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哥德尔定理对许多专业学科的发展都起到了积极的推动作用，它使数学基础研究发生了划时代的变化，是现代逻辑史上一座很重要的里程碑，更是直接推动了“现代计算机之父”冯·诺依曼的现代计算机基本结构的诞生，并促进了“人工智能之父”图灵对机器的定义和图灵测试作为判断机器是否拥有人的智能方法的提出。可以说，哥德尔定理为人工智能的产生打下了坚实的基础，是学习人工智能的重要节点。想要步入人工智能的学习，首先要充分了解哥德尔定理的各个方面。
哥德尔定理包括哥德尔完全性定理和哥德尔两个不完全性定理，它们都是哥德尔针对希尔伯特提出的四个问题所做的回答。希尔伯特所提的四个问题简略地说可以概括为：一是分析有穷主义的和谐性证明；二是集合论的和谐性证明；三是一阶数论和分析的完全性；四是一阶逻辑的完全性。哥德尔不完全性定理的注脚引了这篇假说，并在两年内从根本上回答了这四个问题。
1）哥德尔完全性定理
如果一个公式在逻辑上是有效的，那么这个公式就有一个有限的推论（形式证明）。
2）哥德尔不完全性定理
第一定理：任意一个包含一阶谓词逻辑与初等数论的形式系统都存在一个命题，它在这个系统中既不能被证明为真，也不能被证明为否。
第二定理：如果系统S含有初等数论，当S无矛盾时，它的无矛盾性不可能在S内证明。
哥德尔的第二不完全性定理是在第一不完全性定理的基础上提出的，是第一不完全性定理的推论。针对哥德尔第二不完全性定理，我们可以这样去直观描述：一个理论，如果不自相矛盾，那么这种理论的不自相矛盾的性质在该理论所在的系统中是不可以被证明的。也就是说，一个算数形式系统，以及一切不弱于算数系统的形式系统，如果是一致的，则系统的这种一致性在该系统内部都不可以被证明。因此，哥德尔第二不完全性定理的提出带来了一个核心且被认为是致命的问题：我们要如何证明命题演算系统的一致性。在科学的世界里，一切演绎都必须有一个出发点，那些作为基础的出发点理论多数是人为定义出来的，但是人为的定义却很可能不为真，甚至可能只是我们一厢情愿的臆断。这是一个严肃的问题，关系到真理是否真实存在。而且，哥德尔第二不完全性定理进一步证明，世界上永远不会有绝对的真理，我们证明的命题演算系统的一致性终究是相对的一致性，而不是绝对的一致性。因此可以说，哥德尔第二不完全性定理宣告了希尔伯特纲领的彻底破产，希尔伯特的通过有穷主义证明方法和一致性证明来保证数学合理的希望就变成了海市蜃楼。这样的结论改变了我们对科学理论和整个世界的认识。
逻辑学是一门以推理形式为主要研究对象的学科，具有工具性和方法论的功能。它有两千多年的悠久历史，形成了西方、中国和印度三大逻辑传统。20世纪，逻辑学得到重大发展，并且对哲学、数学、计算机科学、人工智能、语言等的发展起到相当大的推动作用。
逻辑学已有两千多年的历史，其发源地有三个，即中国、古印度和古希腊。
中国春秋战国时期就产生了称为“名学”“辩学”的逻辑学。《荀子·正名》，尤其是《墨经》，集其大成，系统地研究了名、辞、说、辩等相当于词项、命题、推理与论证之类的对象，逻辑思想十分丰富，但由于与一定的政治、道德理论掺杂在一起，因此未能形成独立的学科体系。
在古印度，逻辑学被称为“因明”，“因”指推理的根据、理由；“明”指知识、智慧。陈那的《因明正理门论》、商羯罗主的《因明入正理论》是其代表，对推理从形式上做了探讨，提出了“三支论式”。但为佛教服务的“因明”也未能撇开思维具体内容而上升为数学形式的科学。
在西方国家的思想史中，逻辑学的发展包含三大时期，当然这三个时期并非是持续连贯的，期间包夹了一些荒芜时期。整体来说，第一个时期是公元前400年至公元前200年，这一时期最有影响力的人物是亚里士多德，他发展了“三段论”。第二个时期是12世纪至14世纪，这一时期的繁荣源于中世纪的欧洲大学，如巴黎大学和牛津大学。随着19世纪抽象代数的发展，促生了逻辑学发展的第三个时期，在这一时期，哥德尔提出了“不完全性定理”，弗雷格和罗素提出了非常新颖的逻辑学观点，第三个时期或许是这三大时期中最伟大的一个。
1）第一个时期
第一个时期代表学家：亚里士多德、迈加拉学派和斯多葛学派。这一时期中首先同时出现了两个学派，第一个是由亚里士多德（通常被认为是逻辑学的创始人）在雅典建立的“学园派”；另一个则是在雅典以西50千米的迈加拉学派，对于这一学派，人们所知甚少，但随后兴起的另一个学派斯多葛学派深受迈加拉逻辑学的影响。斯多葛学派的逻辑学家关注的一个重要方面就是研究否定、合取、析取和条件句的特性。
亚里士多德的逻辑是西方重要的形式逻辑、传统逻辑的起点，所以亚里士多德的逻辑又叫作传统逻辑。因为他的逻辑是专门研究思想的形式的，所以又叫作形式逻辑。传统逻辑主要的推理是用演绎法来推理的，所以亚里士多德的逻辑又叫作演绎逻辑。传统逻辑（形式逻辑）蕴含了线性思维方式。把形式逻辑思维方式看成唯一的思维方式，把形式逻辑运用范围扩大到所有对象，特别是需要复杂性思维的经济领域，就会出现悖论。对称逻辑的产生，既是人类思维、理论与实验发展的必然结果，也是“悖论”“逼”出来的产物。
2）第二个时期
第二个时期代表学家：邓斯·司各特、奥康的威廉和莱布尼茨（见图1-1）。邓斯·司各特毕业于牛津大学。奥康的威廉先在牛津大学学习，后又到巴黎求学。恰恰是这两位重要人物的求学经历，第二个时期便在牛津大学和巴黎大学繁荣了起来，他们继承并发展了古希腊的逻辑学思想，使之趋于系统化。然而在这之后，在19世纪下半叶之前，逻辑学都停滞不前，唯一闪耀的逻辑学家，就是莱布尼茨了。莱布尼茨是历史上少见的通才，他提出了逻辑学应该做些什么。莱布尼茨的目标是建立一种适合科学的理想的通用科学语言，以便用语句形式反映实体的性质。莱布尼茨认为，所有科学的思想都能归为较少的、简单的、不可分解的思想，利用它们能定义所有其他思想，通过分解和合并想法，新的发现将成为可能，就像数学计算过程一样。由于当时社会条件的限制，他的想法并没有实现，但是他的思想却是现代数理逻辑部分内容的萌芽，从这个意义上讲，莱布尼茨可以说是数理逻辑的先驱。
图1-1 莱布尼茨
数理逻辑的兴起和发展主要有两个趋向：①应用数学方法处理逻辑问题，把形式逻辑发展到一个崭新阶段。17世纪后期，传统的形式逻辑的局限性已充分暴露。例如，由于它主要以主谓式命题为限，没有精确的量词理论和关系理论，因而在实践中，特别是在科学中的应用范围很有限，人们迫切要求改变这种状况。②对数学基础的研究，产生了大量与逻辑有关的问题，从而推进了数理逻辑的发展。
3）第三个时期
第三个时期代表学家：哥德尔、罗素与弗雷格。19世纪40年代，英国数学家布尔发表了《逻辑的数学分析》，建立了“布尔代数”，并创造了一套符号系统，利用符号来表示逻辑中的各种概念，建立了一系列的运算法则，利用代数的方法研究逻辑问题，初步奠定了数理逻辑的基础。布尔代数的发布也使莱布尼茨的设想首次成为现实。但直到20世纪初，弗雷格和罗素提出了非常新颖的逻辑学观点，如用真值函数来理解否定、合取和析取，以及把摹状词作为重要的逻辑范畴孤立地考察分析，并且在《数学原理》中建立了完全的命题演算和谓词演算，才最终确立了数理逻辑的基础，从此产生了现代演绎逻辑。对建立这门学科做出贡献的，还有皮尔斯，他在其著作中引入了逻辑符号，从而使现代数理逻辑最基本的理论基础逐步形成，成为一门独立的学科。
20世纪初，哥德尔证明了形式数论（即算术逻辑）系统的“不完全性定理”：即使把初等数论形式化之后，在这个形式的演绎系统中也总可以找出一个合理的命题来，在该系统中既无法证明它为真，也无法证明它为假。哥德尔定理的发布对逻辑学的发展起到了积极的推动作用。这些理论也深深影响了人工智能之父—图灵。
哥德尔定理粉碎了逻辑终将使我们理解整个世界的梦想，使逻辑学发生了革命性的变化，推动了传统逻辑向现代数理逻辑的转变。他告诉人们，“真”与“可证”是两个概念。可证的一定是真的，但真的不一定可证。也就是说，在某种意义上，驳论的阴影将永远伴随着我们。这一理论使数学基础研究发生了划时代的变化，更是现代逻辑史上一座很重要的里程碑。
哥德尔的成果不仅影响了数学、逻辑学、计算机科学、物理学，而且改变了整个科学世界和构建于此定理之上的哲学，还波及了语言学、宇宙学，甚至包括法律上的“无罪推定”。对于人类来说，不了解哥德尔就不了解人类已达到的智力水平与人类智力奋斗的历程，也就无法了解我们这个世界在思想观念上已经发生或正在发生的深刻变化。
人们对于爱因斯坦并不陌生，但对于被他视为知己的普林斯顿高等研究院的同事哥德尔却不甚了解。哥德尔无疑是一位巨人，美国《时代》杂志评选出对20世纪思想产生重大影响的100人中，哥德尔位列第四。哥德尔被认为是自亚里士多德以来最伟大的逻辑学家，他提出的“哥德尔完全性定理”和“哥德尔不完全性定理”远远不止影响了逻辑学。
（1）哥德尔完全性定理表明一阶逻辑是完全的，一阶逻辑的语法刻画和语义刻画是重合的，这标志着一阶逻辑是成熟的逻辑理论。哥德尔完全性定理表明，一阶逻辑的永真公式（有效式）集合和可证公式（定理）集合是重合的，从而“有效性”这个语义概念和（一阶逻辑中）“可证”这个语法概念是一致的。由于证明是公式的有限序列，可证公式集是可数的，而确定公式是否有效，要检查无穷多可能的模型，因此，哥德尔完全性定理在不可数的东西和可数的东西之间架起了一座联系的桥梁。
（2）哥德尔完全性定理的进一步研究结果揭示了一阶语言的局限性。完全性定理有一个重要性推论—紧致性定理：一个公式集 T 是和谐的，当且仅当 T 的每一个有穷子集都是和谐的。应用紧致性定理，可以证明“有限”“秩序”等性质不能在一阶语言中表达，使人们认识到一阶语言的表达能力的局限性。
（3）哥德尔完全性定理促进了模型论的发展，虽然模型论的第一个重要勒文海姆定理是于1915年出现的，它的一个基本概念由希尔伯特模糊地提出，但模型论的许多重要成果要归功于哥德尔完全性定理。哥德尔不完全性定理隐含着关于结构的重要结果—紧致性定理，是模型论开始发展成它的现代形式。紧致性定理表明，一个公式T有模型，当且仅当T的每一个有穷子集都有模型。因此，只要证明了T的每一个有穷子集都有模型，就能证明T有模型，而证明有穷子集有模型相对比较容易，这就使紧致性定理在模型讨论中得到广泛应用。
哥德尔不完全性定理引进的定义促使了递归论的产生，第一次给出原始递归函数精确定义的学者是哥德尔，哥德尔在证明不完全性定理的过程中引进了原始递归函数的严格定义，并建立了有关递归函数的重要定理。1931年，艾尔伯朗致信哥德尔，提议引进一般递归函数概念。1936年，克林在《自然数的一般递归函数》一文中，改进了艾尔伯朗和哥德尔的相关工作，给出一般递归函数的精确定义，并取得了递归论发展史上具有奠基性的一批成果，克林也成为递归论的创始人之一。克林在文章中使用了哥德尔不完全性定理中的元数学算术化方法，把递归函数形式系统算数化。
冯·诺依曼用哥德尔编码的思想设计了第一台现代计算机。1931年9月7日，当哥德尔在柯尼斯堡会议当众宣布第一不完全性定理时，冯·诺依曼立即表示关注，他后来还致信哥德尔胜赞不完全性定理是划时代的贡献。而图灵也通过冯·诺依曼接触到了哥德尔不完全性定理，并沿着哥德尔的推理路线前行，最终取得了极大成功。图录的关于可判定性和可计算性的证明工作也让哥德尔甚感欣慰，他说图灵的工作巩固了他的两个不完全性定理。
物理学家也在关注哥德尔定理，英国《卫报》等媒体曾报道，著名英国物理学家斯蒂芬·霍金教授发表了题为《哥德尔与物理学的终结》的演讲，宣布他放弃对“万有理论”的追求。霍金认为，根据哥德尔不完全性定理，物理学家不可能以有限数目原理构建描述整个宇宙的“万有理论”，因为物理理论乃是通过数学模型来阐述的。能否建立物理学的哥德尔定理呢？人们经常对这个问题进行讨论，其中，戴森和斯特劳斯的观点较具代表性，戴森希望能够证明物理学的哥德尔定理，希望物理也是不可穷尽的，斯特劳森认为哥德尔定理“宰杀”了爱因斯坦建立终极理论的理想。王浩认为，根据经验证据很难说追求终极理论是“一种合乎理性的谋划”。
哥德尔在20世纪20年代虽曾参加石里克小组的讨论，但他并不赞成逻辑实证主义观点，只是对用数理逻辑分析哲学问题感兴趣。他后期致力于哲学研究后，并未发表过系统的哲学论著，其哲学观点都散见于讨论数学或物理的哲学论文或讲演之中。他认为，健全的哲学思想和成功的科学研究密切相关。在他看来，一般数学和元数学，特别是关于超穷思想方法的客观主义观点，对于他的逻辑研究是根本的。他在其文章中指出，数学对象，如集论里的超穷集，是独立于人们所构造的“客观实在”，而不是像康德所断定的那样，是“纯主观”的。他认为，正如感性知觉对于物理对象一样，人们通过数学直观所得到的知觉也可以提供代表客观实在的材料，但他对此没有再进一步说明。哥德尔自称其哲学观点为“客观主义”，这比称之为“新柏拉图主义”更为恰当。
哥德尔定理不仅对各个科学学科产生极大影响，对我们的生活也产生了影响，甚至与人类社会息息相关的法律学也深受哥德尔定理的影响。对于人类来说，在学习知识的路上，无论是哪一个专业，都必定受到数学和哲学的影响，而哥德尔定理对这两门学科的发展提供了极大的动力，可以说哥德尔定理就是学习的必经之路。