下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
多维标度（Multidimensional Scaling Analysis，MDS）是一种将多维空间的研究对象（如样本或变量）简化到低维空间进行定位、分析和归类，同时又保留对象间原始关系的数据分析方法 [21-24] 。经过多年的发展，多维标度已成为物理学、地理学、心理学、分子生物学及行为科学中分析实验数据的常用技术。经典多维标度方法出现在心理学科，其基本思想是假设对象间的差异是距离，并通过寻找坐标来解释它们。因此，当在欧氏空间中获得一些节点间的距离信息时，就可以利用多维标度方法确定这些节点的坐标。近10多年来，国内外学者提出了一系列基于多维标度原理的定位方法，下面将总结一些具有代表性意义的研究成果。
文献[25]最早指出了经典多维标度方法应用于无线信号定位时需要位置先验信息，针对此缺点，该文献提出了基于修正多维标度的TOA定位方法。文献[26]在多维标度原理的基础上提出了基于噪声子空间的TOA定位方法，该方法计算简便，但仅适用于3个传感器存在的场景中。文献[27]则在文献[26]方法的基础上，提出了基于广义子空间的TOA定位方法，该方法放宽了对传感器个数的限制，具有更强的普适性。需要指出的是，文献[25-27]中定位方法的性能均难以达到克拉美罗界（Cramér-Rao Bound，CRB），为了进一步提高定位精度，文献[28]提出了基于加权多维标度的TOA定位方法，该方法无须矩阵分解，通过加权处理就可使定位精度逼近克拉美罗界。此外，文献[29]提出了多维标度定位方法的统一理论框架，从中可以发现，文献[25-28]中的定位方法都是该理论框架下的某个特例。
文献[30]和文献[31]首次将拉格朗日乘子技术与多维标度原理相结合，提出了相应的TOA定位方法，该方法计算简便，无须矩阵分解，并且定位精度可以逼近克拉美罗界。文献[32]和文献[33]提出了在复数域框架下的多维标度TOA定位方法，相比于实数域方法，它能够在大观测误差条件下提高定位精度。文献[34]和文献[35]首次将粒子群优化技术与多维标度原理相结合，提出了针对运动辐射源的TOA定位跟踪方法，并且利用多项式拟合技术对定位跟踪结果进行补偿校正，提升了定位鲁棒性和自适应性。需要指出的是，上面介绍的TOA定位方法均未考虑传感器位置误差的影响，文献[36]提出了传感器位置误差存在条件下的加权多维标度TOA定位方法，该方法通过加权处理有效抑制了传感器位置误差的影响，其定位精度可以逼近相应的克拉美罗界。
在无线传感网节点定位问题中，多维标度定位方法同样可以取得令人满意的效果。文献[37]和文献[38]首次提出了基于分布式加权多维标度的TOA节点定位方法，该类方法能够自适应选取相邻节点参与定位运算，可以有效避免大观测误差在网络节点内部的扩散，对网络节点具有较高的定位精度。文献[39]针对大规模无线传感网络，提出了基于移动信标的多维标度TOA节点定位方法，它显著提升了对大规模网络节点的定位精度。文献[40]提出了基于加权多维标度的多节点协同定位方法，该方法通过利用源节点之间的TOA观测量，实现了对多个源节点的协同定位，其定位精度可以逼近克拉美罗界。
值得一提的是，上面介绍的各种多维标度定位方法仅仅利用了TOA信息，事实上该类定位方法还可适用于其他定位观测量。文献[41]首次提出了基于TDOA信息的加权多维标度定位方法，该方法的定位精度可以逼近克拉美罗界。文献[42]提出了基于辅助线的多维标度TDOA定位方法，该方法可以在传感器位置几何分布呈现“病态”的条件下显著提升辐射源定位精度。文献[43-45]在传感器位置误差存在的条件下提出了加权多维标度TDOA定位方法，该类方法通过加权处理有效抑制了传感器位置误差的影响，其定位精度可以逼近相应的克拉美罗界。文献[46]提出了基于RSS信息的加权多维标度定位方法，该方法的定位精度可以逼近克拉美罗界。针对无线传感网节点定位问题，文献[37]不仅提出了基于TOA信息的节点定位方法，还提出了基于分布式加权多维标度的RSS节点定位方法。此外，文献[47]提出了基于加权多维标度的多节点协同定位方法，该方法通过利用源节点之间的RSS观测量，实现了对多个源节点的协同定位，其定位精度可以逼近克拉美罗界。最后，文献[48]首次提出了联合TDOA/FDOA信息的加权多维标度定位方法，文献[49]则将该方法推广至传感器位置误差存在的场景中，两种方法的定位精度均可以逼近相应的克拉美罗界。
从现有的研究成果中不难发现，多维标度定位方法主要具有两大优势：一是其通常可以给出辐射源位置信息（有时也包括速度信息）的闭式解，从而避免迭代运算和局部收敛等缺点；二是相比一些传统的定位方法（如最小二乘估计类方法），其对大观测误差具有更强的鲁棒性和稳健性。这是因为多维标度定位方法能够充分利用标量积矩阵的维度和特征结构信息。需要指出的是，早期提出的多维标度定位方法的性能与克拉美罗界还有一定的差距，但是随后提出的加权多维标度定位方法的性能则可以逼近克拉美罗界，并且具有较高的噪声门限值（或称噪声阈值）。因此，本书将主要针对加权多维标度定位方法展开讨论和研究。书中将基于现有的研究成果，进一步系统凝练和完善加权多维标度定位理论与方法，对该类方法的理论性能给出更为严谨的数学分析，并且将其拓展至更多复杂的定位场景中。