数学通常被人们，尤其被数学家，认为是一切科学之皇后，而贵为皇后，它自然不能屈尊于其他的知识分支。因此，在一次“纯粹数学和应用数学联合会议”上，大卫·希尔伯特被要求发表一次公开演讲，来缓和两组数学家之间的敌对情绪，他这样开场：

“我们经常听到有人说，纯粹数学和应用数学是相互对立的。这是不对的。这两者过去不曾对立，将来也不会对立。纯粹数学和应用数学不应对立，因为，事实上，两者没有任何相通之处。”

但尽管数学热衷于保持纯粹性，远离其他的科学，其他的科学却喜欢数学，尤其是物理，一直在尝试尽可能地“亲善”数学。事实上，几乎纯粹数学的每一个分支现在都能够被用来帮助解释物理宇宙里的这个或那个现象。其中包括诸如抽象群、不可逆代数、非欧几何这样的总是被认为是最纯粹的、最不适宜拿到应用层面的准则。

但是，当今数学还有一个大的系统尚未被发现有任何实际的用途，除了用来模拟一场智力体操，它真的可以荣膺“纯粹之皇冠”，这就是所谓的“数论”（这里是指整数）。它是纯粹数学里最古老的也是最错综复杂的思想产物。

奇怪的是，数论作为数学领域中最纯粹的分支，从某方面来说却是一门经验科学，甚至可以说是实验科学。事实上它的大部分定理都是依靠“用数字去做些什么”来建立的，正如很多物理学定律是依靠“物体去做些什么”而得到的一样。并且同物理学的一些定律一样，数论中的某些命题已经“通过数学方法”证明，而其他的一些仍是纯粹来源于经验，至今仍让最杰出的数学家头疼。

举个有关质数的问题的例子。

质数是不能被除了1和它本身之外的任何数除尽的数，1、2、3、5、7、11、13、17…，都是质数 ，而例如12就不是，因为它可以被拆分成2×2×3。

质数的数量是无限的，还是存在一个最大的质数，在它以上的任何数都可以表示成质数的乘积呢？欧几里得（Euclid）最先考虑了这个问题，他给出了一个非常简单而优美的证据，证明质数的数目是无穷无尽的，没有所谓的“最大的质数”。

为研究这个问题，我们不妨假设质数是有限多的，并用N表示最大的质数。现在我们将所有质数相乘，然后加上1。我们可以这么写：

（1×2×3×5×7×11×13×…×N）+1

显然这个数比“最大的质数”N要大多了。但显而易见的是，这个数不能被除了1以外的任何一个质数（直到N）除尽，因为根据创造这个数的方式可以发现，用任何一个质数去除它都会剩下1。

因此 这个数要么也是个质数，要么能整除它的质数就比N还要大，这两种情况都与“N是最大的质数”这一假设相违背。

这种证法叫作反证法（reductio ad absurdum），是数学家最爱用的工具之一。

我们一旦知道了质数的数目是无限大的，就会很容易问出口：有没有一种简便的方法能让我们一个不漏地列出所有的质数？

最早由古希腊哲学家、数学家埃拉托斯特尼（Eratosthenes）提出的一种实现这个问题的方法，名为“过筛”。在这个方法中，你需要做的是写下完整的整数列表，1，2，3，4，…，然后筛掉所有2的倍数，3的倍数，5的倍数，…。前100个整数经过埃拉托斯特尼的筛之后，情况如图9所示。

这里总共包含26个质数。使用上述的简单的过筛方法，我们已经建立了10亿以内的质数表。

但如果有更简单的方法，只要一个公式，就能迅速而自动地找到所有的质数，而且只有质数就好了。但数个世纪以来，关于这个公式的努力均宣告失败。

1640年，法国著名数学家费马（Fermat）认为他发明出了这样一个能只算出质数的公式。

在他的公式 +1里，n取自然数，1，2，3，4，…。

通过这个公式我们发现：

2 ² +1=5

每个算式的结果事实上都是质数。 但在费马公布公式约一个世纪之后，德国数学家欧拉（Euler）指出， 费马的第5个式子 +1得到的结果4 294 967 297不是质数，它是6 700 417和641的乘积。 费马的计算质数的经验公式是错的。

另一个值得一提的计算质数的公式是：

n ² -n+41

n取1，2，3，等。当n取1~40时，代入得到的结果都是质数，但很不幸，当n取41时就错得离谱了。

(41) ² -41+41=41 ² =41×41

得到的是一个平方数，而不是质数。

另一个尝试产生质数的公式：

n ² -79n+1601

直到n取79时得到的都是质数，但在n取80时就不行了。

因此， 寻找只给出质数的普遍公式的问题至今仍未解决。

另一个既未得到证明，也未得到证伪的数论定理的有趣例子，是1742年被提出的哥德巴赫（Goldbach）猜想，即任何偶数都可以表示为两个质数之和 。

从一些简单的例子来看，这是显而易见的，比如：12=7+5，24=17+7，32=29+3。但在做了大量的有关这个猜想的工作之后，数学家依旧不能得到确定的证明，同时也无法给出任意一个反例。

在1931年，苏联数学家施尼勒尔曼（Schnrrelman）朝向最终的证明成功迈出了建设性的第一步——他证明了每个偶数都可以表示为不超过300 000个质数的和。而施尼勒尔曼的“三十万个质数的和”和翘首以盼的“两个质数的和”之间的鸿沟，在不久之后被另一位苏联数学家维诺格拉多夫（Vinogradoff）大大缩短了，他将其缩减到“四个质数的和”。但从维诺格拉多夫的“四”到哥德巴赫的“二”的最后两步似乎是最艰难的，没人知道跨出这两步需要再花几年还是几个世纪的时间。

好吧，我们与一个能自动给出任意大小的质数的公式似乎还遥不可及，甚至我们都没法保证能否推导出这样一个公式。

我们来讨论一个更小一点的问题——在给定范围内的质数的比例有多大？当数字范围越来越大的时候，这个百分比会不会更趋近于一个常数？如果不是，它会增加还是减少？我们可以用经验方法来回答这个问题：直接数数表里的质数。

通过计数我们发现，100以内有26个质数，1000以内有168个，1 000 000以内有78 498个，1 000 000 000以内有50 847 478个。将质数数目除以整数数目，我们得到下表：

这张表首先显示了，当整数范围增大时，质数的相对数量逐渐减少，但没有减少到没有质数的情况。

有没有一种简单的方法可以用数学形式表达这种整数范围增大时质数的比例减少的情况呢？当然有，并且这个有关质数平均分布的规律已经成为整个数学学科领域最引人注目的发现之一。这条规律可以简单表示为： 在1到N的范围中，质数所占的比例约等于N的自然对数的倒数 。N越大，比例越接近。

上表的第四列是N的自然对数的倒数。如果你将其和前一列的数值做对比的话，你会发现两者之间的差距很小，而且N越大差距越小。

与数论中的其他很多定理一样，上述的质数理论最先是通过经验发现的，在很长一段时间内都没有得到严格的数学证明。直到19世纪末，法国数学家阿达马（Hadamard）和比利时数学家德拉瓦莱普森（de la Vallee Poussin）才终于证明了它，因为证明方法过于复杂，在这里就不赘述了。

提到整数就不得不提到费马大定理，尽管它和质数没有什么必然的联系。这个问题可以追溯到古埃及，那里的每一个好木匠都知道 边长之比为3:4:5的三角形必然包含一个直角。 事实上古埃及人就将这种三角形——现称埃及三角形——作为木匠的三角尺。 ^[1]

3世纪时，亚历山大里亚城 的丢番图（Diophantes） 开始思考是不是只有3和4这两个整数的平方和等于另一个整数的平方。他证明了有其他的整数符合这样的性质（实际上有无穷多个），并给出了找到它们的一般规律。这种三边长都是整数的直角三角形现在被称为毕达哥拉斯 三角形（pythagorean triangles），埃及三角形是其中的第一个。建立毕达哥拉斯三角形的问题可以简单表示为如下代数等式，其中x，y和z都必须是整数 ^[2] ：x ² +y ² =z ²

1621年皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）在巴黎购买了丢番图所著的《算数》（Arithmetica）的法文译本，其中就探讨了毕达哥拉斯三角形。他在阅读时，在空白处批注了x ² +y ² =z ² 有无限多的整数解，而形如x ⁿ +y ⁿ =z ⁿ 的等式，当n大于2时，则不再有整数解。

“我想到了证明这一点的绝妙方法，”费马补充道，“但书页的空白处写不下了。”

费马去世后，这本丢番图的书在他的图书馆被发现，空白处的批注随之举世而闻。

这已经是3个世纪之前 的事了，自此之后，各国顶级的数学家都在设法重建费马在空白处写下批注时想到的证明，但直到现在也尚未发现有成功者。

可以肯定的是，数学家在追寻终极目标的过程中已经有了相当大的进展，数论中的全新概念——“理想理论” ，也在证明费马理论的尝试中诞生了。欧拉证明了x ³ +y ³ =z ³ 和x ⁴ +y ⁴ =z ⁴ 这两个方程不存在整数解，狄利克雷（Dirichlet） 证明了x5+y5=z5也是如此，经过众多数学家的联合努力，我们现在已经得到 n小于269时费马的方程没有整数解的结论。 但对任意的n均成立的一般证明尚未得出 ，而越来越多的人开始怀疑，费马其实并没能做出证明，或者是在他的证明中什么地方出错了。

为获得解法，曾有人悬赏10万德国马克，这使得费马大定理轰动一时——尽管那些冲着金钱而来的业余爱好者并没有获得过什么进展。

费马大定理的确有可能是错误的，只要能找到某两个整数的某一次幂等于第三个整数的相同次幂的反例即可。但考虑到这样的例子要在幂次大于269的情况下找，难度可是不容小觑啊。 IeB7KR2PrmS5xQMH1qEAapVlKarYoJZc1dezTmV1W39ApVMBwx1dNItlRDr7TMH8