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数学抽象是舍去了事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程.主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表征.数量与数量关系的抽象是最原始的抽象，数是对数量的抽象，从数到字母是抽象的第二个层次，图形与图形关系的抽象始于对三维空间物体的认识.
数学抽象包括数学概念、命题、方法、结构体系等的抽象，而数学概念的抽象是最基本的，华东师范大学鲍建生教授认为，从逻辑上看，数学概念的抽象过程分为两条路径.一条路径是扩大外延，在原来定义的基础上增加一些元素得到一个新的集合，进一步抽象得到一个新的概念，比如，从自然数到整数再到有理数就是属于不断添加元素抽象出新概念；另外一条路径是增加内涵，在原有本质属性的基础上再增加本质属性，使得元素同时满足这些属性，从而抽象出新的概念，比如，从四边形到平行四边形再到矩形等是属加种差（真实定义）的定义方法，也是属于增加内涵的数学抽象.总之，数学概念的抽象是在原有集合的基础上构造新的集合，构造等价类，并定义新集合的运算的过程.数学抽象的过程具有一定的逻辑性，数学抽象的水平具有层次性.
数学抽象具有一些典型的特点.郑毓信认为数学抽象具有理想化、精准化、模式化的特点；李昌官则在《数学抽象及其教学》一文中指出，数学抽象具有纯粹性、精确性、理想化、模式化、形式化5个特点.两位学者已表述的很正确，在他们观点的基础上，用更具体的语言来说，数学抽象具有高度概括，结论更具有一般性，表达简约、精确、能用数量化、符号化、公式化和图形化刻画.
数学抽象的类型很多，根据抽象对象的不同，数学抽象可分为性质抽象、关系抽象、等价抽象等.所谓性质抽象是指关于研究对象某一方向的性质或属性的抽象；所谓关系抽象是指关于研究对象的数量关系或空间位置关系的抽象，如直线与平面平行、平面与平面垂直是关系抽象的结果；所谓等价抽象是按某种等价关系，抽取一类对象共同性质特征的抽象，如自然数概念是等价抽象的结果，其本质是某类等价集合的标记，即集合间可以建立一一对应关系，它们是“对等”的.根据抽象方向的不同，数学抽象可分为同向与逆向思维的数学抽象、悖向思维的数学抽象与审美直觉的数学抽象.所谓同向思维的数学抽象，即延续已有的思维方向思考问题，它主要包括弱抽象和类比联想等方法.其中的弱抽象，也叫做“扩张式抽象”，是指对事物某一方面特征（或侧面）加以概括，从而形成比原对象更为一般的概念或理论的一种抽象方式，如“正方形→长方体→直平行六面体→直棱柱→斜棱柱”顺序进行的抽象就是弱抽象.弱抽象的特点是研究对象的外延不断扩大，内涵不断缩小，把结论推广到更一般的情形.所谓逆向思维的数学抽象，指与原思维方向反向地思考与探究问题，它主要包括强抽象、精确化与完备化的思维方法.其中的强抽象，也叫做“强化结构式抽象”，是指通过扩大研究对象的特征，从而形成比原对象更为特殊的概念或理论的一种抽象方式，如按“斜棱柱→直棱柱→直平行六面体→正四棱柱→正方体”顺序进行的抽象就是强抽象.强抽象的特点是研究对象的外延不断缩小，内涵不断扩大，更深刻地认识事物某一方面的特征.所谓悖向思维的数学抽象，即背离原来的认识并在直接对立的层面上探索新的发展可能性，是立体型的抽象.
1.理想化的抽象
理想化的抽象即指抽象层次性的简约阶段，由实际的事物或现象引出抽象概念的方法，其中包括对于真实事物或现象的简约化与完善化，从而得出的数学概念与现实原型未必完全符合，如“没有大小的点”“没有宽度的线”“没有厚度的面”等几何概念都是简约化的结果.平面几何中已经证明任意三角形三个角的平分线交于一点，但真实世界的经验告诉我们，无论绘图员多么细心、采用多么精确的工具，他所画图形中的三条角分线也只是近似地相交.这种理性化的抽象已从空间经验推进到整个数学世界.亚里士多德曾描述这个过程：“数学家舍去一切感性的东西，如重量、硬度、热，只留下量和空间连续性.”
2.强抽象与弱抽象
弱抽象也可以称作“概念扩张式抽象”，即从原型（或已有概念）中选取某一特征（侧面）加以抽象，从而获得比原结构更广的结构，使原结构成为后者的特例.比如，由全等形的概念出发，借助弱抽象就可获得相似形及等积形的概念，它们分别保存了“形状相似”与“面积相等”的特性.相对于后者而言，全等形的概念就可以说是一个原型，而由全等形的概念出发去建立相似形及等积形的概念则就是弱抽象的过程.人们可以将一类或某种结构内容较为丰富的对象作为弱抽象的原型，并通过特征分离和规范化的定义方法去构造出更为一般的模式.
3.存在性抽象
存在性抽象是人类思维能动性的一种重要表现形式，有时可以假设一个原先认为不存在的“对象”的存在性，也即引进所谓的“理想元素”，并由此而发展起一定的数学理论.比如，虚数i以及无穷远点的引进就是这样的例子.
抽象思维的具体形式是多种多样的.如果以抽象的内容作为标准加以区分，抽象大致可分为表征性抽象和原理性抽象两大类.表征性抽象的抽象内容是事物所表现的特征，原理性抽象的抽象内容是普遍性的定律.
1.表征性抽象
所谓表征性抽象是以可观察的事物现象为直接起点的一种初始抽象，它是对物体所表现出来的特征的抽象，如物体的“形状”“重量”“颜色”“温度”“波长”等，这些关于物体的物理性质的抽象，所概括的就是物体的一些表面特征.这种抽象就属于表征性的抽象.表征性抽象同生动直观是有区别的.生动直观所把握的是事物的个性，是特定的“这一个”，如“部分浸入水中的那支筷子，看起来是弯的”，这里的筷子就是特定的“这一个”，“看起来是弯的”是那支筷子的表面特征.而表征性抽象却不然，它概括的虽是事物的某些表面特征，但是却属于一种抽象概括的认识，因为它撇开了事物的个性，它所把握的是事物的共性.比如古代人认为，“两足直立”是人的一种特性，对这种特性的认识已经是一种抽象，因为它所反映的不是这一个人或那一个人的个性，而是作为所有人的一种共性.但是，“两足直立”对于人来说，毕竟是一种表面的特征.所以，“两足直立”作为一种抽象，可以说是一种典型的表征性抽象.表征性抽象同生动直观又是有联系的.因为表征性抽象所反映的是事物的表面特征；所以，一般来说，表征性抽象总是直接来自一种可观察的现象，是同经验事实比较接近的一种抽象.
2.原理性抽象
所谓原理性抽象，是在表征性抽象基础上形成的一种深层抽象，它所把握的是事物的因果性和规律性的联系.这种抽象的成果就是定律、原理.比如，杠杆原理、落体定律、牛顿的运动定律和万有引力定律，光的反射和折射定律、化学元素周期律、生物体遗传因子的分离定律、能量的转化和守恒定律、爱因斯坦的相对性运动原理等，都属于这种原理性抽象.
原理性抽象不同于表征性抽象，它所抽取的不是事物的外露的表面特征，而是事物内在的规律性联系，如“静止”“运动”“直线”“等距”等可以说是表征性抽象，它们表征着物体的一种状态，而“每个物体继续保持其静止或沿一直线作等速运动的状态，除非有力加于其上迫使它改变这种状态”就可以说是一种原理性抽象，它抽取的是物体运动的一种规律性.正因为原理性抽象抽取的不是外露的表面特征，所以它同表征性抽象相比，更远离了经验事实，但又是更深刻的认识，它认识到自然界的内部秘密.在科学发展的常规时期，原理性抽象的实现是以已有的理论作为指导；而在科学发展的革命时期，反常的原理性抽象的实现必须突破已有理论的框架范围.
3.低层抽象和高层抽象
来自然界的事物及其规律是多层次的系统，与此相应，科学抽象也是一个多层次的系统.根据抽象的层次，可以分为低层抽象和高层抽象.相对于解释性的理论原理来说，描述性的经验定律可以说是低层抽象，而解释性的理论原理就可以说是高层抽象.
把科学抽象区分为低层抽象和高层抽象，是相对而言的.理论抽象本身也是多层次的.比如，牛顿的运动定律和万有引力定律相对于开普勒的行星运动三大定律来说是高层抽象，因为我们通过牛顿三大运动定律和万有引力定律的结合，就能从理论上推导出开普勒由观测总结得到的行星运动三大定律.一切普遍性较高的定律和原理，都能演绎出普遍性较低的定律和原理.一切低层的定律和原理都是高层的定律和原理的特例.如果一个研究者从事更高层的抽象，其结果无法演绎出低层抽象，那就意味着他所做的高层抽象是无效的，不合理的，应予纠正.
皮亚杰及其同事用“反省抽象”来描述数学抽象的心理过程，认为逻辑数学结构既不是发现，又不是发明，而是凭借反省抽象进行的，是完全意义上的建构.反省抽象指的是将个体动作中的协调抽取出来，并在更高的层面上对这种协调进行重组的过程.
根据皮亚杰的反省抽象理论，数学抽象是从知觉运动经验到数学逻辑结构发展的逐级抽象过程，每级抽象中都是采用“投影—反射”机制进行的，其投射过程是从知觉运动经验或已有的数学模型中分离出基本要素，把若干个不同的典型模型中的要素进行新的数学表征；反射过程则是比较若干模型的要素属性的相似性，从中得到共同属性，并把模型推广到一般，得到一般化的结论，并通过逻辑和运算对得到的结果进行逻辑确定.在反省抽象的投影与反射活动中，最核心的认知操作是分离出下一层次抽象结果的要素，放在工作记忆平台上用新的视角关注属性之间的相似性和共同点，从更高层次上发现其共同属性，并用适当的数学方法进行一致表征，实现信息的协调.从抽象素养的认知机制来看，它与数学学科结合的特征有如下特点.
数学知识是数学抽象的产物，在一定程度上而言，数学抽象体现了数学（及其数学研究方法）的本质特征.因此，相对于数学知识的价值而言，数学抽象具有的价值（这里既指其学科价值，也指其教育价值）更为重要.通过数学抽象这一构造活动，不仅可以让学生经历数学知识产生的过程，还有助于学生体会数学知识本身的量化、形式化、模式化和理想化的特点，逐步形成“数学是关于模式的科学”的数学观和初步的“模型思想”.
数学抽象的价值性主要体现在以下两方面.
（1）数学抽象具有重要的学科价值.在一定程度上而言，数学学科主要是借助数学抽象建立起来并不断发展的.数学抽象“使数学成为高度严谨、高度精确、应用广泛、结构性强的学科”.数学抽象的不断发展，也使数学学科与其他学科紧密地联系在一起.
（2）数学抽象具有重要的教育价值.学生学习数学抽象不仅能培养其数学抽象的能力，而且有助于改善其思维方式，提高其思维效率，同时，数学抽象可以帮助其更好地体会数学的本质等.因此，《普通高中数学课程标准（2017年版）》将数学抽象作为数学“学科核心素养”之一.“对教师而言，引导并训练学生逐步从初级的经验水平转向高级的科学水平的抽象，提高他们的思维水平，促进他们的智慧发展，是数学教育的重要任务.”
对于初次学习平方差公式 a 2 - b 2 =（ a + b ）（ a - b ），初中生的抽象思维水平尚未达到完全符号化的程度，因而，直接采取传统的做法，即由（ a + b ）（ m + n ）= am + an + bm + bn ，直接导出 a 2 - b 2 =（ a - b ）（ a + b ）.这种做法的确节省时间，但是，对多数学生来说并没有真正理解平方差公式的内在含义，或者说，学生并不真正认同这个公式；不仅如此，这种学习也使学生丧失了一次思维训练的良机.如果将其改为如下的形式，其效果可能会有质的差异.
教师一上课就出示问题：能否将代数式 a 2 - b 2 分解为两个代数式的乘积的形式呢？我们该如何思考这个问题呢？
我们不妨从最简单的情况入手.
令 b =1，先讨论 a 2 -1的情形. a 2 -1能否分解为两个代数式乘积的形式呢？我们尝试着借助自然数的分解思想来思考：假设 a =1，那么 a 2 -1=1=0，0=0×0，结果很不明朗；假设 a =2，结果仍不明朗.继续试验，假设 a =3，那么 a 2 -1=9-1=8，而8除1和自身外，有两个因子2、4，而8的确可以拆成2×4，而2=3-1，4=3+1，至此结论开始明朗起来……继续试验，假设 a =6，那么 a 2 -1=36-1=35，而35的确可以拆成5×7，而且是唯一的，同时，5=6-1，7=6+1.故我们可以做出猜测， a 2 -1=（ a -1）（ a +1），并进一步猜测 a 2 - b 2 =（ a + b ）（ a - b ）.但是，当 b =2，3，4，5，6时， a 2 - b 2 =（ a + b ）（ a - b ）是否成立呢？
学生可以分组研究 b =2， b =3， b =4， b =5， b =6的情况，而后进行全班汇报.最终，综合各种情况，得出 a 2 - b 2 =（ a + b ）（ a - b ）的结论.于是我们便发现了一个新的公式，这个公式恰恰是（ a + b ）（ a - b ）= a 2 - b 2 的逆用.
让学生经历这样的过程，并非多余，而是借助自然数的因数分解实现多项式的因式分解，让学生获得归纳的经验，在直观的基础上进行逐步抽象，进而实现理解性掌握，在获得新知的同时，经历一次思维的训练，实现思维层面的提升.
数学是以抽象的方式与形式来反映客观世界的数量关系与空间形式的一门科学，具有一定的客观性.数学抽象的客观性常常表现为许多抽象的数学理论具有一定的客观现实背景，或者数学抽象的产物（即数学理论）在社会生活、科学研究中具有广泛的用途.《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》指出：“数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程.”从本源上来说，很多数学概念或数学理论是从现实世界客观存在的事物中，经过抽象，概括出客观事物之间的数量和数量关系、图形与图形关系，其数学抽象的过程并不是由人们凭空捏造、任意想象的，并不会因为某一个（类）人的某种观念的变化而发生改变.数学抽象的客观性表现在数学抽象的对象与结果是客观的，数学对象并不是没有内容的，也不是与现实世界毫无关系的.从本源上来说，许多数学对象来自于现实世界，在某一数学对象及其理论被数学家创造出来之后，就像现实世界客观存在的事物一样具有一定的客观属性.数学抽象的客观性还表现为数学概念，数学理论等数学抽象的产物，其所蕴含的数学内容是有其数学基础与逻辑保障的，并不断受到数学共同体的检验.
数学抽象是用数学语言概括地或近似地描述现实世界的事物之间的数量关系与空间形式.数学抽象离不开模型化，模型化的最终结果是构建数学模型.数学模型是“沟通数学与现实世界的桥梁”，为了构建适宜的数学模型解决某一现实问题，需要对现实问题进行一定简化，忽略其次要因素，或与解决目标无关的因素，并在此基础上运用一定的数学方法，使之转化成一个数学问题，即从数学的角度，运用数学的手段，不断使一个现实问题理想化与形式化.运用一定的数学方法解决相应的数学问题后，要把所得到的问题的解“回代”到现实问题中进行“检验”，以分析其是否达到预设的解决目的.并且很多时候，模型化的数学抽象过程并不是一次性完成的，而是有一个逐步完善、不断精确的过程.如果在构建某一数学模型的过程中，简化（忽略）的因素太多，从而在一定程度上改变了原来现实问题的本质特征与本质结构，那么所得的数学模型对原来现实问题的解答只能是初步的，近似的，可能远远不能满足其预设的目标，这时就需要把此前简化（忽略）的某些因素重新纳入，继续构建新的数学模型，寻找新的解决问题的数学方法.理想的数学模型要求与所需要解决的现实问题完全吻合，可以100%解决其现实问题，但由于现实问题的异常复杂性，针对某一现实问题构建其理想的数学模型往往是困难的，有些甚至是不可能的.因此，在构建数学模型的过程中，往往要进行“折中”，只要能够达到预设的解决问题的目标要求，就可以认为相应的数学模型是合理的，有效的.
问题：
（l）已知函数
，则
______________；
（2）已知函数
，则
______________；
（3）已知函数
，则
______________；
可将上述问题转化为同一数学模型，即首尾项进行合并，然后类似进行对称配对可以解决这类问题.
数学抽象的发展性，一方面表现为数学抽象是具有层次性的，即对数学对象的抽象是逐级抽象，逐步完善，不断发展的.无论是在数学学习过程中，还是在数学发展过程中，数学抽象一直在不断地深入与丰富，具体表现为数学学习与研究过程都是从基础到复杂，从具体的事物到抽象的事物，再从初步抽象的数学结果抽象出更为抽象的数学结果.随着抽象层次的不断提高，数学不断地向更高（高维的、多变量的）的抽象层次发展，使它“包含的内容更深刻、更远离具体现实世界，从而应用与适用的范围也越来越广”.数学抽象的发展性另一方面表现为学生对数学抽象的认识与理解是逐步深入的，其数学抽象能力是逐步提高与发展的.随着学生对数学抽象对象、数学抽象过程以及由此而产生的数学抽象结果的深入理解，其对数学抽象的认识不再固执于它的某一方面，而是综合考虑数学抽象各方面的本质特征，以及它们之间的内在联系和相互作用等.