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设直角坐标系 O-X 1 Y 1 Z 1 绕 Z 1 轴正向旋转角 θ 后得到坐标系 O-X 2 Y 2 Z 2 ，空间矢量 R 在 O-X 1 Y 1 Z 1 、 O-X 2 Y 2 Z 2 系投影分别为（ x 1 y 1 z 1 ） T 、（ x 2 y 2 z 2 ） T ，下面推导两组投影间关系。
由于旋转绕 Z 1 轴，所以 Z 坐标不变，即 z 2 = z 1 ，由图2.3-1所示可知
图2.3-1 坐标系间变换关系
考虑到 z 2 = z 1 ，并结合式（2.3-1）、式（2.3-2）有以下矩阵形式成立：
上式描述了同一矢量在不同坐标系投影的变换关系， R z （ θ ）即为绕 Z 1 轴正向旋转 θ 角形成的变换矩阵：
同理，可得绕 X 1 、 Y 1 轴正向旋转 θ 角形成的变换矩阵为
两坐标系间任何复杂的角度关系，都可看作有限次基本旋转的复合。转换矩阵，等于基本旋转确定的如式（2.3-4）和式（2.3-5）变换矩阵的连乘。其顺序按基本旋转的顺序自右向左排列。
如 O-X 1 Y 1 Z 1 和 O-X 2 Y 2 Z 2 为两个坐标原点重合但坐标轴方向不重合的右手直角坐标系， C 2 1 为 X 1 、 Y 1 、 Z 1坐标轴变换成 X 2 、 Y 2 、 Z 2 坐标轴单位矢量的转换矩阵，则有
式中
上面两个为列矩阵。
将式（2.3-6）等号两边同时点乘
E
1
的转置矩阵
，因
（单位矩阵），故有
上式可简记为
式中，
a
ij
表示第
i
行第
j
列的矩阵元素，如
。
因为
矩阵中的9个元素是由两坐标系坐标轴间夹角的余弦值组成的，故称该矩阵为方向余弦矩阵。由于
O-X
1
Y
1
Z
1
和
O-X
2
Y
2
Z
2
两坐标系均为右手直角正交坐标系，因而它们的方向余弦矩阵为正交矩阵。根据正交矩阵的“逆矩阵等于其转置矩阵”的特性，所以有
对于具有正交特性的方向余弦矩阵中的9个元素，只有3个元素是独立的。这是因为9个元素满足每行（或列）自身乘积等于1，行与行（或列与列）之间互相点乘等于零，共有6个关系式。
两坐标系间方向余弦矩阵的一个最简单形式，就是这两个坐标系的3个坐标轴中，有一相对应的坐标轴平行，如 Z 1 与 Z 2 平行，而 Y 1 与 Y 2 夹角为 ξ ，则此时的方向余弦矩阵为
与式（2.3-4）比较，可知其形式相同，这是初等转换矩阵的另一种推导方式。
采用相同的方法，可获得这两坐标系的第二个坐标轴和第一个坐标轴平行，而其他相应坐标轴夹角分别为 η 和 ζ 的方向余弦矩阵为 M 2 （ η ）和 M 1 （ ζ ）。不难理解，与上一节所述类似，可将此类方向余弦矩阵记为一般形式 M i （ θ ）（ i =1，2，3）。其中， i 表示第 i 轴平行； θ 为其他相应两坐标轴间的夹角。
利用上述方法，可以获得任意两坐标系间的方向余弦矩阵关系式。
设 O 1 -X 1 Y 1 Z 1 和 O-X 2 Y 2 Z 2 为任意两个坐标原点和坐标轴均不重合的右手空间直角坐标系，并且认为 O-X 2 Y 2 Z 2 坐标系是由 O 1 -X 1 Y 1 Z 1 坐标系经过三次旋转后获得的。为了求得坐标系间的方向余弦矩阵关系式，先将 O 1 -X 1 Y 1 Z 1 坐标系平移到 O-X 2 Y 2 Z 2 坐标系并使两坐标系之原点重合。
将平移后的
O-X
1
Y
1
Z
1
坐标系绕
OZ
1
轴逆时针（从
OZ
1
轴正方向看）以角速度
旋转
ξ
得
。为叙述方便，用符号
表示，如图2.3-2所示。这样，如果空间任一点在
O-X
1
Y
1
Z
1
坐标系和
坐标系各轴上的投影为
X
1
=（
X
1
Y
1
Z
1
）
T
、
，那么由图2.3-2所示不难得出该点在两坐标系的方向余弦为
式中， M 3 （ ξ ）如式（2.3-10）所示。
将
坐标系绕
轴逆时针以角速度
旋转
η
得
（即
）。此时如果空间任一点在
坐标系和
坐标系各轴上的投影为
、
，那么由图2.3-2所示不难得出该点在两坐标系的方向余弦为
式中， M 2 （ η ）如式（2.3-5）所示。
图2.3-2 坐标系按3-2-1顺序旋转示意图
将
坐标系绕
OX
1
轴逆时针以角速度
旋转
ζ
得
O-X
2
Y
2
Z
2
（即
）。此时如果空间任一点在
坐标系和
O-X
2
Y
2
Z
2
坐标系各轴上的投影为
、
X
2
=（
X
2
Y
2
Z
2
）
T
，那么由图2.3-2所示不难得出该点在两坐标系的方向余弦为
式中， M 1 （ ζ ）如式（2.3-5）所示。
根据初等变换矩阵关系，很容易得出 O-X 1 Y 1 Z 1 坐标系和 O-X 2 Y 2 Z 2 坐标系间的方向余弦矩阵关系：
式中
即
上式即为用欧拉角 ξ 、 η 、 ζ 表示的两坐标系间的方向余弦矩阵。由于任意两坐标系经过旋转至重合的3个角度与旋转次序有关，即根据转动次序的排列数可知共有6种次序，即有6种不同的欧拉角。这样式（2.3-15）中的每一个元素的表达式也就有所不同，但每个元素的值都是一样的。不过，3-2-1的转换顺序，即先后绕 OZ 、 OY 、 OX 的顺序，较为常用；有时，为了描述火箭大倾侧机动飞行情况下的姿态，也采用2-3-1的转换顺序，这里直接写出其方向余弦矩阵如下：
