运载火箭弹道与控制理论基础最新章节_赵文策著

2.4 发射坐标系和箭体坐标系

2.4.1 发射坐标系

运载火箭的发射点一般在地球上，观察和讨论其运动时也是相对地球而言的。为此，首先定义固连于地球且随之转动的发射坐标系，并将它作为讨论火箭运动规律的基本参考系。

定义的发射坐标系，其原点取于火箭发射点 O _f ； O _f Y _f 轴为过发射点的法线，向上为正，其延长线过地球赤道平面交地轴于点，它与赤道平面的夹角为大地纬度 B ₀ ，而 O _f Y _f 所在大地子午面与起始大地子午面之间的二面角为大地经度 L ₀ ； O _f X _f 轴与 O _f Y _f 轴垂直，且指向瞄准方向，它与发射点大地子午面正北方向构成的夹角 A ₀ 即为大地瞄准方位角； O _f Z _f 轴与 O _f X _f 、 O _f Y _f 构成右手直角坐标系。在弹道学理论中，常将 X _f O _f Y _f 平面称为射击平面，简称射面。

显然，发射坐标系是动坐标系。有了发射坐标系后，就可较方便地用来描述运动中的火箭质心任一时刻相对地球的位置和速度，同时也可用来描述地球对火箭的引力问题。

不妨设与地球椭球交点为，且设点的地心球坐标为 r ₀ 、 ϕ ₀ 、 L ₀ 。

需要指出的是，地球椭球是对真实地球的近似，所以发射点 O _f 相对地球椭球具有大地高 H ₀ ，即发射点大地坐标可记为 B ₀ 、 L ₀ 、 H ₀ 。

将发射坐标系 O _f -X _f Y _f Z _f 的原点 O _f 平移至，可得一新坐标系，如图2.4-1所示。

图2.4-1 发射坐标系（平移后）示意图

依据大地高定义，地球椭球表面大地高为0，对应地心纬度 ϕ ₀ 可由式（2.2-16）给出

则图2.4-1所示的 μ ₀ 可表示为

由式（2.2-13）可得在地心坐标系的坐标为

注意到式（2.2-12）、式（2.2-9）和式（2.2-2）可得

式中， a 、 b 分别为地球椭球的长、短半轴。

参照图2.4-1所示几何关系，可知地心 O _e 在中坐标为

注意到发射坐标系定义及其与的平移关系，可知发射点 O _f 地心矢径在发射坐标系 O _f -X _f Y _f Z _f 投影为

假设火箭某时刻位于空间 m 点，那么该点位置既可以用 m 点在发射坐标系的位置 ρ =（ x _f y _f z _f ） ^T 表示，也可用 m 点对地心的矢径 r 来确定，即

或

式中， x ⁰ 、 y ⁰ 、 z ⁰ 为发射坐标系各轴的单位矢量。

矢量 r 大小及方向余弦可表示为

在确定了飞行火箭质心相对发射坐标系的矢径后，那么描述其质心相对该坐标系的速度也就容易确定了。因此，发射坐标系在研究火箭相对地面运动的规律时，是一个较为方便的参考系。

需要注意的是，本节讨论的发射坐标系，是基于法线系的，即 O _f Y _f 轴取过发射点的法线方向，但有时为了应用需要， O _f Y _f 轴也可取过发射点的铅垂线方向，这时就要考虑垂线偏差的影响了。

2.4.2 箭体坐标系

为描述飞行火箭相对地球的运动姿态，引入一个固连于箭体且随火箭一起运动的直角坐标 O ₁ -X ₁ Y ₁ Z ₁ ，该坐标系称为箭体坐标系。

坐标原点取在火箭质心 O ₁ 上； O ₁ X ₁ 轴与箭体纵对称轴一致，指向载荷方向； O ₁ Y ₁ 轴垂直于 O ₁ X ₁ 轴，且位于火箭纵对称面内，指向上方； O ₁ Z ₁ 轴与 O ₁ X ₁ 、 O ₁ Y ₁ 构成右手直角坐标系（见图2.4-2）。

图2.4-2 箭体坐标系示意图

箭体坐标系的引入，不仅方便描述飞行火箭相对地球的运动姿态，而且由于发动机的推力方向和控制力的方向分别与箭体坐标系的 X ₁ 、 Y ₁ 及 Z ₁ 轴方向一致，因而用这个坐标来描述推力和控制力也是十分简便的。

由于运载火箭通常是垂直发射的，因而在发射时必须对其进行发射定向工作。一般情况下，发射瞬时火箭纵对称面在射击平面内，因此，火箭纵轴 O ₁ X ₁ 必然与发射坐标系的 O _f Y _f 轴重合，而箭体坐标系 O ₁ Y ₁ 轴则应指向射击瞄准方向的反方向，至于 O ₁ Z ₁ 自然与 O _f Z _f 轴同向。

2.4.3 箭体坐标系与发射坐标系的关系

1.坐标系间的关系

火箭飞行过程中，如果已知其质心相对发射坐标系之坐标（ x _f y _f z _f ） ^T ，那么火箭相对发射点的位置也就认为是确定的了。然而，此时火箭的运动是抬头还是低头，是偏左还是偏右，并不知道。换言之，发射坐标系所能够确定的仅是火箭质心任一时刻相对地球的位置，而无法确定飞行火箭相对地球的运动姿态。只有将固连于地球的发射坐标系和固连于火箭的箭体坐标系联合使用，才能既可描述飞行火箭任一飞行瞬时相对地球的位置，也能确定其相对地球的飞行姿态。为此，需要建立箭体坐标系与发射坐标系间的关系。

在建立两坐标系间关系时，可以认为：箭体坐标系，是由在发射瞬间与发射坐标系相重合的辅助发射坐标系平移（这种平移并不影响发射坐标系相对箭体坐标系的方位姿态，而仅是发射坐标系的原点改变而已）到火箭质心 O ₁ 后（记为 O ₁ -X _f Y _f Z _f ），经过3次连续旋转得到的，即 O ₁ -X ₁ Y ₁ Z ₁ ；相应两坐标系间的方向余弦矩阵分别为 M ₃ （ φ ）、 M ₂ （ ψ ）、 M ₁ （ γ ）。很显然，平移后的辅助发射坐标与箭体坐标系各轴间的3个欧拉角分别为 φ 、 ψ 、 γ （见图2.4-3）。

图2.4-3 箭体坐标系与发射坐标系的关系

由式（2.3-15）即可得发射坐标系与箭体坐标系间的方向余弦矩阵式为

2.姿态角的定义及其几何意义

从上面不难看出，箭体坐标系与发射坐标系间的坐标关系完全由 φ 、 ψ 及 γ 的3个欧拉角所联系。也就是说，火箭相对发射坐标系的飞行姿态完全由 φ 、 ψ 及 γ 来确定。在弹道学中，通常将欧拉角 φ 、 ψ 及 γ 分别称为火箭俯仰角、偏航角及滚动角，统称为火箭相对地球的飞行姿态角。

由于火箭姿态角在研究火箭相对地面的飞行中关系重大，因此有必要对它们的含义及几何意义进行讨论。

（1）俯仰角 φ

它是指火箭纵对称轴 O ₁ X ₁ 在 X _f O ₁ Y _f 平面内的投影与 O ₁ X _f 轴之间的夹角，且规定：当纵轴 O ₁ X ₁ 在射面 X _f O ₁ Y _f 内的投影在 O ₁ X ₁ 轴的上方时，定义为正，反之为负。由此可知，俯仰角 φ 实质上描述飞行火箭相对地面下俯（即箭体低头）或上仰（即箭体抬头）程度的一个物理量。

（2）偏航角 ψ

它是指火箭纵对称轴 O ₁ X ₁ 与 X _f O ₁ Y _f 平面之间的夹角，且规定：当 O ₁ X ₁ 轴在射面的左边（顺 O ₁ X _f 轴正向看去）时，它定义为正，反之为负。毫无疑问，偏航角 ψ 是描述火箭偏离射面程度的一个物理量。

（3）滚动角 γ

它是指火箭横轴 O ₁ Z ₁ 与平面间的夹角，且规定：当横轴 O ₁ Z ₁ 在 X ₁ O ₁ Y _f 平面之下时，它定义为正，反之为负。由此可见，滚动角实质上是描述箭体绕其纵轴 O ₁ X ₁ 滚转程度的一个物理量。

对于运载火箭来说，俯仰角 φ 要比偏航角 ψ 和滚动角 γ 大很多，前者约在15°～90°的范围内变化，而后者的变化范围仅几度而已。这意味着，为能确保飞行火箭始终不偏离射面及控制仪器的正常工作，那么既不希望其飞行偏离射面，也不要求它有任何滚动，否则不仅会造成大的横向偏差，甚至还会影响控制仪器的正常工作。附带说明一点，火箭相对地面的飞行姿态的变化无非俯仰、偏航和滚动这三种运动。所以固连于箭体上的箭体坐标系定能以不同方式相对发射坐标系进行俯仰、偏航和滚动后而与其重合。上面所介绍的旋转方法，只是采用了先转动俯仰角 φ ，再转动偏航角 ψ ，最后转动滚动角 γ 的旋转顺序，而使两坐标系重合的。但事实上，旋转顺序完全可以任意选择，毫无疑问，不同的旋转顺序所得到的3个欧拉角的定义不同，因而两坐标系间的方向余弦关系式也各异。但对火箭飞行姿态的最终描述效果都是完全一样的。

尽管发射坐标系经过3次旋转后与箭体坐标系重合，但需要注意的是，这纯属为研究问题方便而人为分开的。事实上，这3次转动是同时进行的，因而火箭相对地面旋转角速度的合矢量 ω ₁ 应为

根据图2.4-5所示，式（2.4-10）中矢量在相应坐标系下作如下标记：

则由坐标转换关系可知旋转角速度在箭体坐标系下有如下投影形式：

即， ω ₁ 在箭体坐标系下的投影为

由上式又可以导出

2.4.4 发射坐标系与地心坐标系的关系

在弹道学中，地面上的发射点、目标点及飞行时火箭质心的空间位置常是用地心坐标系来确定的，而描述火箭质心运动的微分方程式一般是相对于发射坐标系建立的。因此，需要讨论发射坐标系与地心坐标系间的关系问题（见图2.4-4）。

图2.4-4 发射坐标系与地心坐标系的关系

根据发射坐标系和地心坐标系的定义可知，两坐标系间的坐标方向余弦关系可由大地纬度 B ₀ 、大地经度 L ₀ 和大地瞄准方位角 A ₀ 来确定。为导出两坐标系间的方向余弦关系，设 ρ 为飞行火箭质心 m 相对发射点 O _f 的矢径， R ₀ 为发射点 O _f 相对地心 O _e 的矢径，则火箭质心 m 相对地心 O _e 的矢径为