在前一节里我们讨论了数字，其中的许多都是相当大的数。但即使是这些数字巨大，例如西萨·班·达伊尔要求获得的麦粒数是令人难以置信的大，它们也是有限的，在时间足够长的情况下总能写到它的最后一位。

也有些数字真的是无限的，比我们能写出的任何数都要大。因此 “所有数字的数目”显然是无穷大的，“一条线段上的所有几何点的数目”也一样。 那么，有没有什么办法可以描述它们而不只是说它们是无穷大的，或者说，有没有可能举个例子，比一比两个不同的无穷大，看哪一个“更大”？

“所有数字的数目相比一条线上所有点的数目是大还是小？”这样的问题有意义吗？这个乍看有些荒诞的问题，著名数学家乔治·康托尔（Georg Cantor）最先思考过，他确实可以被称为“无穷大数算数”的奠基人。

当我们想要讨论无穷大数是更大还是更小时，我们面临的问题是，需要比较我们既不能命名又不能写下的数字，这时我们就像一位正在查看自己的宝箱中是玻璃珠多还是铜币多的霍屯督人，但是你应该还记得，霍屯督人数不了比3大的数。那他会因为数不了大于3的数而放弃比较玻璃珠和铜币的数目吗？显然不可能。如果他足够聪明，他会通过一个一个比较玻璃珠和铜币来得到答案。

他会把一粒玻璃珠放在一块铜币旁边，另一粒玻璃珠放在另一块铜币旁边，然后继续下去……如果玻璃珠用完了而铜币还有，他便知道铜币更多，反之玻璃珠更多，如果都用完了就是一样多。

康托尔提出了完全一致的方法来比较两个无穷大的数： 假使我们能将两个无穷大里的成分一一配对的话，如果没有剩余成分，就说明两个无穷大是一样的。但如果这样的安排是无法进行的，其中一个无穷大中有成分剩余，我们就说这个无穷大比另一个更大，或者说更强。

这显然是最合理的，也是唯一可行的比较无穷大的数量的方法。但当我们准备实际套用它的时候我们会再大吃一惊。举个例子，奇数和偶数都是无穷多，你会自然而然地觉得这两个无穷大是一样大的，即奇数和偶数一样多，这和上述的法则也完全一致，因为一对一配对这些数字可以得到：

在这里每一个偶数都与一个奇数配对，反之亦然，因此偶数的无限多与奇数的无限多一样大。这是显而易见的！

下面哪个数目你认为更大：所有整数的数目，包括所有偶数和奇数，还是只有偶数的数目？你当然会说所有整数的数目更大，因为它既包含了偶数，还包含了奇数。但这只是你的印象，为了得到准确的答案你还是要套用上面比较两个无穷大的法则。

然而，如果你用了这个法则你就会惊诧地发现你的印象是错的。事实上，当一一配对所有整数和偶数时：

根据我们的比较无穷大的法则，我们必须承认， 偶数数目的无穷大和整数数目的无穷大是一样大的。 这听起来与常理相悖，因为偶数只是整数的一部分，但我们必须记住，当我们和无穷大数打交道的时候，我们必须准备好面对意想不到的性质。

实际上在无穷大的世界里， 部分可能和整体相等！ 这一点或许最适合用关于德国著名数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert）的一个故事来阐述。据说他在关于无穷大的课堂上将无穷大的这种似是而非的性质用下面的话表述出来：

我们来想象一家拥有有限多房间的宾馆，并假设所有房间都已经有人入住。一位新的房客到来，询问是否有空房。“很抱歉，”房东说，“房间已满。”现在我们再想象一家拥有无限多房间的宾馆，全部住满。同样有位新房客来询问房间。

“当然没问题！”房东说，他将原来住在N1房间的房客移到N2房间，N2房间的房客移到N3房间，N3移到N4，如此类推……最终新房客住进了N1房间，一切都好。

我们再来想象一家拥有无限多房间的宾馆，房间全部住满，然后来了无限多数量的新房客询问房间。

“当然，先生们，”房东说“稍等一下即好。”他将N1房间的房客移到N2，N2房间的移到N4，N3的移到N6，如此类推……

“这样一来所有奇数号的房间都空出来了，无限多数目的房客就可以入住了。”

当然，因为身处世界大战之中，即使是在华盛顿也很难想象希尔伯特所描述的情况，但这个例子举得恰到好处，它告诉我们无穷大数的性质与普通数字的算数法则大不相同。

根据康托尔的比较两个无穷大数的法则，我们还能证明所有的普通算数分数，如 或 的数目与所有的整数的数目相同。事实上我们可以使用下面的规则来排列分数：我们先写下分子和分母之和为2的分数，即 ；然后是和为3的分数： 和 ；然后是和为4的分数： ， ， ，如此往下。按照这样的方式操作我们就能得到一列包含所有能想到的分数的数列（图5）。现在在这个数列之上写下整数的数列，你会发现这两个数列是一一对应的。这说明分数和整数的数量是一样多的！

一名非洲土著和乔治·康托尔教授正在比较超过他们计数能力的数字。

“嗯，这很棒，”你会说，“但这不就表明 所有的无穷大数都相等 了吗？如此一来，这还有什么可比性吗？”

不，事情并不是这样的，人们很容易找出比所有整数或者分数的数目更大的无穷大数。

事实上，如果考虑一下本章前面提到的一条线段上的点的数目与所有整数的数目的比较，我们会发现这两个无穷大是不一样大的，一条线段上的点的数目要比整数或分数的数目多得多。为证明这一点，我们尝试建立一条1英寸长的线段上的所有点和整数数列的一一对应的关系。

这条线段上的每一点都可以描述成这一点到线段的末尾的距离，而这个距离可以写成无限小数的形式，如0.735 062 478 005 6…或0.382 503 756 32… 。因而我们需要比较所有整数的数目和这些所有可能的无限小数的数目。那么上面给出的无限小数和普通算数分数，例如 或 ，有什么区别呢？

在学过的算术课上你需要记得，一些分数都可以被转化为无限循环小数，比如， =0.66666…= ， =0.428571|428571|428571|4…= 。我们已经通过上文证明了所有普通算数分数的数目与所有整数的数目相同，所以所有无限循环小数的数目与所有整数的数目相同。但是线段上的点并不只是对应无限循环小数，在大部分情况下我们得到的无限小数里的数字没有任何规律可言。显然这轻易就证明了“一一对应的关系”是无法得到的。

假设有人声称建立了这样的对应关系，并且它长得像这样：

N

1 0.386 025 630 78…

2 0.573 507 620 50…

3 0.993 567 532 07…

4 0.257 632 004 56…

5 0.000 053 205 62…

6 0.990 356 385 67…

7 0.555 227 305 67…

8 0.052 773 656 42…

… ……

当然，既然不可能把无穷多的整数和无限位数的小数全部写出来，上述的声明意味着此人发现了某种普遍规律（就像我们用来排列普通分数的一样），根据这个规律他写出了上面这张表，而这个规律可以保证每个小数都迟早会出现在表上。

不过，我们不难证明这种声明是靠不住的，因为 我们总是能写出这张无限的表里不包含的无限小数。 如何做到呢？这很简单，只要写下第一位小数不同于表里N1的小数的第一位的，第二位小数不同于N2的第二位的，如此类推。最后你得到的数字会长这样：

这个数不在这张表里，无论你往下看多少项。其实如果表的作者告诉你，你写的这个小数在表里的第137号（N137，或其他任何一号），你可以立即反驳：“不，这两个小数不同，因为它们的第137位小数是不一样的。”

因此线段上的点和整数数目之间一对一的对应关系是不可能建立的，这就说明 线段上点的个数比所有整数或分数的数目更大，或者说更强。

我们之前讨论的是“1英寸长的”线段上的点，但根据我们的“无穷大算数”，显而易见，任何长度的线段都服从这一规律。事实上， 1英寸、1英尺、1英里长的线段上的点的数目都是一样多的。 为证明这点我们可以看一下图6，它比较了两条不同长度的线段AB、AC上的点的数目。

为建立两条线段上的两点之间的一一对应关系，我们可以画无数条BC的平行线，这些线各交AB和AC于一对点，比如D和D'，E和E'，F和F'，等等。这样一来，AB上的每个点就都对应有AC上的一个点，反之亦然。因此根据无穷大的规则，这两条线段上（即AB、AC）无穷多的点的数目是一样多的。

其实随着对无穷大的研究，一个更令人惊诧的结论可以表示为： 一块平面上的点的数目与一条线段上的点的数目是一样多的。 为证明这点，我们可以以一条长1英寸的线段AB与正方形CDEF为例（图7）。

假设线段上给定的某点，数值是0.751 203 86…，我们可以把这个数分成两个小数，选取其偶数位和奇数位的小数，然后分别拼在一起，我们可以得到：

0.710 8…

和

0.523 6…

在正方形里测量这两个数字分别对应的水平和垂直距离，然后把得到的点称为线段上的原始点的“对应点”。反之，如果我们在正方形里有一个点，位置可以表述为：

0.483 5…

和

0.990 7…

我们可以通过融合这两个数字，获知其在线段上的“对应点”是：

0.498 930 57…

显然这个过程建立了一一对应的关系。线段上的每一点都有它在正方形里的对应点，正方形里的每一点也有它在线段上的对应点，没有剩余的点。根据康托尔的准则，正方形里的点的个数的无穷大数与线段上的点的个数的无穷大数是相等的。

通过类似的方式我们也能轻易证明，表示一个立方体里的点的个数的无穷大数与表示正方形里的点的个数的无穷大数，或者表示线段上的点的个数的无穷大数是一样多的。为证明这点，我们只需要把原来的小数分成三个部分 ^[4] ，然后用这三个新的小数来描述正方体里的“对应点”的位置。

另外，和两条不同长度的线段上的点的数量相同的情况一样，不同尺寸的正方形和立方体里的点的数目也是一样的，无论它们有多大。

然而，所有几何点的数目，尽管它们比整数和分数的数目大，但并不是数学家已知的最大的无穷大数。事实上数学家发现， 所有曲线的样式的数量总和，包括那些最奇异的形状，是比几何点的总数更大的“社群”，因此它们必须要用第三级的无穷数列来表示。

乔治·康托尔——“无穷大算数”的创造者，将无穷大数用希伯来字母N [读作阿莱夫（Alef）]表示，在其右下角标注一个数字表示无穷大的等级。如此一来，数列（包括无穷大数）的表示形式便是这样的：

1，2，3，4，5，…，N1，N2，N3，…

我们说“一条线上有N1个点”，或者说“有N2种不同的曲线”，正像我们说“世界有7大洲”或“一盒扑克牌有52张” 一样。

在总结关于无穷大的讨论之时，我们需要指出只要几个等级就能涵盖我们能想到的一切无穷大的情况。我们知道N0表示所有整数和分数的数目，N ₁ 表示所有几何点的数目，N ₂ 表示所有曲线样式的数目，但迄今为止还没有人想到任何能用N ₃ 表示的确切的无穷大物体的集合（图8）。

已有的三个无穷大看似已经足以计数所有我们能想到的无限多的物体，并且我们发现，我们已经完全不像我们的老朋友霍屯督人那样了——他们甚至连第四个儿子都数不出来！

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[1] 用我们的计数法表示：
一千万 第二阶 第三阶 第四阶
10 000 000×100 000 000×100 000 000×100 000 000×
第五阶 第六阶 第七阶 第八阶
100 000 000×100 000 000×100 000 000×100 000 000
或简写为：10 ⁶³ （1后面63个0）。

[2] 聪明的宰相要求的麦粒的数目可以表示为如下的形式：1+2+2 ² +2 ³ +2 ⁴ +…+2 ⁶² +2 ⁶³ 。

[3] 如果我们只需要移动7片金片，最少需要：1+2 ¹ +2 ² +2 ³ +…，
或2 ⁷ -1=2×2×2×2×2×2×2-1=127次。
如果你迅速且没有失误地完成移动，需要大约1小时来完成这个任务。
当总共有64片时，移动全部所需的最少次数是：
2 ⁶⁴ -1=18 446 744 073 709 551 615
这和西萨·班·达伊尔要求的麦粒数量一样。

[4] 比如：
0.735 106 822 548 312…
我们分成
0.718 53…
0.302 41…
0.562 82… U4EQQjKkHtY4xiPa9uTno+Hhai22RzNJHmZ8mOqKKCAMQusj1zlEh9zprd0L1Rqv