我们都知道什么是空间，不过要是被问起空间的准确含义到底是什么，恐怕你就会尴尬了吧？

你也许会说，空间是笼罩于我们周围的，可以让我们前后、左右、上下运动的存在。三个互相垂直的独立方向的存在，代表着我们居住的物理空间的最基本的性质。我们的空间是三个方向的，或者说，是三维的。空间中的任何位置都可以用这三个方向确定。

如果我们拜访一座陌生的城市，询问酒店前台一家知名商行的办公室所在地，职员会说：“向南走五个街区，右转再走两个街区，上七楼。”给出的这三个数字通常被称为坐标，在这个例子里指代的是城市街区之间、楼层之间以及与位于原点的酒店大堂之间的关系。显然，从其他任何地点也能给出前往同一目标地的方位，只需用新的坐标正确表达新的原点与目标之间的关系即可，而新的坐标也可以用旧的来表达，只需知道新旧坐标之间的位置关系，经过简单的数学代换就能获得。这个过程叫作坐标变换。

值得提醒的是，并非三个坐标都要数字才能表示某一距离，事实上，有时候用角度坐标要方便得多。

例如，纽约的街巷和大道的地址就常用直角坐标来表示，而莫斯科的地址则最好转换成极坐标——这座老城是围绕着位于中心的克里姆林宫建设的，街道从中心堡垒开始径向发散，并有数条同心圆大道环绕着中心。所以，说某幢房子“位于克里姆林宫西北偏北方向二十个街区远”，这样的描述就很正常。

另一个关于直角坐标和极坐标的经典例子，就是美国海军部大楼和位于华盛顿特区的美国国防部五角大楼，相信参与过二战的人对它们应该都很熟悉。

图12给出了用三种坐标系统表示空间中的点的位置的例子，其中有的是用距离表示的，有的是用角度表示的。但无论我们选择哪种坐标，我们都需要三个数据，因为我们存在于三维空间。

以我们的三维空间概念，我们很难想象比三维更高的超空间的样子（尽管我们将在后文看到，这种空间是存在的），不过我们很容易想象比三维低的子空间的样子。一个平面、一个球面或者任何平面，都是一个二维子空间，因为平面上的点只需要用两个数字来描述。与之类似的，一条线（直的或者弯曲的）是一维子空间，线上的一点只需用一个数字就可以描述。我们还可以说一个点是零维子空间，因为一个点上不可能出现两个不同的位置。不过，谁还在乎点呢！

作为三维生命体，我们发现理解线和面的几何性质非常容易，因为我们能“从外面”观察它们，而对三维空间的类似性质的理解就困难得多，因为我们是它的一部分。这就解释了为什么你可以理解“曲”线和“曲”面，却很难接受“三维空间也能弯曲”这个说法了。

不过，在经过一点点实践之后，当你理解了“曲率”这个词的真正含义时，你就会发现“弯曲的三维空间”这个概念确实很简单，而且到下一章的末尾，你甚至能（我们希望！）对“弯曲的四维空间”——这个第一眼看上去很可怕的概念——侃侃而谈。

但在讨论那些之前，我们先来尝试一些有关三维空间、二维平面和一维曲线的事实的脑力体操吧。 MO8hLrAW+OpzmcHDjNm5nme8/fjUORcSKx579UMZNUPlEDKisnkteJ17c3QWebuj