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2.8 北天东坐标系

2.8.1 北天东坐标系定义

其坐标系的坐标原点 O n 可根据需要选在任意点, O n Y n 与过原点的地心矢径 r 的方向一致, O n X n 轴指向北极且与 O n Y n 轴垂直, O n Z n 轴指向东方且与 O n X n O n Y n 成右手系(见图2.8-1)。

2.8.2 北天东坐标系与惯性坐标系的关系

假定某时刻火箭位于空间点 K ,且以点 K 为原点作北天东坐标系 K-X n Y n Z n 。下面基于定义推导惯性坐标系 O-XYZ 至北天东坐标系 K- X n Y n Z n 的方向余弦矩阵

图2.8-1 北天东坐标系与惯性坐标系的关系

如图2.8-1所示,不妨记惯性坐标系原点 O 地心矢径为 R 0 、北天东坐标系原点 K 地心矢径为 r K O 至点 K 矢径为 ρ ,则由式(2.4-5)可知点 O 地心矢径在惯性坐标系投影形式( R 0 x R 0 y R 0 z T

地心 O e 至点 K 矢量 r K = r 0 + ρ ,其分量形式为

式中, x K y K z K K 点在 O-XYZ 中坐标。

e X e Y e Z 为坐标系 O-XYZ 三轴单位矢量, 为坐标系 K - x n y n z n 三轴单位矢量, e r r K 单位矢量, e ω 为地球自转角速度 ω e 单位矢量,且 e r e ω 可写为

由图2.5-2所示及式(2.5-8),式中 易知为

又由图2.8-1所示可知

且由矢量点积、叉积运算可知, ,考虑到 ϕ K ∈[-90°,90°]及式(2.8-2),则有

将式(2.8-2)代入式(2.8-6)得

式中

又由矢量积公式 a × b )× c = b a · c )- a b · c e r · e r =1 e Ω · e r =sin ϕ K

考虑到 ϕ K ∈[-90°,90°]及式(2.8-9),有

则将式(2.8-3)、式(2.8-10)、式(2.8-11)代入式(2.8-7)得

式中

由式(2.3-8)可知

则将式(2.8-2)、式(2.8-8)、式(2.8-12)代入式(2.8-14)得发射惯性系至北天东坐标系的方向余弦矩阵:

2.8.3 北天东坐标系与发射坐标系的关系

发射坐标系 O f -X f Y f Z f 至北天东坐标系 K-X n Y n Z n 的方向余弦矩阵 形式上与 完全一致,只是式(2.8-1)中的 x K y K z K 需要使用 K 点地心矢径 r K 在发射坐标系下投影。 8lbxXEUrzMxh+scgnFX0ZrBSboURkKXtSznG6wm8tL4q00lIOlsVQrSuHFdqejsw

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