2.2　量子霍尔效应

2.2.1　霍尔效应和传统量子霍尔效应

霍尔效应（Hall Effect）是电磁学物理中一个重要的物理现象。将通电导体置于垂直于电流方向的磁场中， 会在垂直于磁场和电流方向的导体两端测到一个电压，所测的横向电压即为霍尔电压（Hall Voltage），这个效应被称为霍尔效应，美国物理学家埃德温·赫伯特·霍尔 （Edwin Herbert Hall）于1879年首次发现（图2-9）。在普通非磁导体中，运动电荷在磁场中会受到垂直于运动方向和磁场方向的洛伦兹力， 使正负电荷运动方向发生偏转并分别聚集于导体横向的两端，因此产生霍尔电压。霍尔电压与纵向电流的比值称为霍尔电阻，用来衡量霍尔效应的大小及表征材料的导电性能。

在发现霍尔电压一个世纪以后，1980年冯·克利青（Klaus von Klitzing）在二维电子气系统（半导体异质结界面处的二维导电层）中观察到量子霍尔效应（Quantum Hall Effect， QHE）。与霍尔效应中的线性霍尔电压-磁场关系不同，量子霍尔效应中的霍尔电压在超过1T的强磁场下偏离线性关系， 呈现出明显的阶梯形状。这些阶梯形状平台具有非常精确的电阻值： h / νe 2 ，其中 h 为普朗克常量， e 为电子电量， ν 为一个整数。因此，这种形式的量子霍尔效应也被称为整数量子霍尔效应。同时，如果温度足够低，纵向电阻将变为零，说明电子的纵向输运是无能耗的，二维电子气系统的基态和第一激发态间存在带隙。尽管量子霍尔效应可以在毫米级尺度材料中观测到，但这种量子化的物理现象表明，量子霍尔效应的根本机理是量子力学的宏观体现。量子霍尔效应在二维电子气中普遍存在，在测量霍尔电阻中具有超高的分辨率，其量子化不依赖于具体材料并对样品的尺寸、杂质等外在因素不敏感，只和两个基本物理常量相关，因此，自1990年以来，量子霍尔效应一直是用来测量精确电阻的标准方法，并被用于确定精细结构常数 α ＝ e 2 / hc ，其中 c 为光速。

具体来讲，量子霍尔效应是二维电子气系统的朗道（Landau）能级量子化表现。当二维电子气系统置于磁场中，单个电子的本征值被量子化为一系列具有高度简并的朗道能级[图2-10（a）]。如果忽略磁场中的自旋能级分裂，则整数 ν 是朗道能级指数。基态能级简并度与磁场强度 H 呈线性关系，朗道能级填充因子 f 定义为占据电子数和朗道能级简并度的比值。单位面积内朗道能级的简并度为 eH / ch ， 如果 ν 个能级被填满，正好有 f ＝ ν 。设材料电子浓度为 n ，则朗道能级填充因子为

可见，朗道能级填充因子是电子浓度及磁场强度的函数。量子化的朗道能级和填充因子对磁场强度及电子浓度的依赖关系，以及伴随的无序效应，表现为量子霍尔效应现象。随着磁场强度的变化，霍尔电阻及纵向电阻量子化的经典曲线如图2-10所示。图2-10（b）中，蓝线和绿线分别代表霍尔电阻率 ρ xy 和纵向电阻率 ρ xx 。从图中可见，随着磁场强度的变化，纵向电阻表现为一系列的峰，而在纵向电阻两峰间，霍尔电阻为常数，表现为一系列平台。当然，若保持磁场强度不变，通过调节栅电压进而改变电子浓度，同样可以调节朗道能级填充因子进而得到与图2-10（b）类似的电阻量子化曲线。

然而，在实际的二维电子气系统中由于存在杂质及表面态的无序，朗道能级简并性被部分解除，因此狄拉克 δ 函数形式的朗道能级被展宽。展宽的朗道能级中心附近仍是扩展态，两个朗道能级之间区域为局域态。当改变磁场强度 H 或者电子浓度 n 时，费米能级在扩展态和局域态间转换表现为霍尔电阻率 ρ xy 和纵向电阻率 ρ xx 的量子化，并且纵向电阻的峰宽被一定地展宽，使得实际实验中能更容易地观测到量子霍尔效应。

2.2.2　单层石墨烯中的半整数量子霍尔效应

二维材料的发现无疑开辟了材料物理新的研究领域。等离激元、声子、载流子等元激发准粒子被局域于纳米尺度，它们之间的相互作用被极大地增强从而常常主导材料的某些特性。同时，二维材料中电子态被限制在二维材料的表面形成二维电子气，电子态完全暴露在材料表面，很容易进行材料性质的人工调控。作为二维材料家族的代表，石墨烯中二维电子气具有超高的迁移率，无疑为量子霍尔效应的研究提供了良好的平台。特别是石墨烯中的电子满足狄拉克（Dirac）方程而不是薛定谔（Schrödinger）方程，这相对于其他二维电子气十分独特，石墨烯中的量子霍尔效应研究必定十分精彩。

图2-11为单层石墨烯的霍尔电导率 σ xy 在恒定磁场 B 下随电子和空穴浓度变化的实验曲线。图中，典型的量子霍尔效应平台清晰可见，但是它们并不按我们预期的经典二维电子气中 σ xy ＝ N （4 e 2 / h ）排序出现，其中 N 为整数。单层石墨烯的量子霍尔效应平台出现在半整数 ν 处，因此第一个平台出现在2 e 2 / h ，并且排序为 。从最低空穴朗道能级 跃迁到最低电子朗道能级 所需要的载流子数 ，其中 Φ 0 为磁通量）和其他近邻朗道能级之间的过渡需要的载流子数相同。这导致了霍尔电导率 σ xy 随载流子浓度变化曲线为一系列等距的阶梯，并不在通过载流子浓度为零时中断。为了对比出这种非常反常的物理现象，图2-11（a）左上角插图展示了双层石墨烯的霍尔电导率，可以看到，双层石墨烯中的量子霍尔效应平台的序列恢复正常，与传统的量子霍尔效应一样第一个平台出现在4 e 2 / h （但是双层石墨烯表现出另一种量子霍尔效应台阶的不同将在下节详细介绍）。可见，单层和双层石墨烯的量子霍尔效应有很大的区别。这是由于单层与双层石墨烯在狄拉克点附近的能带不同，石墨烯单层狄拉克点的费米子为无质量的狄拉克粒子，而双层石墨烯能带在狄拉克点附近劈裂为两对抛物线，电子有有限的质量，不能再描述为无质量狄拉克粒子。

为从理论上解释上述石墨烯的半整数量子霍尔效应，需要引入在垂直磁场 B 中零质量狄拉克费米子的能量表达式，即

式中， ћ 为约化普朗克常量； v F 为费米速度； N 为整数（ N >0表示电子为载流子， N <0表示空穴为载流子），表示朗道能级指标。在量子电动力学中，符号“±”描述了两个自旋，而在石墨烯中它指的是赝自旋。赝自旋与真正的自旋无关，起源于石墨烯中的两套不同狄拉克点（石墨烯晶格由两个碳原子组成，因此倒易空间有 K 和 K ′两个狄拉克点）。考虑到自旋和赝自旋，上面的公式表明最低的朗道能级（ N ＝0）出现在 E N ＝0，此能级只能容纳一种（负的）赝自旋投影的费米子，简并度为2。然而，其他能级（ N ≠0）均可被两种赝自旋（±）占据，简并度为4。这意味着对于 N ＝0的朗道能级，简并度是其他朗道能级的一半。或者，可以说所有的朗道能级都有相同的“复合”简并度，但 N ＝0的朗道能级简并是由电子和空穴共享的。因此第一个量子霍尔效应平台出现在正常载流子填充量的一半，同时， 和 都对应 N ＝0的朗道能级。而所有其他朗道能级（ N ≠0）简并度正常，为 ，但是相对于正常霍尔效应序列仍然偏移 。这解释了石墨烯中的半整数 的量子霍尔效应。值得强调的是，由于石墨烯中的载流子在室温条件下运动时几乎不受散射影响，其超高的迁移率使得在室温下即可测到其量子霍尔效应。

石墨烯的半整数量子霍尔效应还可以看成狄拉克费米子在磁场中运动获得的贝里相位（Berry Phase）的直接体现。电子波函数 Φ （ x ）＝ Φ 0 （ x ） e iγ ，其中 Φ 0 （ x ）为实函数， e iγ 为相位因子。根据量子力学知道波函数的绝对值平方为概率密度，相位因子在定态下没有物理意义，只有在描述一个物理过程中两点的相位差时才有确定的值和物理意义。通常，量子力学物理量只与粒子初、末态有关，其相位差为一定值，即这时的相位差与过程无关，称为“可积相位”。但狄拉克指出粒子初、末态相位差有可能仍然是不确定的，它的值依赖于连接两点的路径，路径不同相位不同，这种相位因子称为“不可积相位”。贝里相位为“不可积相位”，描述系统中随着外参量缓慢改变又回到初始状态（称为绝热过程）时，系统波函数的相位的改变。在绝热过程中，贝里发现随着外参量的改变，系统波函数会在获得一个动力学相位因子的同时，还获得一个相位因子，即贝里相位（也称为几何相位）。如果一个准粒子环绕着动量空间中的闭合轮廓（即相位 Φ ＝2π）转一圈，准粒子的波函数将附加贝里相位 Φ ＝ J π（单层石墨烯 J ＝1，双层石墨烯 J ＝2）。在石墨烯中，贝里相位可以看作是由于准粒子在不同的碳子晶格之间（在单层石墨烯中为A、B碳原子，在双层石墨烯中为A 1 和B 2 碳原子）反复移动时，赝自旋的旋转附加产生的。处于磁场中的单层石墨烯的半经典磁振荡可描述为

Δ R xx ＝ R （ B ， T ）cos[2π（ B F / B ＋1/2＋ β ）]

（2-3）

式中， R （ B ， T ）为Shubnikov de Haas（SdH）振荡幅度； B F 为SdH振荡频率； β 为相应的贝里相位（0< β <1）。通常情况下， β ＝1或 β ＝0。与此不同的是 β ＝1/2，即对应于狄拉克粒子的出现。实验中，半经典状态下的这种相移可以通过对SdH扇形图的分析获得。图2-11（b）为 R xx 中第 n 个最小值的1/ B n 值随朗道因子的数据图。通过线性拟合在纵坐标产生的截距即为贝里相位，即 β ＝0.5，进一步表明石墨烯中非零贝里相的存在和狄拉克粒子的存在。

2.2.3　双层石墨烯中的反常量子霍尔效应

两层石墨烯通过范德瓦尔斯力耦合在一起形成的双层石墨烯表现出很多不同于单层石墨烯的物理性质。根据层间转角的不同，双层石墨烯可分为AA、转角、AB三种堆垛方式。在AA（AB）堆垛的双层石墨烯中，上下两层的A→B碳碳键是相同（相反）的，碳碳键夹角为 θ ＝0°（ θ ＝60°），而转角石墨烯对应碳碳键夹角为0°< θ <60°。在自然界中石墨烯通常是以伯纳尔（Bernal）堆垛（即AB堆垛）为主，但是通过化学气相沉积生长、精确定点转移可以得到任意角度堆垛的双层石墨烯。双层石墨烯的能带具有很强的层间转角依赖性，其电子能带结构很显著地受层间转角的调控。对于伯纳尔堆垛的双层石墨烯，受两层的电子能态耦合的影响，单层石墨烯的费米能级处狄拉克锥蜕变成平行的上下两对抛物线。这种堆垛方式的双层石墨烯中心反演对称性仍然存在，因此其本征态也是零带隙的半金属。但是，当外加垂直于石墨烯平面的电场时，这种对称性被打破，石墨烯的带隙将被打开。

和单层石墨烯一样，伯纳尔堆垛的双层石墨烯也表现出反常量子霍尔效应（图2-12），但是实验现象和单层石墨烯完全不同。从图中可见，量子霍尔效应平台 σ xy ＝ N （4 e 2 / h ）按标准序列排布，但是在 N ＝0处的第一个平台缺失，这也意味着双层石墨烯在中性点处仍然是金属性。这种反常量子霍尔效应起源于双层石墨烯中准粒子的奇异性质，其哈密顿量为

式中， ћ 为约化普朗克常量； m 为电子质量； k x 、 k y 分别为沿 x 、 y 方向的动量；i为虚部。

双层石墨烯中准粒子的哈密顿量结构类似于对角线结构狄拉克方程。哈密顿量所计算得到的准粒子是有手性的，类似于无质量的狄拉克费米子，但是具有有限质量 m ≈0.05 m 0 。这种具有较大质量的手性粒子在相对论量子理论中是一个矛盾。在单层石墨烯中，SdH振荡相位 Φ ＝π，对应1/2贝里相位。而在双层石墨烯中 Φ ＝2π，一般来说不会影响量子霍尔效应排序。但是，进一步分析发现，具有 J π贝里相位的哈密顿量在能量为零的朗道能级处为 J 度简并。对于自由费米子量子霍尔体系（没有贝里相位），能量 E N ＝ ћ ω c （ N ＋1/2），基态为 ћ ω c /2，其中 ω c 为谐振子振动频率。对于单层石墨烯（ J ＝1， Φ ＝π），能量 ， 能量为零的态为单一非简并态。对于双层石墨烯（ J ＝2， Φ ＝2π），“重狄拉克费米子”的朗道量化可以描述为： ， 其中在零能级处（ E N ＝0）有两个简并度， N ＝0和1， ω 为回旋频率。零能级处两个简并度的出现，导致零能级处量子霍尔平台的缺失和在零能级处双倍高度的霍尔电导率跳跃（图2-12中红色曲线）。

有趣的是，当给伯纳尔堆垛的双层石墨烯加栅压时，这种反常量子霍尔效应又会回归到“标准”量子霍尔效应。实际上，栅压不仅改变了载流子浓度，同时其附加的电场引起两个石墨烯之间的不对称，诱发双层石墨烯产生带隙。电场诱导的带隙消除了 E N 为0时朗道能级的附加简并度，而且使量子霍尔阶梯保持不间断地由双倍高度阶梯分裂成两个正常高度的阶梯（图2-12中绿色曲线）。作为对比，图2-13画出了常规量子霍尔效应、本征双层石墨烯反常量子霍尔效应、单层石墨烯半整数量子霍尔效应。

2.2.4　石墨烯中的分数量子霍尔效应

在量子霍尔效应被发现两年后，分数量子霍尔效应（Fractional Quantum Hall Effect， FQHE）于1982年由Daniel Tsui和Horst Störmer在Arthur Gossard研发的砷化镓异质结中首次实验观测到。分数量子霍尔效应有几乎与量子霍尔效应相同的特性，区别是分数量子霍尔效应的量化霍尔电导率在 e 2 / h 乘以一个分数倍时出现量子霍尔效应平台。第一个分数为1/3，至今已有100多个分数量子霍尔态被观测到，其中绝大部分分数的分母为奇数。分数量子霍尔效应是一种集体态的表现，在这种集体态里，电子把磁通量线束缚在一起，形成新的准粒子、有着分数化基本电荷的新激发态，并且有可能出现分数统计。1998年诺贝尔物理学奖授予Daniel Tsui、Horst Störmer和Robert Laughlin以表彰其发现和解释分数量子霍尔效应。

相比于量子霍尔效应，分数量子霍尔效应需要考虑二维电子气系统中的强库仑相互作用和电子之间的相关性，这会导致系统中产生具有分数单元电荷的准粒子。Robert Laughlin提出了一个简洁的波函数来解释第一个分数量子霍尔态。这个波函数里考虑了电子之间的相互作用，并由此成功解释了其他1/ m （ m 为奇数）分数量子霍尔态。由大量电子形成的准粒子所带电荷小于一个电子电荷，这似乎有违常理，但是Robert Laughlin提出的由分数单元个电荷激发系统完美解决了这个矛盾。值得提出的是，分数量子霍尔效应是第一个观察到分数个电子电荷量激励的实验，这与粒子物理中夸克带2e/3电荷相对应。

观测到量子霍尔效应和分数量子霍尔效应的关键条件是需要材料具有超高的迁移率和极低的测试温度。石墨烯的超高迁移率使石墨烯可被探测到清晰的分数量子霍尔台阶，为研究分数量子霍尔效应的物理机理提供良好的平台。在石墨烯量子霍尔效应被发现的第四年，其1/3分数量子霍尔效应在迁移率高达2.6×10 5 cm 2 /（V·s）的悬浮石墨烯中首次被探测到，探测温度为1.2K、磁场为12T。相比于有基底的石墨烯，虽然悬浮石墨烯避免了基底的影响，大大提高了石墨烯的迁移率，但是悬浮石墨烯不稳定、引入局域应力且不好进行人为调控。因此一个好的基底对石墨烯分数量子霍尔效应的进一步研究至关重要。h-BN同为二维家族材料，没有悬挂键的表面极其平坦，同时，约5.2eV的带隙使其很难和石墨烯进行直接的能带交叠，对石墨烯的能带的影响不是很大。图2-14为以h-BN基底的石墨烯测得的分数量子霍尔效应，可见至少有八个分数量子霍尔态被观测到，探测温度为0.3K、磁场为35T、迁移率为3×10 4 cm 2 /（V·s）。

相比于正常分数量子霍尔效应，石墨烯分数量子霍尔效应的不同并不在于其缺少较大的奇数分母量子霍尔态，相信在更低温度和更高质量的石墨烯中会观测到这些态。对比之下可以看出，石墨烯的量子霍尔态缺失5/3态而多出来13/3态。在较高的Landau能级处，电子-电子相互作用被显著抑制，因此量子霍尔效应基态可能被条带相或者泡沫相代替。然而石墨烯中在较高的Landau能级仍能存在分数量子霍尔态，为研究不同Landau能级波函数之间的有效相互作用提供可能。总而言之，石墨烯是研究多体相互作用的良好体系。 eH2v6cTUMvzcyZpKPwzoVffkvPz7vtyuwUYTE+HKEiOkgac13EJK6JMnrP2wTnMc