1.3　石墨烯的电子能带结构

1.3.1　石墨烯的紧束缚近似理论

石墨烯碳原子之间以共价键的形式连成蜂窝状结构，如图1-9所示，石墨烯晶格是一个复式晶格，相邻的两个碳原子构成复式晶格的原胞。

它的晶格可以看成是三角形的点阵，晶格基矢为 a 1 和 a 2 ，具体可以写为

式中， a 为两个最近邻碳原子之间的距离，约为0.142nm。对应的倒易空间基矢为

在石墨烯布里渊区的顶点有 K 和 K ′两个点，它们是后来石墨烯被称为无质量狄拉克费米子的重要来源。它们在动量空间的位置可以表示为

在实空间中三个最近邻碳原子为

另外六个次近邻碳原子位置可以表示为

利用紧束缚近似，只考虑最近邻和次近邻碳原子之间的相互作用，可以列出它的哈密顿量（ H ），计算后得到石墨烯的能带表示如下

式中， t 为最近邻跃迁激活能； t ′为次近邻跃迁激活能； f （ k ）为

式中， k x 、 k y 分别为狄拉克点的 x 、 y 分量。对于 k ＝ K ＋ q ， | q | | K |，则

E ± （ q ）≈± v F | q |＋O[（ q / K ） 2 ]

（1-6）

式中， q 为相对于狄拉克点的动量；O为狄拉克点附近展开的阶； v F 为费米速度，它的值为

v F ＝3 ta /2≈1×10 6 m/s

（1-7）

因此，在 K 和 K ′点附近石墨烯具有近线性的能量色散关系（图1-10）。

1.3.2　石墨烯的ARPES表征结果

角分辨光电子能谱（Angle Resolved Photoemission Spectroscopy， ARPES）是一种利用光电效应研究固体的电子结构的技术。1887年，德国物理学家赫兹发现，一束光照射在样品表面，当入射光频率高于特定阈值（功函数）时，表面附近的电子会脱离样品，成为自由电子，这就是光电效应。在ARPES实验中，通常使用通过稀有气体电离或者同步辐射得到的光源。目前应用最广的是利用分析器测量光电子数与其出射角（即电子动量的方向角）和出射动能的函数关系。利用动能守恒定律和动量守恒定律，可以计算出样品中电子的动能及动量。

早在2006年，研究人员利用ARPES这种技术就实现了石墨烯费米能级附近电子能带结构的呈现（图1-11）。图中可以清楚地看到，在石墨烯狄拉克点附近，石墨烯能带呈现明显的线性结构，这与最初的理论计算结果是完全吻合的。

1.3.3　石墨烯的STS表征结果

上文提到，利用STM可以实现对样品的原子成像，石墨烯的六元环结构就是利用这种技术被成功呈现的。事实上，在使用扫描隧道显微镜时，当给样品施加电压之后，隧道电流 I 会随着施加电压 V 的变化而变化。通过理论计算，研究人员发现，隧道电流和施加电压的微分结果d I /d V 可以反映出针尖样品电子局域态密度的大小。因此，通过这种技术可以实现对物质电子能带结构的探测。

2009年，Li等在石墨上成功实现了石墨烯样品的原子级成像和扫描隧道谱（Scanning Tunneling Spectroscopy, STS）分析。如图1-12所示，从STS谱中可以看到，在狄拉克点附近（-150meV< E <150meV），石墨烯的电子能带结构呈现非常明显的线性关系。通过计算可以得到对应的费米速度值约为0.8×10 6 m/s，这和早期的理论计算结果比较一致。