2.2 大地坐标与地心坐标系的关系

当地球椭球定位和定向后，除建立大地坐标系外，还可相应建立空间直角坐标系。本节介绍的地心坐标系就是一种空间直角坐标系。

2.2.1 大地坐标至地心坐标系转换

地心坐标系定义如下：坐标系原点在地心 O _e 。 O _e X _e 在赤道平面内指向某时刻 t ₀ 的起始子午面（这里取格林尼治天文台所在的子午面）， O _e Z _e 垂直于赤道平面指向北极。 O _e -X _e Y _e Z _e 组成右手直角坐标系。由于坐标 O _e X _e 与所指向的子午线随地球一起转动，因此这个坐标系为一动参考系。

地心坐标系对确定火箭相对于地球表面的位置很适用。

显然，在同一个系统中，大地坐标系与空间直角坐标系本质上是一致、等价的，只是表示点位坐标的方式不同。在弹道、轨道测量和坐标系转换中，通常都采用空间直角坐标。这既简单、又方便。而表示点的地理位置，通常都采用大地坐标。因此，经常要应用此两种坐标系的转换公式。

取地球外任一点 P ，其大地坐标为 B 、 L 、 H ，地心系坐标为 X 、 Y 、 Z 。为便于推导两种坐标转换，先将地心 O _e 与点 P 所在大地子午面提取出来，如图2.2-1所示。

图2.2-1中， P′ 为过点 P 法线与椭球面的交点； X′ 轴沿 P′ 点所处子午面与赤道面交线方向， Z 轴与地心坐标系指向相同，则在此子午面内建立平面坐标系 O _e -X′Z ，点 P 、 P′ 的直角坐标可记为 x 、 z 、 x′ 、 z′ 。

过点 P′ 做子午圈切线 TP′ ，易知， TP′ 与 X′ 轴夹角为90°+ B 。由解析几何可知，该夹角正切值为切线 TP′ 的斜率，即

又由 P′ 在以 O _e 为中心的子午椭圆上，则其直角坐标 x′ 、 z′ 满足下面方程

式中， a 、 b 分别为地球椭球体长、短半轴。

将式（2.2-2）两端对 x′ 取导数，得

将上式与式（2.2-1）比较可得

式中， ， e 为椭球第一偏心率。

由式（2.2-4）可得

将上式代入式（2.2-2）得

用 a ² cos ² B 乘上式两边，得

考虑到 B ∈［-90°，90°］，即cos B ≥0，则由上式可知

将上式代入式（2.2-5）可得

由图2.2-1易知

不妨记

则由式（2.2-8）～式（2.2-10）可知 P 点的直角坐标为

由图2.2-1所示并结合式（2.2-11）易知， P 点的地心坐标系坐标为

2.2.2 地心球坐标及其与大地坐标、地心直角坐标的关系

在弹道中，还经常用到球坐标系，如箭下点和星下点的坐标。球坐标系也是在地球椭球定位和定向后，相应于大地坐标系和空间直角坐标系而建立的。其坐标原点是地球中心，坐标面是起始大地子午面和赤道面。

表示空间一点 P 的地心球坐标：

1）地心矢径。地心到 P 点的矢量称为地心矢径，其距离用符号 r 表示。

2）地心纬度。 P 点的地心矢径与赤道面的夹角称为地心纬度，用符号 ϕ 表示。

3）地心经度。 P 点的大地子午面与起始大地子午面的夹角称为地心经度。此定义与地心大地经度相同，故仍用符号 L 表示，即 L = L 。

易得地心球坐标与地心直角坐标的关系

由上式可得反算公式：

由式（2.2-12）和式（2.2-14），可得地心球坐标与大地坐标的关系式：

由上式可得反算公式： k0EH0PBDf+WhPTNLsQhFCFST+TegL/gjGGZEX35A1vUFwcpAmLytDpzMEAjYZFzU