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2.诡秘的

现在我们来接触一点更深入的算术。

二二得四, 三三得九, 四四十六, 五五二十五,因此,四的算术平方根是二, 九的算术平方根是三, 十六的是四, 二十五的是五。 [3]

但负数的算术平方根又会是什么呢?诸如 这样的表达形式有意义吗?

如果你尝试从理性的角度去考虑,一定会毫无疑问地得出结论:上述的表达形式毫无意义。引用12世纪数学家布哈斯克拉(Bhaskara)的话说: “正数和负数的平方都是正数。因此,正数的平方根有两个,一个是正数,一个是负数。负数没有平方根,没有负数是平方数。”

但数学家们是固执的,当一些没有意义的东西出现在他们的公式里时,他们会想尽一切办法赋予这些东西意义。显然负数的平方根总是会出现在各种情况中,无论是在困扰过去数学家的简单的算术问题中,还是在20世纪相对论理论框架下的关于时空统一的问题里。

第一位将看似没有意义的负数平方根写入公式的勇士是16世纪意大利数学家卡尔丹(Cardan)。在讨论“将10分成两部分,使得这两部分的乘积为40”的可能时,他指出,尽管这个问题没有任何正有理数解,但可以用这样两个不可能的数学式表示:5+ 和5- [4]

尽管卡尔丹对这两个算式持保留意见,因为它们是没有意义的、虚构的、想象的,但他还是写了下来。

既然有人敢于写下负数的平方根——虽然这可能是虚构的,但将10拆分成两个所需的部分的问题确实得到了解决。封住负数平方根的坚冰已然被敲开,这个被卡尔丹命名为虚数的平方根正越来越频繁地被数学家使用,尽管这种使用方式总是招致怀疑,或者需要正当理由。

在1770年出版的由著名德国数学家欧拉 所著的代数书中,我们找到了更多使用虚数的例子,但是他又留下了这样的评语:“一切形如 的表达式,都是不可能的,或者说是虚无的,因为它们表达的是负数的平方根,对于这样的数字我们只能断言,它们既不比任何数大,也不比任何数小,它们的组成是虚无的。”

尽管存在这些责难和非议,虚数在数学中还是成了像分数一样不可或缺的存在,如果没有它,数学的发展将寸步难行。

事实上,虚数更像是实数在镜子中的幻象,而且 正如所有的实数都可以由基础数字1产生,所有的虚数也可以由虚数单位 产生, 我们用符号i来表示这个单位。

如此一来,显而易见地, = × =3i, = × =2.646…i,等,因此每个实数都有其相对应的虚数。你也可以把实数和虚数结合起来,用单一的表达方式,如卡尔丹最先写出的5+ ,就等于5+i 。这种混合体被称为复数。

自闯进数学领域以来,足足2个世纪,虚数仍旧披着神秘莫测、不可思议的面纱,然而,这层面纱最终被两位业余数学家——挪威测绘员韦塞尔(Wessel)和法国巴黎簿记员罗伯特·阿尔冈(Robert Argand)通过简明的几何表示方法揭开了。

根据他们的表示方法,一个复数,如3+4i,其表示方式如图10所示,其中3表示水平方向的坐标,4表示垂直方向的坐标。

所有的实数(正数或负数)都对应着水平轴上的点,所有的纯虚数都对应着垂直轴上的点。

当我们将一个表示水平轴上的点的实数,例如3,乘以虚数单位i,我们会得到纯虚数3i,对应的是垂直轴上的一个点。因此,将任何实数乘以i,其几何意义都相当于逆时针旋转了90°(图10)。

如果我们再给3i乘以i,那么我们必须再逆时针旋转90°,点的位置又回到了水平轴上,只不过是在负值的一端。因此有:

3i×i=3i 2 =-3,i 2 =-1

当然,“i的平方等于-1”这个说法要比“连续两次旋转90°(都是逆时针)你会得到相反的方向”容易理解得多。

混合的复数也同样服从这个规则。将3+4i乘以i我们得到:

(3+4i)i=3i+4i 2 =3i-4=-4+3i

你立刻就能从图10里看出,-4+3i的点是3+4i的点以原点为中心逆时针旋转90°的结果。同样,任何数乘以-i,也不过是将其所代表的点以原点为中心顺时针旋转90°,这一点也可以从图10中看出。

037

如果你觉得虚数周围仍然笼罩着诡秘的迷雾,那就用一个包含虚数的简单的实际应用来驱散它吧。

曾有一位爱冒险的年轻人在他的曾祖父的文稿中找到了一卷羊皮纸,里面的内容揭示了一处神秘宝藏的位置。上面的指示说:

“航行到北纬______,西经______ ,你就能找到一座荒岛。岛的北岸有一大片草地,其中种着一棵橡树和一棵松树 ,除此之外你还能看到一个旧的绞刑架,它曾被用来绞死叛徒。从绞刑架的位置开始,向橡树走去,记下走了多少步。到达橡树之后右转90°,再走相同数量的步数,在最后到达的位置钉下一根木桩。然后回到绞刑架的位置,向松树走去,同样记下走了多少步。走到松树之后左转90°,也是走相同数量的步数,再钉一根木桩。在两根木桩的中点挖掘,你就能找到宝藏。”

指示简洁明了,于是年轻人就租了一条船驶往小岛。他找到了小岛,找到了草地、橡树和松树,但让他极度沮丧的是,绞刑架不见了。由于时间太久了,风吹雨打腐朽了木头,将其化为尘土,绞刑架原来所在的位置没有留下任何痕迹。

我们这位爱冒险的年轻人陷入了绝望,这份绝望又进而转化为了狂乱,他开始在草地上到处乱挖。可是无论尽了多少努力都是徒劳的,岛太大了!所以他空手而归,而宝藏可能还在那里。

这是一个伤心的故事,不是吗?但更令人伤心的是,如果他懂一点数学的话,尤其是知道虚数的用法的话,他可能就能拿到宝藏了。

我们来看看能不能帮他找到宝藏,尽管于他而言为时已晚。

假设岛是复数平面,过两棵树画一根轴(实轴),在两棵树的连线中点画垂直于两棵树的连线的另一根轴(虚轴)(图11)。取两棵树之间一半的距离为单位长度,这样我们可以说,橡树在实轴上-1的位置,松树在+1的位置。

我们不知道绞刑架在哪儿,就用希腊字母Γ(大写的gamma)表示它的虚拟位置,因为这个字母长得像绞刑架。既然绞刑架不一定在两根轴上,那么Γ就应当是个复数:Γ=a+bi,a和b的意义在图11中有解释。

下面我们来做一些简单的计算,注意,要记得上文讲过的虚数乘法的规则。如果绞刑架在Γ,橡树在-1,它们之间的距离和方位就可以表示为(-1)-Γ=-(1+Γ)。同理,绞刑架和松树之间的距离则表示为1-Γ。为了旋转这两个距离——一个是顺时针旋转90°(右转),一个是逆时针旋转90°(左转),根据上文的规则,我们必须将其分别乘以-i和i,因而两根木桩的位置如下(图11):

039

第一根木桩:(-i)[-(1+Γ)]+1=i(Γ+1)-1

第二根木桩:(+i)(1-Γ)-1=i(1-Γ)+1

因为宝藏在两根木桩连线的中点,我们需要将两个复数加起来乘上 ,于是有:

[i(Γ+1)+1+i(1-Γ)-1]= [+iΓ+i+1+i-iΓ-1]

= (+2i)=+i

我们发现在这个过程中 绞刑架未知的位置Γ已经相消了,那么无论绞刑架在哪里,宝藏必然都在+i的位置上。

因此,如果我们那位爱冒险的年轻人懂得做这么一点点数学计算的话,他就根本不必挖掘整座岛,只需要在图11所预测的位置找寻宝藏即可,宝藏肯定就在那儿。

如果你还是不相信找到宝藏可以不必知道绞刑架的位置的话,你可以在一张纸上标注出两棵树的位置,然后假设几次不同的绞刑架的位置,按照羊皮纸上指示的方法去做。你一定会得到相同的点,那就是复数平面上+i的那个点!

另一个我们依靠-1的平方根这个虚数发掘出来的隐藏宝藏是:我们的三维空间和时间可以被统一进一个四维的图景中,这个四维图景是由四维几何学规律所支配的。我们会在接下来的章节里探讨这个发现,同时我们还将探讨爱因斯坦(Einstein)的思想和他的相对论理论。


[1] 在小学几何中,毕达哥拉斯证明了这一点:3 2 +4 2 =5 2

[2] 根据丢番图的一般规律(取两个数a和b,使得2ab是完全平方数。x=a+ ,y=b+ ,z=a+b+ ,然后就有x2+y2=z2,这用普通的代数很容易验证),我们可以建立一个包含所有解的表,开头几个如下:
32+42=52(埃及三角形)
52+122=132
62+82=102
72+242=252
82+152=172
92+122=152
92+402=412
102+242=262

[3] 其他数字的平方根也很好计算。例如 =2.236…,因为2.236…×2.236…=5; =2.702…,因为2.702…×2.702…=7.3。

[4] 证明如下:
(5+ )+(5- )=5+5=10,
(5+ )×(5- )=(5×5)+5 -5 -( × )=
(5×5)-(-15)=25+15=40 0pULCfwQWOUsA1lD0BrawI4zu/aPm4ktXstjyQXstLRc3bhEkF0ig0wnLZjZlUPV

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