第二节
数学运算核心素养的育人价值

高中数学课程的基本理念内容之一是“以学生发展为本，立德树人，提升素养”.数学教育立德树人的核心则是适应数学教育内涵发展的要求，挖掘学科深层意义，提高整体育人水平.要实现这一目标的基础便是寻找实现这一任务的有效途径.数学运算既是构成数学抽象结构的基本要素，同时也在不断扩展，随着时代的发展和科学的进步，运算对象在不断扩展，运算的作用日趋强大，运算可以产生新的数学对象，运算可以进行推理证明.所以揭示运算主线的内涵，展现其在本学科的育人价值就显得非常值得研究.

一、数学运算素养的数学学科价值

数学是人类文化的重要组成部分，数学课程反映数学的历史、应用和发展趋势及数学学科的思想体系、创新精神和在人类文明发展中的作用.数学运算是数学学科独有的能力，是解决数学问题的基本手段.除了数学问题本身之外，生产生活的各个领域都需要数学运算来解决问题，诸如经济学、航空航天、材料设备、人工智能、互联网大数据等，都离不开数学运算.在理论研究中，数学运算也发挥着独特的作用，例如，利用数学运算的原理分析解决物理量的运算；还有，我国著名数学家吴文俊先生所建立的机器证明理论，就是通过运算来证明几何问题.因此，数学运算也蕴含着重要的数学思想：演绎推理，构造性证明，等等.数学运算作为数学最主要内容之一，沟通了整个数学，在学生发展数学核心素养方面具有独特的、不可替代的育人价值.

【案例2-4】数学运算在物理中的简单运用

问题： 水平桌面上有两个玩具车 A 和 B ，两者用一轻质细橡皮筋相连，在橡皮筋上有一红色标记 R .在初始时橡皮筋处于拉直状态， A 、 B 和 R 分别位于直角坐标系中的 、 和（0，0）点.已知 A 从静止开始沿 y 轴正向做加速度大小为 a 的匀加速运动， B 平行于 x 轴朝 x 轴正方向匀速运动.在两车此后运动的过程中，标记 R 在某时刻通过点 .假定橡皮筋的伸长是均匀的，求 B 运动速度的大小.

分析1 本题属于均加速直线运动，解题的关键是橡皮筋的伸长是均匀的，轨迹是直线，这样一来，就可以利用数学中三角形的相似对应边成比例，分别解出 A 、 B 的位置，再由 A 、 B 各自的运动方程求解.

解1 如图2-1建系，设 B 的速度为 v ，经过 t 0 时间后，标记 R 通过点 ，则此过程中 A 、 B 的位移分别为 ，由相似关系可知 ，解得 .

分析2 物理中速度是矢量，在数学中叫做向量，具有大小和方向两个特征，可以用坐标来表示，因此也可以尝试利用向量运算来解决这个物理问题.

解2 如图2-2建系，用 A 、 B 和 R 表示量玩具车和标记的动点位置，设 B 的速度为 v ， R 在 t 时刻位于点 ，依题意，此时 A ， ，可知 ，

设 λ 为常量，由于 A 、 B 和 R 始终位于同一条直线上，必有 = ，由题意知在开始运动时 λ =2，又因为橡皮筋的伸长是均匀的， λ 保持不变，所以 ，即 ，解得 .

二、数学运算素养在培养人的思维方面的价值

思维是指理性认识的过程，是人脑对客观事物间接的和概括的反映，属于人脑的基本活动形式.数学思维则是指用数学思考问题和解决问题的思维活动形式.数学思维既能动地反映客观世界，又能动地反作用于客观世界.

数学运算中强调探究运算思路，通过探究可以激发思维的灵活性、广阔性，锻炼思维的敏捷性和深刻性，形成思维的独创性、批判性和灵活性.

【案例2-5】

问题： 书架上有5本书，现在再插入3本不同的书，有多少种不同的方案？

易错分析 不认真审清题意，简单地认为是不相邻问题，套用插空法，得 另外，将原有的5本书参与排列也是比较多见的错误.

解题分析 引导学生对事件再分析，首先紧扣事件的要素——完成任务的标志是3本书插进原来5本书的序列中，再分析归纳要注意的有以下几个关键点：①原来的5本书相对位置是不变的；②3本书互不相同，即意味着有顺序；③3本书可以相邻，也可以不相邻.

解法1 按照先分类再分布的核心思想，考虑有3类插入的情况：①3本相邻；②2本相邻，1本分开；③3本都不相邻.故可采用捆绑法和插空法综合解题，有 .

解法2 全排列后除以原有5本书的全排列，即 .

解法3 第一本书插入时有6个空档，第二本书插入时有7个空档，第三本书插入时有8个空档，故 N =6×7×8=336.

问题探究 解法3非常好，抓住了事件的核心.类似的问题还有很多，比如：在图2-3图形中共有多少个矩形？

如果按矩形的构成分情况数，情况太多，非常困难，而如果能抓住完成事件的核心，即构成矩形的要素是两横两纵4条线，则很容易得到共有 个矩形（ 表示在7条纵线中选2条， 表示在4条纵线中选2条）.

从上述案例中可以看出探究运算思路、探究问题的核心本质，激发思维的灵活性和深刻性，在问题的解决中往往会收到意想不到的效果.

数学运算在明晰运算对像的基础上，依据运算法则解决数学问题.在选择合理有效的运算方法求解问题时，从原有的认知结构出发，通过观察、类比、联想、实验、猜想等一系列数学思维活动，展示问题解决的各个环节.因此，数学运算素养也是数学思维培养的途径之一.

三、数学运算素养在认知事物之间关联方面的价值

发展数学素养是时代的需要，聚焦数学核心素养是数学课程改革的趋势.我们所处的是一个大数据时代，数字化程度高，信息交流广泛，而数学正直接或间接地渗透到社会生活的各个领域，广泛地影响着人们的生活.

数学运算是用数学的方法分析事物之间的关系，用符号、字母表示事物的形态，用数据、图标、关系式表示事物之间的联系，通过事物之间的联系探寻解决问题的运算思路，制定运算法则准确计算所产生的结果，这都体现着数学运算对认知事物方面起到的作用.

数学运算在其他学科中也发挥着重要的作用.如牛顿的力学巨著《自然哲学的数学原理》运用微积分工具，严格推导证明了开普勒行星运动三大定律、万有引力定律等一些结论.再如目前国际通用的地震震级标准——里氏震级，它是根据离震中一定距离观测到的地震波幅度和周期，并且考虑从震源到观测点的地震波衰减，经过一定公式计算出来的震源处地震的大小.还有，其他学科如生物学中运用微分方程、线性代数、概率论、数理统计、抽象代数等，都是在利用数学知识形成运算思路，提供运算方法.

【案例2-6】缉私问题

问题： 某海警基地码头 O 的正西方向30海里处有海礁界碑 A ，过点 A 且与 AO 成60°角（即北偏东30°）的直线 为此处的一段领海与公海的分界线（如图2-4所示）.在码头 O 的正西方向且距离 O 点12海里的领海海面 P 处有一艘可疑船停留，基地指挥部决定在测定可疑船的行驶方向后，海警巡逻艇从 O 处即刻出发.若巡逻艇以可疑船的航速的 λ 倍（ λ ＞1）前去拦截，假定巡逻艇和可疑船在拦截过程中均未改变航向航速，将在点 Q 处截获可疑船.

（1）若可疑船的航速为10海里/小时， λ =2，且可疑船沿北偏西30°的方向朝公海逃跑，求巡逻艇成功拦截可疑船所用的时间.

（2）若要确保在领海内（包括分界线）成功拦截可疑船，求 λ 的最小值.

分析 上教版高二数学教材里有一探究与实践课题：追捕走私船.探究的内容是在某海域中缉私船追击走私船的线路、轨迹等问题，本题就是基于该探究实践活动的改变问题.需要学生在理解题意的基础上，选择合理的算法，按要求展开计算，从而得到正确的判断.

解 （1）因为巡逻艇的航速是可疑船的航速的2倍，可疑船的航速为10海里/小时，所以巡逻艇的航速为20海里/小时.由图2-4可知， OQ =2 PQ ，设 PQ = a ，则 OQ =2 a ，又可疑船沿北偏西30°的方向朝公海逃跑，所以∠ QPO =120°.

在△ OPQ 中，有 OQ 2 = OP 2 + PQ 2 -2 OP · PQ cos∠ OPQ ，即4 a 2 = a 2 +144-2×12 a cos120°，得 a 2 -4 a -48=0，解得 （负值舍去）.所以 小时.

（2）以 O 为坐标原点， AO 的方向为 x 轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，如图2-5所示则 P （-12，0）、 A （-30，0）.设 Q （ x ， y ），因为巡逻艇的航速是可疑船的航速的 λ 倍，所以， OQ = λPQ ，故 x 2 + y 2 = λ 2 [（ x +12） 2 + y 2 ]即 .

故可疑船被截获的轨迹是以 为圆心，以 为半径的圆.又直线 的方程为 y = ，即 .

要确保在领海内（包括分界线）成功拦截可疑船，则圆心 应在直线 下方，且 Q 的轨迹与直线 至多只有一个公共点，所以 且 .

即 ，解得 .

故要确保在领海内（包括分界线）成功拦截可疑船，则 .

案例2-6所示即为利用求动点的运行轨迹，结合直线与圆的位置关系，解决实际问题.选择直线与圆锥曲线运算的通法，通过数学运算判断缉私过程中的可能会遇到的问题，并解决问题.可见解决该题除了需要数学运算素养外，还需要数学抽象、数学建模、逻辑推理等多素养的综合运用.

四、数学运算素养在形成理性精神方面的价值

数学的理性精神是指用人们通过数学思维审慎思考，以推理方式推导出结论，不被个人情绪和偏见所左右.数学问题的每个条件、每个解题步骤都是理性的.依据运算法则，选择运算思路，求得运算结果的过程必须是行之有效的，数学运算中的每一个步骤都是理性思考和选择的结果，否则难以保障结果的唯一性.很多情况下，数学运算是在一定情境中进行的，结合具体情境抽象出运算对象，这不是凭感觉随意决定的，它需要对问题的理性分析，选择正确的运算方法，设计运算程序，得到运算结果.

数学运算有一个特点，就是它不仅在解决问题，而且也在解决问题的同时优化自己.在发挥运算求解作用的同时又在研究自己的局限性，从不担心否定自己，而是不断反思、批判自己，并且不断化繁为简，优化自己前进的道路.所以说，从客观地确定运算对象，根据运算法则解决数学问题，到数学运算中的自优化过程，处处充满着理性的探索精神，这是指导我们解决问题的有效的智慧.

通过高中数学课程的学习，进一步发展数学运算能力，通过运算形成规范思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神.

【案例2-7】赌博中的概率问题

背景： 文艺复兴时期意大利数学家卡当曾热衷于赌博，试图研究赌博不输的方法.据说，卡当曾参加过这样的赌法：把两颗骰子掷出去，以每个骰子的点数之和作为赌博的内容.已知骰子的6个面上分别为1~6点，那么，赌注下在多少点，最有可能赢呢？

课堂实录

生：只需要依次计算两颗骰子点数之和，找出出现最多次数的点数即可，所以我选择用枚举的方法进行计算，结果见表2-2.

容易发现：掷两颗骰子共有6×6=36中可能，7出现的次数最高共6次，所以它的概率是 ，所以赌注下7赢的机会最大.

师：确实，当年卡当也曾预言说押7最好.那么是不是意味着可以用数学的方法计算出赌博获胜的概率，从而“发家致富”呢？

（大家哄堂，开着玩笑说“可以尝试一下”）

师：我们需要理性对待，大家试试用数学的方法解释.

问题： 假设赌徒的赌本是 a 元（ a ≥1），每赌一局，押注1元，赌徒赢钱的概率是 ，这是一场公平的赌博，一直玩下去，那么这位赌徒会输光吗？

分析 设该赌徒的赌本为 n 元并且一直赌下去会输光概率为 P （ n ），则 P （0）=1.

若输一次赌本变为 n -1，赢一次赌本变为 n +1，那么

，可得2 P （ n ）= P （ n +1）+ P （ n -1），（ n ≥1）

所以{ P （ n ）}是等差数列，且通项公式为 P （ n ）=1+ nd ，其中 d 是公差.

假设陪你赌博的庄家有 a + x （ x ＞0）元的资本，显然庄家破产的概率几乎是0，因此 P （ a + x ）=0，代入通项公式0=1+（ a + x ） d ，解得 .

所以当该赌徒带着赌本 a 元进场一直玩下去输光的概率是 .

由于庄家的钱远比赌徒多，所当 时， ，也就是说，如果赌徒一直玩下去，那么输光的概率是1，即久赌必输.

很明显的，用数据说话可以保持理性.案例2-7即是用数学运算证明了一个道理：如果沉迷于赌博，那么总有一天会输光所有赌资，变得倾家荡产，赌博是个无底洞，珍爱生活，远离赌博.

五、数学运算素养在培养学生创造能力方面的价值

数学教育承载着落实立德树人的根本任务，培育科学精神和创新意识.作为数学核心素养之一的数学运算同样担负着这一使命.

数学作为文化的一部分，其最根本的特征是它表达了一种探索精神.理性，体现在数学追求一种完全确定、完全可靠的知识.理性，还体现在数学对解放人类起到了极大的作用上，数学在理性地研究宇宙本性，同时使人类的思维逐渐脱离宗教的束缚，带领人类走向理性的时代.当理性时代来临了，数学为人类的精神层面带来的影响更加明显了.这时的社会学家、哲学家开始用公理化的思维和演绎推理的方法去探寻解决社会矛盾的方法和设计新的社会制度. zdpE5yXr0IGNBcr1NF1qv7EPj3ggme9uVItaz5EzttGAxCIGXQDbwOwEOGIJeqCh