引言

很难想象没有数学的世界是什么模样，没有数字，没有几何，没有代数与逻辑，更没有运算法则，没有办法量化世界。

人类对数学的理解最早可以追溯到数万年前。20世纪70年代，考古学家在非洲莱邦博（Lebombo）山脉发现了一块来自狒狒的小腿骨——“莱邦博骨”。它的特殊之处在于，骨头上有29个故意切开的缺口，据猜测是做标记用的。这块骨头的主人应该在计算一些东西——也许是猎物、敌人的数量，或者流逝的时间。

通过测量放射性碳，可以确定这块骨头来源于公元前4万年左右，这可以说是世界上最古老的数学文物了。

计数是数学最原始的分支。很明显，这是人类对世界的发现，而不是发明。假如我身边现在有一筐苹果，那么筐中苹果的数量是符合算术规则的。如果我往筐里放一个苹果，苹果的数量就会加一。不管人们是否理解，事实就是如此。

几何学也是这样。大约在公元前300年，古希腊哲学家欧几里得编撰《几何原本》，书中提出了关于圆、直线与角的性质的基本假设。这些都是用来描述这个世界的逻辑和推理规则，是对世界的发现，而不是发明。

然而，在过去，即使一些非常聪明的人也会持相反观点：数学只不过是人类思维的一种构造。20世纪伟大的英国天文学家亚瑟·爱丁顿（Arthur Eddington）爵士曾经表示：“数学在我们把它放在那里之前是不存在的。”

在某些特殊的情况下，或许真是这样。例如，“虚数”就是一种使负数的平方根具体化的构造。任取一个数的平方，你得到的总是正数。那么，如何才能对负数取一个有意义的平方根呢？意大利数学家拉斐尔·邦贝利在16世纪提出了这个问题的解决方法。将记作虚数单位i，这样负数的任意平方根都可以表示为i的倍数，它也会遵循和普通数字相同的代数规则。这在当时听起来可能很荒谬，但在如今，关于波的理论、量子力学和数据分析的核心都是虚数。

数学证明则是另一个例子，构造一个合理的数学证明需要数学家有极其丰富的创造力。以费马大定理为例， n >2时的方程（其中 x ， y ， z 和 n 都是整数）没有整数解。这一定理花了近四百年时间才得到证实，最终归功于英国数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）贡献出的聪明才智。

从这个角度来看，最好的数学家可以被比作一位至少与其技术专长相当的，还具备创新能力的建筑师。正如阿尔伯特·爱因斯坦所说：“逻辑会把你从 A 带到 B ，想象力会把你带到任何地方。”随着有创新精神的前辈对数学未知领域的不断探索，人类对这个学科的了解也越来越多。

在本书中，我们为读者列出了关于现代数学你必须了解的知识清单。从莱邦博骨开始，按照（非常粗略的）时间顺序向前推进，我们列出了重要的数学原理和发现，并细述那些发现者的生平。

人们在理解基础数字和算术之后，就发展出了几何学，包括面积和体积的计算，以及毕达哥拉斯关于直角三角形三边的定理。近几个世纪以来，几何学已经发展到了弯曲空间和拓扑结构——关于空间中点的连接方式。例如，环形曲面（有一个洞的曲面）与球面有完全不同的拓扑结构。

有证据表明，早在公元前1800年，巴比伦数学家就有了代数（用符号代替数值）概念，并用来求解方程。后来，在欧洲处于“黑暗时代”时，亚洲的数学家又进一步完善了代数学。

17世纪，博学家艾萨克·牛顿和戈特弗里德·莱布尼茨发现了用于计算数值变化率的微积分。此后，几乎在数学的每个分支中都会出现它的身影，在理论物理中也是如此。

几乎在同一时间，一群欧洲数学家（必须说的是，他们真的喜欢通过赌博来增加收入）奠定了概率论的基础——判断随机事件发生可能性的数学理论，并由此发展了统计学——在随机事件存在的情况下从数据中提取信息，将杂乱的真实观测的结果转化为可靠的观点，依据它们开展或改良实验并形成科学理论。

对数学的探索促使人们创造了计算机。我们日常使用的计数制是由数字0～9构成的以10为基数的数制。但是，早在公元前2世纪，印度数学家宾伽罗（Pingala）就研究过只由0和1构成的以2为基数的二进制，后来的计算机语言就由此构成。19世纪，对自动化处理信息的迫切愿望促使人们发明了机械计算机。紧接着，在第二次世界大战期间出现了用于解密的和房间一般大小的巨型计算机，近些年又出现了功能强大的微型处理器，在手机中随处可见。

今天，数学构成了我们理解万物的工具——从量子物理和宇宙的诞生到股票市场，再到每周杂货预算等琐碎事情。正如莱邦博骨的主人很可能已经意识到的那样，我们生活的这个世界，归根到底还是数字世界。