ，则由式（2.4-5）可知点 O 地心矢径在惯性坐标系投影形式（ R 0 x R 0 y R 0 z ） T 。
地心 O e 至点 K 矢量 r K = r 0 + ρ ，其分量形式为
式中， x K 、 y K 、 z K 为 K 点在 O-XYZ 中坐标。
设
e
X
、
e
Y
、
e
Z
为坐标系
O-XYZ
三轴单位矢量，
、
、
为坐标系
K
-
x
n
y
n
z
n
三轴单位矢量，
e
r
为
r
K
单位矢量，
e
ω
为地球自转角速度
ω
e
单位矢量，且
e
r
、
e
ω
可写为
由图2.5-2所示及式（2.5-8），式中
、
、
易知为
又由图2.8-1所示可知
且由矢量点积、叉积运算可知，
，考虑到
ϕ
K
∈［-90°，90°］及式（2.8-2），则有
将式（2.8-2）代入式（2.8-6）得
式中
又由矢量积公式 （ a × b ）× c = b （ a · c ）- a （ b · c ） 、 e r · e r =1 、 e Ω · e r =sin ϕ K 知
考虑到 ϕ K ∈［-90°，90°］及式（2.8-9），有
则将式（2.8-3）、式（2.8-10）、式（2.8-11）代入式（2.8-7）得
式中
由式（2.3-8）可知
则将式（2.8-2）、式（2.8-8）、式（2.8-12）代入式（2.8-14）得发射惯性系至北天东坐标系的方向余弦矩阵：
发射坐标系
O
f
-X
f
Y
f
Z
f
至北天东坐标系
K-X
n
Y
n
Z
n
的方向余弦矩阵
形式上与
完全一致，只是式（2.8-1）中的
x
K
、
y
K
、
z
K
需要使用
K
点地心矢径
r
K
在发射坐标系下投影。