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世界各地的学生都学过，0绝对不能做除数。他们可能会对这样一种禁忌的存在感到震惊，毕竟数字应该是井然有序、处处通用的，数学课也是一个充斥着逻辑和推理的场合。然而，对于数字，我们仍有可能提出一些无用或无意义的简单问题，除数为0就是其中之一。
这个问题的根源是无穷。除数为0会召唤出无穷，据说这和用通灵板从另一个世界召唤出灵魂的方式差不多。真是太危险了，千万别去尝试。
那些忍不住想知道为什么无穷会潜伏在阴影中的人，可以尝试用6去除以一个接近0但不完全等于0的数字，比如0.1。这样做毫无问题，6除以0.1等于60，商是一个较大的数字。我们再用6去除以一个更小的数字，比如0.01，商会变得更大，等于600。如果我们敢用6去除以一个更加接近0的数字，比如0.000 000 1，商就会变大很多，不再是60或600，而是60 000 000。趋势很明显：除数越小，商越大；当除数逼近0时，商趋于无穷大。这就是我们不能用0做除数的真正原因。胆小之人会说答案是“未定义”，但事实上答案是“无穷”。
整个计算过程可以用图1–11表示出来。假设我们要把一条6厘米长的线段切分成长度为0.1厘米的小线段，这60条小线段首尾相接就组成了那条原始线段。
图1-11
同样地（但我不打算在图上把它们画出来），同一条线段还可以被分成600段，每段长0.01厘米，或者被分成60 000 000段，每段长0.000 000 1厘米。
如果我们像这样疯狂地继续分下去直到极限，就会得出一个奇怪的结论，即这条6厘米长的线段是由无穷多条长度为0的线段组成的。这听起来可能合情合理，毕竟线是由无穷多个点组成的，而且每个点的长度为0。
但从哲学上看，令人紧张不安的一点是，同样的论证过程适用于任意长度的线段。的确，数字6并没有什么特别之处。我们也可以宣称，一条长3厘米、49.57厘米或者2 000 000 000厘米的线段是由无穷多个长度为0的点组成的。显而易见，0乘以无穷可以得出任意结果：6，3，49.57或者2 000 000 000。从数学上讲，这太可怕了。
致使我们陷入这种混乱局面的“罪行”是，假装我们真能到达极限，并把无穷当作一个可达到的数字。早在公元前4世纪希腊哲学家亚里士多德
就警告说，在无穷的问题上犯这样的错误可能会招致各种逻辑悖论。他强烈反对实无穷
，并认为只有潜无穷才有意义。
在切分线段的例子中，潜无穷意味着，尽管这条线段可以被分成任意多段，但数量总是有限的，每小段的长度也都不为0。这种做法是完全允许的，不会带来任何逻辑问题。
而禁忌的做法是，继续切分下去，直到这条线段被分成实无穷段，并且每小段的长度为0。亚里士多德认为这会招致谬论，比如在切分线段的例子中，我们得出了0乘以无穷可以等于任意数的结论。所以，他不允许在数学和哲学中使用实无穷。在接下来的2 200年里，他的这条“法令”得到了数学家的支持。
在史前时期的黑暗角落里，有人意识到数字是无尽的。伴随着这样的想法，无穷诞生了，它是我们心灵深处、无底噩梦和永生愿望中的某些东西的数字对应物。无穷也是我们的很多梦想、恐惧和未解之谜的核心：宇宙有多大？永远是多久？上帝有多强大？几千年来，在人类思想的每一个分支，从宗教、哲学、科学到数学，无穷一直困扰着世界上最优秀的大脑。它被放逐和取缔，人们都对它避之不及，始终把它视为一个危险的概念。在宗教裁判所，乔尔丹诺·布鲁诺
被活活烧死在火刑柱上，罪名是他认为上帝以其无穷的力量创造了不计其数的世界。
早在布鲁诺被烧死的大约2 000年前，有一位勇敢的哲学家就开始思考无穷问题了。芝诺提出了一系列关于空间、时间和运动的悖论，无穷在其中扮演着重要而复杂的角色。这些难题预示了微积分的核心思想，至今仍备受关注。伯特兰·罗素认为，它们无比巧妙和深奥。
我们并不确定芝诺试图用他的悖论证明些什么，因为他什么记录都没有留下。芝诺悖论是通过柏拉图和亚里士多德的著作流传至今的，而这两位哲学家的主要目的是推翻它们。根据他们的讲述，芝诺试图证明改变是不可能发生的。在芝诺看来，尽管感官告诉我们这不是事实，但它实际上欺骗了我们；改变是一种错觉。
在芝诺悖论
中，有三个尤其知名和有影响力。第一个是二分法悖论，它与墙之谜类似，但更加令人沮丧。该悖论认为你根本无法移动，因为在你走一步之前，你需要先走1/2步；在你走1/2步之前，你需要先走1/4步，以此类推。所以，你非但走不到墙根处，甚至没办法出发。
这是一个绝妙的悖论。谁能想到，走一步竟然需要完成无穷多项子任务呢？更糟糕的是，我们找不到要完成的第一项任务。第一项任务不可能是走1/2步，因为在那之前你必须先走1/4步，而在你走1/4步之前你必须先走1/8步，以此类推。如果你认为自己在做早餐前有很多事情要做，就可以想象成你必须完成无穷多项任务之后才能到达厨房。
第二个是阿喀琉斯与乌龟悖论。它认为，在跑步比赛中，如果跑得慢的乌龟的起跑点更靠前，那么跑得快的阿喀琉斯就追不上乌龟（图1–12）。
图1-12
原因在于，当阿喀琉斯到达乌龟的起跑点时，乌龟会沿着跑道向前移动一点儿；当阿喀琉斯到达那个新位置时，乌龟又会往前爬一点儿。然而，我们却认为跑得快的选手能赶超跑得慢的选手，这要么是因为感官在欺骗我们，要么是因为我们关于运动、空间和时间的推断有误。
在这两个悖论中，芝诺似乎驳斥了“空间和时间从根本上说是连续的”（这意味着它们可以被无休止地分割）这一观点。他巧妙地利用了反证法（有人说这是他发明的），律师和逻辑学家把这种修辞策略称为“归谬法”。芝诺先假设空间和时间是连续的，然后从这个假设中推导出一个悖论，进而推断出连续性假设一定是错误的。而微积分正是建立在这个假设的基础之上，所以这场斗争至关重要。通过指出他的推理过程中的错误，微积分对芝诺的观点进行了反驳。
以下是微积分应对阿喀琉斯与乌龟悖论的方法。假设乌龟的起跑点在阿喀琉斯前方10米处，但阿喀琉斯的跑步速度是乌龟的10倍（比如他的速度是每秒10米，而乌龟的速度是每秒1米）。然后，阿喀琉斯花1秒的时间追平了起跑时乌龟领先他10米的优势。与此同时，乌龟会向前移动1米。阿喀琉斯需要再花0.1秒来追平这个差距，到那时乌龟会再向前移动0.1米。继续这个推理过程，我们将会看到阿喀琉斯连续追赶乌龟所花的时间加起来是一个无穷级数：
1+0.1+0.01+0.001+…=1.111…秒
把这个时间量换算成一个等值分数——10/9秒，它就是阿喀琉斯赶超乌龟需要花的时间。虽然芝诺对于阿喀琉斯要完成无穷多项任务的判断是对的，但这两者之间并不存在什么矛盾之处。就像计算结果表明的那样，阿喀琉斯可以在有限的时间内完成所有任务。
这个推理思路可以作为微积分的论证过程。就像我们在前文中讨论为什么0.333…=1/3的做法一样，我们只是对一个无穷级数求和并计算出一个极限。但凡涉及无穷小数，我们就是在做微积分运算（尽管大多数人都会贬低它是中学算术）。
顺便说一下，微积分并不是解决这个问题的唯一方法，我们还可以运用代数方法。为了解题，我们需要先确定在比赛开始后的任意时刻 t 秒，每个参赛者在跑道上的位置。由于阿喀琉斯的速度是每秒10米，而且距离等于速度乘以时间，所以他跑过的距离是10 t 。对乌龟来说，它在起跑时领先阿喀琉斯10米，而且它的速度是每秒1米，所以它与阿喀琉斯的起跑点之间的距离是10+ t 。要用代数方法求解阿喀琉斯和乌龟同时到达同一位置所需的时间，就必须让这两个表达式相等，由此得到的方程是：
10 t =10+ t
为了求解这个方程，我们先在等式两边同时减去 t ，得到9 t =10。然后，等式两边同时除以9，得到 t =10/9秒，这与我们用无穷小数换算得出的结果相同。
所以从微积分的角度看，阿喀琉斯与乌龟问题中确实不存在悖论。如果空间和时间是连续的，那么一切都将迎刃而解。