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小 镇上来了一伙人，在镇中心的闹市区开设赌球游戏，这个游戏的规则很简单。在一个单面敞口的盒子里有12个小球，6个红色的小球和6个绿色的小球，游戏的参与者从盒子里面随机摸出6个小球，然后根据摸到的小球兑奖，中奖规则见表2-2。
表2-2 中奖规则
这个游戏吸引了小镇上很多人前来参与。乍一听这个游戏非常划算，在所有的摸奖结果里面只有一种结果需要花钱买东西，听起来好像稳赚不赔，可实际情况却大相径庭，大多数的游戏参与者最后都乖乖地掏钱买了所谓的进口沐浴套装，这个所谓的进口商品只是一个包装上全是英文的三无产品，价值不会超过两块钱。其实这个貌似出人意料的结果并不奇怪，我们从概率的角度可以轻而易举地看清这个赌球游戏的坑有多大！
难度：★★
既然已经知道这个游戏就是个骗局，读者想必也不难猜出骗子是如何行骗的。虽然看起来只有一种中奖方式需要花钱买东西，但实际上由于每种抽奖结果的概率不同，因此不能简单以种类的多少来衡量中奖的比例。我们在图2-2中用黑白两色表示绿球和红球，下面来计算一下每种抽奖结果的概率具体是多少。
首先看一下一共有多少种抽取方式。游戏规则是从12个小球中随机抽取6个，这符合排列组合中组合的概念，因此可以有如下种抽取方式：
图2-2 红球和绿球
再看一下抽取5个红球和1个绿球共有多少种抽取方式。抽取方法相当于从6个红球中抽取5个红球，然后再从6个绿球中抽取1个绿球，因此可以有如下种抽取方式：
抽取1个红球和5个绿球的方法与抽取5个红球和1个绿球的方法类似，相当于从6个红球中抽取1个红球，然后再从6个绿球中抽取5个绿球，它的抽取方式仍有36种。
通过上面得到的结果可以算出一等奖的中奖概率为2×36/924=7.7922%。根据同样的计算方法可以得到表2-3所示各个奖项的中奖概率。
表2-3 所有奖项分别的中奖率
（续）
通过计算各个奖项的获奖概率不难看出，超过九成的参与者会得到二等奖或三等奖，只有一小部分会得到最终免费得到特等奖和一等奖。假设一个人获得三等奖骗子会获利8元，如果有100人参与这个游戏，那么这个骗子大约可以获利
（-50）×0.2164+（-10）×7.7922+0×48.7013+8×43.2900=257.578元
可见天下没有免费的午餐，这种看起来稳赚不赔的游戏背后竟然也隐藏着一个陷阱，所以小便宜还是不要贪图为好。
本题依然是通过古典概率模型求解的，解题的关键是要计算出“每个奖项红球与绿球组合的抽取方法的数目”以及“从12个小球中随机抽取6个的抽取方法的数目”，然后将两者相除即为该级别奖项的中奖概率。但与此同时，由于本题涉及的问题规模较大，抽取小球的方法较多，无法使用穷举的方法将抽取小球的所有可能一一列出，因此用到了排列组合的方法。
排列组合是数学中的一个基本概念，也是研究概率统计的基础。排列与组合两者既有联系又有区别。所谓排列就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序，而组合指的是从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，而不考虑排序问题。下面通过两个例子来理解排列与组合的概念。
问题1：从编号为1～5的5个球中任意摸取3个球，共有多少种可能的结果？
这就是一个典型的组合问题。因为题目中要求计算摸到3个球有多少种可能的结果，而每一个结果只是一组编号的组合，与这组编号的排列无关。例如摸到的三个球编号分别是1、3、5，那么这个组合就是一种结果，它完全等价于组合（1，5，3）（3，1，5）（3，5，1）（5，1，3）（5，3，1）。也就是说，这里考虑的重点是摸到的3个球都包含了哪些编号，而并不考虑这些编号的球是怎样排列的。
计算组合数的方法很简单，可以套用下面的公式：
其中
表示从
m
个数中任取
n
个数可能的组合数。很显然，当
m
=
n
时，上述公式变为
这里要计算从编号为1～5的5个球中任取3个球可能的组合数，应用上面的公式便可以很容易地计算出这个组合数为
问题2：奖箱中共有5个球，编号为1～5，开奖嘉宾从奖箱中随机摸取3个球，并组成一个3位数号码，请问有多少种中奖号码？
与问题1不同，这是一个典型的排列问题。从问题1的答案中我们知道，从5个球中摸取3个球，可能有10种不同的结果。但是这里还要将摸到的3个球的编号组成一个3位数的号码作为中奖号码，因此还要考虑一下这3个球的编号的排列问题。例如开奖嘉宾摸到得三个球的编号分别是1、3、5，那么将这3个编号组成一个3位数就可能有135、153、315、351、513、531这6种排列方式，因此这里不但要考虑摸到的3个球的编号是什么，还要考虑这3个编号如何排列组成一个3位数。
计算排列数的方法也可以套用下面这个公式：
其中
表示从
m
个数中任取
n
个数并进行排列所得到的全部结果的个数。很显然，当
m
=
n
时，上述公式变为
这样的排列也称为 m 的全排列。
问题2的描述是从编号为1～5的5个球中任取3个球，并将其编号进行排列组成一个3位数号码，要计算3位数的号码共有多少个。其实就是计算
是多少。根据上述公式可得
也就是说共有60种中奖号码。