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学科核心素养是育人价值的集中体现，是学生通过学科学习而逐步形成的正确价值观念、必备品格和关键能力.在形成和落实学科核心素养的过程中，具有数学特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观均得以体现.数学抽象反映了数学的本质特征，数学抽象也贯穿数学产生、发展、应用的整个过程，经过日渐积累，对于学生数学抽象核心素养的培育，最终使得学生能够从具体到抽象、从特殊到一般，透过现象把握事物的本质属性.数学抽象对学生来说至少有3个方面的教育价值：①能积累比较多样化的从具体到抽象的活动经验；②能帮助学生更好地理解数学和学会数学式的思维；③通过数学抽象能更好地发展学生解决问题的能力.结合以上对数学抽象内涵的剖析，本节从数学抽象在学科、培养人思维、认知事物关联、理性精神、创造能力和美学等6个方面的价值来做以阐述.
对于学科来说，抽象是数学的首要特征，抽象为推理提供了对象，为模型提供了依据，为数学的广泛应用提供了基础.两种事物，如果有相同的量或形，便可用相同的数学方法，因而数学必然、也必须是抽象的.对于育人来讲，“数学虽不研究事物的质，但任一事物必有量和形，所以数学是无处不在、无时不用的”.因而学生经历数学的抽象，不仅由此生成了数学的研究内容，更具普遍意义的是抽象的过程，能让学生学习如何从量或形的视角去观察、把握周围的现实事物.这一认识客观世界的独特方式，是每个社会公民无论从事何种职业都不可或缺的基本素养.
且不说数学抽象的概括性、层次性、理想化、形式化、符号化对发展学生抽象思维的作用与贡献，仅当儿童从现实世界形态各异、异彩纷呈的事物中抽取共同的量或形的属性时，就已经得到了从考察对象中分离多种属性，提取本质属性，排除各种非本质属性干扰等一系列的知觉、思维训练.小学数学几乎每一节课都有量或形的抽象活动，都在为进一步学习数学抽象，发展抽象能力奠定基础.整个学校数学的学习中，数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统.
《普通高中数学课程标准（2017年版）解读》中认为数学抽象的数学学科价值集中反映在两个层面：①对数学发生、发展的重要性（决定性）价值的揭示；②对数学抽象在数学学科理论系统中的功能性价值的揭示.
数学在本质上研究的是抽象于现实世界的东西.但数学抽象不仅限于对现有事物的剥茧抽丝，数学的发展使得其早就已经从已有的数学结构出发，抽象出新的概念和运算法则，并通过逻辑推理来建构出新的数学.数作为数学最最基本的研究对象，是来源于数量本质的抽象，数量的本质是多与少，进而数字可以由大到小进行排列，因为有序，进而可以比较大小，有了重要的“不等关系”.十进制记数系统经历了漫长的计数抽象阶段和丰富的符号抽象阶段，进而发展出自然数集.这就不得不提及数系的扩充，自然数是来源于对数量的刻画，有理数是来源于对比例的刻画，无理数是来源于对长度的刻画，复数产生是为了更好地刻画方程的解，那么，四元数的产生完全是人为制造的.诸如此类，基于抽象理论不断创建的数学分支也在促进着这门学科以及整个科学的进步和发展.
解题的过程需要一种看清事物本质的能力，这也就是数学核心素养中的“数学抽象”，即舍去事物的一切物理属性，从事物的具体背景中抽象出一般结构和规律，并用数学符号来表征.
问题： 如图1-1所示，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为___.
图1-1
分析
对于这道高三的排列组合问题，用最基础的枚举法和乘法原理也能解决，但是若街道更多，枚举便会使人头疼.如果换个角度来思考，考虑完成的最短路径，横向与纵向经过的街道数分别为2，从
E
→
F
经过2个横向街道，2个纵向街道，不同的路径选择其实是对“两横两竖”排序，运用排列组合知识可得结果应该是
，同理
F
→
G
最短路径的选择有
条，依据乘法原理，小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
.
可以说，通过学习数学培养学生的抽象能力，对于学习研究其他领域的问题，对于今后面对事物错综复杂的多种因素，主动进行舍去次要因素，提取主要因素的分析活动，具有其他学科难以比拟的基础训练价值.
对学生来说，数学首先是利用自己的生活经验对数学现象的一种“解读”，这需要的是由数学向学生日常生活的“回归”.但是到了更高阶段的抽象时，已经没有必要每次的运算或者推导都要回归到具体事物间的关系上去.又或者说，除了“解读”外，我们还需要帮助学生由“日常数学”上升到“学校数学”.这其中，蕴含着数学抽象的两个阶段.
在数学的学习中，学生一般通过理解抽象性概念，练习公式以及变式，在数学应用中创建抽象化的产物，历经数学符号的发展和应用，强化数学思维.在数学抽象素养的培育过程中，将使得学生具备看待事物时持有大局观，解决繁杂问题时具有特殊角度思考的能力以及正难则反不拘于模式的思辨能力.数学抽象素养一般表现在对一类事物非本质属性的摒弃和对其共同本质特征的反映.
问题： 集合 A ={1，2，3，…，10}.
（1）设 A 的3元素的子集个数为 n ，求 n ；
（2）设 A 的3元素的子集中，3个元素的和分别为 a 1 ， a 2 ，…， a n ，求 a 1 + a 2 +…+ a n 的值.
分析 本题主要考查学生的排列组合知识，考查学生的数学抽象，逻辑推理和数据分析能力.尤其是第二问中，如何求出所有3元素子集中元素的和是个难点.面对众多数据求和，学生往往会一筹莫展.需要找寻子集中元素分布的规律，去除众多数据求和的干扰，抓住主线，确定每个元素出现的次数，这也是“加减”低阶运算发展到“乘除”高阶运算的抽象思维，可以用更加高明和简单的方式来解决问题.很明显，这个问题的解决在于排除数据干扰、化繁为简，关注关键元素出现的次数，也即是含有确定包含某个元素的子集个数.
解
（1）
=120；
（2）
A
的3元素的子集中，含有元素1的三元素子集有
个.
依此类推，1~10每个元素在三元素子集中出现的次数均为
因此，
a
1
+
a
2
+…+
a
n
=
=1980
对以上问题，就有学生提出以下算式来解决：
a
1
+
a
2
+…+
a
n
=（33÷2）
=1980，其中33÷2指的是元素之和最小的三元素子集{1，2，3}与和最大的三元素子集{8，9，10}的元素之和的平均数，该生把33÷2当做是3元素子集元素之和的平均数，乘上子集的个数来解决问题.其中参照的是等差数列求和的方法，这是数学学习中数学思想方法的体现，这是一种弱抽象.只是与等差数列求和具有相似的形式，但是否有一定的道理，教师应该利用此契机深入引导学生探究.
数学抽象思维与学生的情感和个性特征有密切联系，要培养数学抽象思维能力必须充分调动学生的主动性和创造性.在教学中，我们采用多种形式，让学生的思想在生动活泼的气氛中得到锻炼和发展，并培养他们的意志品质.对于有新意、思想深刻的学生则给以鼓励，促使他们积极奋发、更有兴趣学习；对于后进生也要注意保护他们的积极性，肯定他们的一得之见.
表征性抽象，时常由事物的表面现象经验性地得到一些结论，这停留在抽象的第一个阶段.而原理性抽象把握的是事物的因果性和规律性的联系.在数学的学习中，往往需要联系事物之间的关系，为数学的高度抽象关系，建构起更加具体形象的认知.章建跃认为，人类的智慧表现在用简单的概念阐明科学的基本问题，用相似的方法解决不同的问题，而数学的方法就是这样的方法.在数学中，自然数不仅打开了数学研究的大门，也为数学推理验证由“有限”走向“无限”奠定基础，这就表现在数学归纳法的研究上.
研究一个含有正整数的命题，如果对一些具体的数值，比如1、2等，命题是成立的，人们往往会猜想：这个命题是否对所有的正整数都是正确的呢？对于要验证的命题，我们总会有一个初始值 n 0 ，比方说从1开始，然后由 k -1到 k ，最后逐一验证任意一个大于1的正整数，命题都是成立的.如果这种自然数之间依次有序的性质，对于要验证的命题由 k -1成立到 k 时也成立，那么命题的为真的性质就可以依此类推进行至无穷.用数学归纳法验证猜想是否正确，用 A （ n ）来表示这个命题，证明的步骤如下：
（1）首先验证当 n = n 0 时，A（ n 0 ）为真；
（2）假设当 n = k -1时， A （ k -1）为真，验证 A （ k ）为真；
（3）如果验证成功，则完成证明.
虽然在应用数学归纳法证明命题的过程中，很多时候第一步是很显然的，但是并不是可有可无的.如果建立起了“ A （ k -1）→ A （ k ）”的关联（其中 k ≥ n 0 +1），那么由“ A （ n 0 ）为真”就可以关联到“ A （ n 0 +1）为真”，直至抽象出更一般的关联.将 n 能够取到的正整数经由步骤（2）不断地关联到下一个正整数，有限步达到了无限的逐一验证，因此数学归纳法是“完全归纳”.
数学高度抽象的过程联系具体的事物，不失为一种提升认知的方式.在学习二项式定理过程中，以“两个相同的盒子中，分别装有红黄两种大小形状完全相同的小球各一个，分别从两个盒子中各取一个小球，有多少种结果”，用此“两红、一红一黄、两黄”类比多项式乘法（
a
+
b
）
2
的展开式中的
a
2
、
ab
、
b
2
.“一红一黄”的取法有两种，对应与项
ab
的系数为2.在课堂教学中，再进行实物演示，推广到4个盒子，即（
a
+
b
）
4
.学生掌握到这种二项式展开式，先要确定项的形式，再确定项的系数，再到
n
维的情况，自然过渡到
r
个（
a
+
b
）中取元素
b
，剩余的取
a
，得到通项
.这个过程先弱化了抽象层次，关联实物，更加具体，而当学生熟悉了解了两者关联之间的规律，便可以进入到高层次的抽象，顺利掌握新知.因此在课堂教学中，有必要为冰冷严谨无误的数学概念定理关联上可触可感的形象外衣，使得学生数学抽象素养水平更具有层次，更具有发展性.
M·克莱因把数学看成是“一种精神，一种理性精神”.数学是理性精神的典范，所以数学教育应当注重培养理性精神，理性精神的培养需要关注理性的思维意识与习惯、理性的思维方式与能力两大方面.正是这种数学的理性精神，促进人类思维得以运用到最完善的程度，并且影响人类的物质和精神生活.
理性精神突出表现在数学以一般抽象性、形式逻辑性、数量精确性和模型构造性为思考标尺的认识模式与追求上.抽象是数学得以产生和发展的思维基础，在整个知识体系架构中，抽象性关联起知识之间的脉络.以“集合”为例，数学中的很多概念界定都要描述其具备的一般属性，根据目标明确性质，进而辨别研究对象属性、区分和分类，最后达到外延.这个阶段为学生作出正确的判断提供依据，建立起理性的标杆.集合子集、补集是进一步的分类，这是做出理性选择的一步.集合之间的关系，是对特殊对象间的性质做出判别，这是对多元对象间相互作用时进行理性认识.在一个概念不断抽象的数学活动中，理性精神潜移默化地作用开来.在集合知识之后，学生对于“分类讨论”“分类加法原理”“独立事件”“互斥性”“完备性”等的认识将更为理性.反过来，数学抽象水平也在这个过程中不断地加深.
在人们日常认识中，很难去形容“无穷”，对于“极限”更是缺乏理性认知.“芝诺悖论”中有一则古希腊神话英雄阿喀琉斯追乌龟的寓言，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿喀琉斯就永远也追不上乌龟！芝诺当然知道阿喀琉斯能够捉住乌龟，跑步者肯定也能跑到终点，但芝诺限定了时间，使得“阿喀琉斯就永远也追不上乌龟”.这就是所谓“1＞0.999…”的错误认识.事实上，最终追上乌龟便是使用无数次“无限趋近”完成这次有限运动.在事实与抽象理论博弈中，理性居于上风.数学上，便是利用“无穷等比数列的各项和”这一数学抽象活动塑造理性精神.
数学历来被认为是确定性的科学，但在日常生活中我们却会遇到大量不确定性事件，甚至是在追逐“不确定性”所带来的利益.曾有一则笑话：一名病人需要做手术，主刀医生说这类手术的死亡率为万分之一，这正好是第一万台手术，吓得病人面色苍白.可医生接着说，放心吧，前面已经死了一个了.笑话中蕴含着人们对待随机事件不确定性的盲目认识.古代中国人比古希腊人更早地认识到理性的预测事件是否会发生以及以怎样的形式发生，远比倒回去追究事件发生的原因，来得更为实际.随着一些实际操作和概率试验的大量开展，人们对数据有了更清晰的认识和分析，古典概型中每次随机试验结果的等可能性，反映出人们对待未知事件的理性认识.从拉普拉斯给出的古典定义，到柯尔莫哥洛夫的公理化体系，这是数学抽象的杰作，更用数据和数学运算塑造起数学地看待未知事件的理性态度.
理性精神是忠实理性认识活动，以寻找事物的本质、规律及内部联系的精神.寻找事物的本质、规律及内部联系，这是理性的思考.目前很多学生忙于埋头做题，做题多，总结少，浮于解决问题的抽象过程表面，不做深入思考.
数学中的许多重要概念，从它最初的原始状态，随着时间的推移，由于种种原因而被一次一次地扩张、推广，结果成为像今天这样广泛而精确的概念.“函数”概念就经历了重要的7次扩张.这是数学概念不断抽象化的过程，也必然反映在学生抽象出这些概念的数学活动之中.而其中，公平公正、实事求是、不畏艰难、勇于探索的理性精神也正逐步形成当今人类的必备品格.
在教学中，教师应及时捕捉和诱发学生学习出现的灵感，对学生别出心裁的想法、违反常规的解答、标新立异的构思，哪怕只是一点点的新意，都应及时给予肯定，并用交换角度、类比形式等方法诱导学生的数学直觉和灵感，促使学生能直接基于基础知识再创造新知.
问题：
等于（ ）.
A.-2 50 B.0 C.1 D.2 50
分析
学生基于“赋值法”了解到二项式系数求和的值为2
n
，也知道奇次项和偶次项二项式系数和为2
n
-1
，作出排除选项D的判断.但是
的符号又使得学生混乱.而当
r
能被4整除时，
前面的符号是正的.这种符号正负的周期性，学生很容易想到数学中“i的乘方”所具有的周期性.因此，基于复数乘法的认知，构造出二项式（1+i）
100
.
解
（1+i）
100
=
其中左式=（2i）
50
=-2
50
，而
等于右式所示复数的实部，根据复数相等的充要条件，也即是等于-2
50
，故选A.依据已有数学模型，在新知基础上，大胆构造，先使部分吻合，再进行探索，是对学生直觉上的一大挑战.学生能够跨越多项式乘法中限于字母和常数的障碍，换种角度，大胆创新.
学生对于虚数单位i的认知存在较强的心理障碍，本质原因在于i本身并不是一个数，却常称作是扩充数系的关键.在课本练习13.2（1）中要求学生在复平面作出复数2-3i和3+2i对应的点，发现2-3i在复平面对应的点绕原点逆时针旋转90°可以得到3+2i在复平面对应的点.学过复数乘法之后，便知道3+2i=（2-3i）·i.再继续尝试，将点（3，2）绕原点逆时针旋转90°得到点（-2，3），对应复数-2+3i=（3+2i）·i.再引导学生尝试验证逆（顺）时针旋转180°等.最后应用一般的复数 a + b i进行验证，是成立的，如此便形成一个一般性的结论：i是绕原点逆时针旋转90°的旋转量.这本是涉及到高等数学复分析中的知识，可是在高中阶段也能够有学生由特殊到一般，抽象得到虚数单位i的本质.抽象并不难，敢于给学生创造发挥他们创造能力的平台和机会，才是最难得的.
法国数学家庞加莱曾说：“数学家不单单因为数学有用而研究数学，他研究它还因为他喜欢它，而他喜欢它则是因为它是美丽的.”数学既具有一般意义下美的特点，又有自身独有的美，即所谓的数学美.数学美的内容极其丰富，既有具体、形象和感性的一面，又有形式、抽象和理性的一面.吴军在《数学之美》一文中说，数学之美，首先在于用简单的形式表达复杂而深奥的内容；其次在于数学原理的通用性和普遍性.数学美是一种独特的、兼具震撼力的美，本质上包含了主观意义上的数学美与客观意义上的数学美两个方面的含义，即数学美既是人的主观感受与思维表达，又是内蕴于客观世界的现实存在.
一种数学理论，一个数学体系的形成，都要经过多级次，多层次，多种形式（理想化、模式化、精确化、自由化、形式化）的从最初的感性认识和初步抽象到理性抽象，从不太完善形式向比较完善形式，从不太完美形式到比较完美形式的过渡.这个不断走向美的过程正体现出数学的“简洁美”“统一美”“对称美”“符号美”等.数学中的抽象的方法和结果（数学发现、数学发明、数学创造）的真伪性与价值往往可以通过以上所述的“数学美”的标准来鉴别.同时此标准也揭示了数学美的表现特征：简洁性（即数学的符号美、抽象美、统一美）、和谐性（即数学的和谐美、对称美、形式美）、奇异性（即数学的奇异美、朦胧美、常数美）.我们说数学中的创造、发明或发现的过程实际也是审美过程，数学中的创造、发明或发现的结果实际上也是抽象美的结果.
在初等数学中就可以找到很多体现数学美的具体例子.它们都是使用最基本的思维方法——抽象得来的.
在体积计算中的所谓的“万能公式”，它能简洁、统一地应用于棱（圆）柱、棱（圆）锥、棱（圆）台的体积计算，即
其中 h 为相应几何体的高， S 和 S '则分别为其上下底的面积.
数学家引入抽象的算法符号以避免繁杂的运算.正是为了避免重复的加法运算，人们才引进了乘法.如4+4+4+4+4+4+4=4×7.类似地，幂的引进则是为了避免重复的乘法，如4×4×4×4×4×4×4=4 7 .类似的还有，数学各种算式公式的发展与简化，数学概念定理的高度概括和凝练.因此，数学抽象是数学学科美的基本内容.
在数学中人类的本质力量正是借助于抽象得到了最大限度的发挥，现代的数学家们依靠抽象与想象“建造”出了一个宏伟无比而又十分精巧的“数学世界”，达到了最大的纯粹性、深刻性、精巧性、严密性、清晰性、能动性.故此，数学家们以数学抽象为美是十分自然的，并且这在很大程度上就是对于人类自身本质力量的赞美.如今培育学生的数学抽象素养，在美学方面，更多地是希望学生具备发现和欣赏数学抽象所带来的事物的简洁、统一和纯粹，而非顽固地训练和无感情的追求效率.
若你无法体会到数学理论、公式所诠释的美，那么荷兰画家埃舍尔艺术性的创作，仿佛使人无法拒绝为之着迷.《圆极限》是埃舍尔众多数学化艺术品种的代表作，如图1-2所示.画中的事物不妨看作是鱼，我们会惊奇地发现：圆是有边界的，而里面的鱼却是无限地多.事实上，对于里面忙碌游动的鱼来说，这个圆却又是无限地大，因为它们远离圆中心，越来越小，慢慢在我们眼际消失，我们不能够望其尽处.埃舍尔本人很欣赏“这个无限而有界的平面世界的美”.
图1-2
在数学里，无限是一个重要的概念，有其明确的界定.从古希腊的欧多克斯（Eudoxus of Cnidos）用“穷竭法”平息了数学史上第一次数学危机开始，牛顿（Newton）、莱布尼茨（Leibniz）发明微积分，康托尔（G.Cantor）创立集合论，歌德尔（Godel）发现不完备定理，芒德布罗（B.B.Mandelbrot）创立分形理论等，数学家们乐此不疲地运用“无限”这一主题.可以说，无限成了数学中一道亮丽的风景线.关于无限的数学，是人类智慧的结晶，是数学高度抽象的一种表现.如今，却可以由欣赏衣服美妙的艺术创作来实实在在的感受到，这体现出数学抽象激发出的数学美内蕴于客观世界而现实存在.