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数 学目的的乐趣趣题。不仅本在节于我形们形就色来色看的一数道字经，典还而在有于趣由的这题些目数—产——生围的墙琳中琅的满兔子。
意大利数学家列奥纳多·斐波那契在他所著的《算盘全书》中有这样一道有趣的题目：围墙内有一对兔子，每一个月都能生下一对小兔子，而每一对新生的兔子从出生后的第三个月开始也能每个月生下一对兔子（例如，1月份出生的一对兔子，从3月份开始每个月都能生一对兔子）。那么由一对兔子开始，满一年时围墙里共有多少对兔子？
难度：★★
本题是一道经典的算术问题，同时从本题引申出了一个著名的数列——斐波那契数列。下面我们来看一下本题的解法。
在求解这道题之前，首先要排除一些常识性的干扰。按照题目的叙述：新生的一对兔子出生后第三个月开始就可以生小兔子了，所以不用考虑兔子的雌雄及配对问题。
要解决兔子产仔问题，可以从围墙中第一对兔子的产仔开始研究，然后逐步总结归纳出兔子数量的变化规律，进而求出满一年时兔子的数量。
我们可以这样归纳兔子的产仔规律，如图1-26所示。
图1-26 兔子产仔规律
一月份：仅有一对新生的兔子（A1，A2）；
二月份：仅有一对兔子（A1，A2），因为（A1，A2）在出生两个月后才可以生小兔子，所以二月份还没有繁殖能力。
三月份：有兔子（A1，A2）再加上一对新生的兔子（B1，B2），因为（A1，A2）从第三个月开始就可以产仔了。
四月份：有兔子（A1，A2）加上兔子（B1，B2）再加上一对新生的兔子（C1，C2），因为兔子对（A1，A2）继续产仔，而兔子对（B1，B2）在四月份还没有繁殖能力。
五月份：有兔子（A1，A2）（B1，B2）（C1，C2），再加上（A1，A2）所生的（D1，D2）以及（B1，B2）所生的（E1，E2）。（C1，C2）此时还没有繁殖能力，所以不会产仔。
……
如果我们仔细观察每个月兔子数量的变化，就会从中发现一个有趣的规律：后面一个月份的兔子总对数恰好等于前面两个月份兔子总对数的和。如果将每个月的兔子对数排成一个数列，这个数列可表示为
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,…
如果用 F i 表示该数列的第 i 项，则有
后来人们为了纪念数学家斐波那契，就把上面这样的一串数称作斐波那契数列，把这个数列中的每一项数称作斐波那契数。
基于以上分析可知，满一年时围墙里的兔子共有 F 12 =144对。
大家不要小看这个仅由自然数组成的斐波那契数列，它里面蕴藏着许许多多神奇的特性。
无理数表示的通项公式
虽然斐波那契数列的每一项都是自然数，然而它的通项公式却很特殊，需要使用无理数来表示，如下：
这是不是有点令人感到意外？还有更加神奇的特性呢！
偶数项的二次方与奇数项的二次方
斐波那契数列从第二项开始，每个偶数项的二次方都比前后两项之积少1，每个奇数项的二次方都比前后两项之积多1，如图1-27所示。
图1-27 斐波那契数列中二次方项的特性示例
很显然，每一个斐波那契数都满足上面这个特性。
黄金分割
在斐波那契数列中随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值。例如，斐波那契数列的第13项为233，第14项为377，则前一项与后一项的比值约为0.6180371353。斐波那契数列的第20项为6765，第21项为10946，则前一项与后一项的比值约为0.618033985，相比而言后者更接近真正的黄金分割数值0.6180339887…。
可整除性
斐波那契数存在这样一些特性：
每3个连续的斐波那契数中有且仅有一个被2整除。
每4个连续的斐波那契数中有且仅有一个被3整除。
每5个连续的斐波那契数中有且仅有一个被5整除。
每6个连续的斐波那契数中有且仅有一个被8整除。
每7个连续的斐波那契数中有且仅有一个被13整除。
以此类推，每 n 个连续的斐波那契数中有且仅有一个能被 F （ n ）整除，其中 F （ n ）表示斐波那契数列中的第 n 项的数值。
除了上述斐波那契数自身的特性之外，在自然界中居然也蕴藏着斐波那契数列的身影。
最典型的例子就是向日葵的种子。如果我们仔细观察向日葵的花盘就会发现，向日葵的种子在盘面上呈两组螺旋线排布，一组是顺时针方向盘绕，另一组是逆时针方向盘绕，彼此相互嵌套。而这两组螺旋线的条数刚好就是相邻的两个斐波那契数，它们可能是34条和55条、55条和89条或者89条和144条。除此之外，松果的种子、菠萝果实上的鳞片、花椰菜表面的结构也都有类似的规律，如图1-28所示。
图1-28 松果上的斐波那契数
有的生物学家认为按照这种方式排列种子是一种自然选择的结果，因为这种排列方式使得种子堆积得最为密集，这将有利于生物繁衍后代。
除此之外，树木在生长过程中都会有分枝，如果从下往上数一数分枝的条数就会发现，分枝的数目刚好是1、1、2、3、5、8…这样排布，这恰好构成了一个斐波那契数列。如图1-29所示。
图1-29 树木的分枝数构成了斐波那契数列
有科学家解释这种现象类似于兔子繁殖后代：成熟的树枝每隔一段时间都会萌发新芽，而萌出的新芽则需要等上一段时间变为成熟的树枝后才能萌发新芽。图1-30可以解释这个道理。这个规律就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。
图1-30 树枝萌芽的规律
斐波那契数列的神奇之处远不止以上几种，大到宇宙太空银河系，小到一朵花一个贝壳，到处都有斐波那契数列的身影。而人们对斐波那契数列的研究也从未停止，相信随着科学技术的不断发展，人们对斐波那契数列的研究将会更加深入和彻底。