2.3　Klein隧穿

根据经典量子力学，当一个由薛定谔方程描述的电子入射到一个势垒时，即使势垒比粒子的动能还要大，其有一定概率被反射、一定概率透射过势垒。根据进一步的计算可知，电子透射率 T 随着势垒宽度、高度的增加而减小。1929年，物理学家Oskar Klein通过将狄拉克方程应用于上述势垒的电子散射问题获得了完全不同的结果。Klein的计算结果表明，如果电势 V 0 超过电子的静止能量 mc 2 的两倍（其中 m 为电子质量， c 为光速），电子透射率 T 几乎和势垒高度无关，即势垒几乎是透明的。而且，当电势接近无穷大时，电子反射率减弱，透射率接近百分之百，势垒接近完全透明。这个推论称为Klein谬论，它与传统非相对论量子隧穿形成鲜明的对比。从量子电动力学的角度出发，正负能量的两个态（电子和正电子）是由相同组分的旋量波函数组成，因此是相关的。对于电子来说，具有排斥性的足够强电势对正电子则具有很强的吸引力，并且陷入势垒的正电子能量与外部的电子连续。势垒两端的电子和正电子波函数匹配导致这种高概率的透射。狄拉克方程的这个基本性质即为电荷-共轭对称性。尽管现在看来Klein隧穿很好理解，但是在石墨烯出现以前，没有任何实验能够直接验证这个奇妙的物理现象。2006年Katsnelson、Novoselov和Geim设计了石墨烯的Klein隧穿实验。根据他们的计算，单层石墨烯中的电子透射率为1，与势垒宽度无关；双层石墨烯中的透射率随势垒宽度的增加迅速下降；而对于传统零能隙半导体材料，电子的透射率随势垒宽度的增加而发生振荡。2009年，哥伦比亚大学Philip Kim组在石墨烯平面异质结中实验证实了石墨烯的Klein隧穿。

在第1章中已经介绍了石墨烯的能带结构，我们知道，在近费米能级处石墨烯能带表现为线性色散关系： E ＝ ћ v F 。类比于光子，石墨烯中的准粒子表现为无质量的相对论粒子，不过其速度并非是光速而是费米速度， v F ≈ c /300。类似于传统半导体，在零能级上方由电子作为载流子，而在负能级处则由空穴作为载流子。不同于传统半导体中电子和空穴由薛定谔方程描述（两者间不相关），石墨烯中的电子和空穴状态是相互关联的，表现出类似于量子电动力学中电荷-共轭对称性的性质。石墨烯由A、B两种碳原子组成，其必须用两个波函数来描述。石墨烯的双函数描述与旋量波函数非常相似，在量子电动力学中，石墨烯的“自旋”指数表示子晶格而不是真实的电子自旋，通常称为赝自旋，而石墨烯在近狄拉克点的锥形色散关系是来自子晶格A和B的能带的相互交集。因此，沿正方向传播的能量为 E 的电子同源于在相同的能谱分支中能量为- E 的空穴以相反的方向传播。这说明在相同能谱分支中的电子和空穴具有相同的赝自旋，方向平行于电子的动量和反平行于空穴的动量。这里引入手性的概念来表示赝自旋在运动方向上的投影，对电子和空穴的运动方向分别是正号和负号。手性通常指石墨烯能谱中电子和空穴附加的内禀对称性，类似于三维量子电动力学中的手性。由此，石墨烯中的准粒子需要由狄拉克方程描述。

验证Klein隧穿的关键是构建 mc 2 量级的势垒，因此对于电子等基本粒子来说这需要很大的电场。而在石墨烯中，无质量的狄拉克费米子无疑具有很大的优势，只要约10 5 V/cm的电场便可实现势垒的构建，这比其他基本粒子所需要的电场要小11个数量级。通过解狄拉克方程，可以得到石墨烯在遇到高能量势垒时（｜ V 0 > E ｜），准粒子的透射率为

式中， D 为势垒宽； ϕ 为入射角度； q x 为 x 轴动量分量。当处在共振下，即 q x D ＝π N （ N ＝0， ±1， ±2， …）时，透射率为100%，势垒完全透明。更重要的是，当粒子垂直入射时（ ϕ ＝0），透射率总是为100%，这是无质量狄拉克费米子Klein隧穿的特征（图2-15）。石墨烯的Klein隧穿可以理解为准粒子在传播过程中的赝自旋守恒。向右运动的电子只能被散射到向右运动的电子态或向左运动的空穴态，对于势垒内部和外部的准粒子赝自旋方向的匹配导致完全隧穿效应。