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1.3 石墨烯的电子能带结构

1.3.1 石墨烯的紧束缚近似理论

石墨烯碳原子之间以共价键的形式连成蜂窝状结构,如图1-9所示,石墨烯晶格是一个复式晶格,相邻的两个碳原子构成复式晶格的原胞。

图1-9 石墨烯晶格的实空间和倒易空间示意图

它的晶格可以看成是三角形的点阵,晶格基矢为 a 1 a 2 ,具体可以写为

式中, a 为两个最近邻碳原子之间的距离,约为0.142nm。对应的倒易空间基矢为

在石墨烯布里渊区的顶点有 K K ′两个点,它们是后来石墨烯被称为无质量狄拉克费米子的重要来源。它们在动量空间的位置可以表示为

在实空间中三个最近邻碳原子为

另外六个次近邻碳原子位置可以表示为

利用紧束缚近似,只考虑最近邻和次近邻碳原子之间的相互作用,可以列出它的哈密顿量( H ),计算后得到石墨烯的能带表示如下

式中, t 为最近邻跃迁激活能; t ′为次近邻跃迁激活能; f k )为

式中, k x k y 分别为狄拉克点的 x y 分量。对于 k K q , | q | | K |,则

E ± q )≈± v F | q |+O[( q / K 2 ]

(1-6)

式中, q 为相对于狄拉克点的动量;O为狄拉克点附近展开的阶; v F 为费米速度,它的值为

v F =3 ta /2≈1×10 6 m/s

(1-7)

因此,在 K K ′点附近石墨烯具有近线性的能量色散关系(图1-10)。

图1-10 紧束缚近似下计算得到的石墨烯的能带结构

1.3.2 石墨烯的ARPES表征结果

角分辨光电子能谱(Angle Resolved Photoemission Spectroscopy, ARPES)是一种利用光电效应研究固体的电子结构的技术。1887年,德国物理学家赫兹发现,一束光照射在样品表面,当入射光频率高于特定阈值(功函数)时,表面附近的电子会脱离样品,成为自由电子,这就是光电效应。在ARPES实验中,通常使用通过稀有气体电离或者同步辐射得到的光源。目前应用最广的是利用分析器测量光电子数与其出射角(即电子动量的方向角)和出射动能的函数关系。利用动能守恒定律和动量守恒定律,可以计算出样品中电子的动能及动量。

早在2006年,研究人员利用ARPES这种技术就实现了石墨烯费米能级附近电子能带结构的呈现(图1-11)。图中可以清楚地看到,在石墨烯狄拉克点附近,石墨烯能带呈现明显的线性结构,这与最初的理论计算结果是完全吻合的。

图1-11 不同掺杂浓度下的石墨烯的ARPES表征结果

1.3.3 石墨烯的STS表征结果

上文提到,利用STM可以实现对样品的原子成像,石墨烯的六元环结构就是利用这种技术被成功呈现的。事实上,在使用扫描隧道显微镜时,当给样品施加电压之后,隧道电流 I 会随着施加电压 V 的变化而变化。通过理论计算,研究人员发现,隧道电流和施加电压的微分结果d I /d V 可以反映出针尖样品电子局域态密度的大小。因此,通过这种技术可以实现对物质电子能带结构的探测。

2009年,Li等在石墨上成功实现了石墨烯样品的原子级成像和扫描隧道谱(Scanning Tunneling Spectroscopy, STS)分析。如图1-12所示,从STS谱中可以看到,在狄拉克点附近(-150meV< E <150meV),石墨烯的电子能带结构呈现非常明显的线性关系。通过计算可以得到对应的费米速度值约为0.8×10 6 m/s,这和早期的理论计算结果比较一致。

图1-12 石墨烯的STS表征结果 4thFeGZ3tYbj8SPH318RyAT6Y6LnAzMA+KY0YAbmwN65IloGtx73/vMk+5hTdpt/

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