3.3　定位误差椭圆

本节将介绍定位误差椭圆的相关概念。假设辐射源位置向量 的某个无偏估计值为 ，服从高斯分布，并且均方误差矩阵为 ，则估计向量 的概率密度函数为

该概率密度函数的等值曲线可以表示为

式中， 为任意正常数，由它可以确定曲线表面所包围的 维区域大小。当 时，其表面为椭圆；当 时，其表面为椭圆体；当 时，其表面为超椭圆体。需要指出的是，若 不为对角矩阵，则超椭圆体的主轴就不会与坐标轴平行。

估计向量 位于式（3.41）定义的超椭圆体内部的概率为

式中，积分区域 为

下面将式（3.42）中的多重积分转化为单重积分。

首先引入变量 ，此时可以将式（3.42）转化为

式中， ，其中的积分区域 为

下面简化式（3.44），通过旋转坐标轴以使其与超椭圆体主轴平行。由于 是对称正定矩阵，则一定存在正交矩阵 满足

式中， 表示矩阵 的 个特征值。若令 ，则可以将式（3.44）转化为

式中

若再令 ，则还可以将式（3.47）进一步简化为

式中

式（3.49）中第2个等号处的运算利用了等式 。根据文献[60]可知，对于半径为 的超球体 ，其体积为

式中， 为伽马函数。由式（3.51）可知，超球体的体积微分与半径微分之间满足

于是可以将式（3.49）最终简化为

不难证明，当 时，式（3.53）中的积分式可以分别表示为如下更为简化的形式：

式中， 表示误差函数，其表达式为 。

【注记3.11】 概率 随着参数 的增大而单调递增，如图3.1所示。

定位误差椭圆面积能够体现出定位精度的高低。下面将参数 固定为 ，将概率 固定为 ，然后以 为例，推导定位误差椭圆 的面积。对于固定概率 而言，定位误差椭圆面积越小，定位精度越高。

首先将二维均方误差矩阵 表示为

为了推导椭圆 的面积，需要进行坐标轴旋转，以使得坐标轴方向与椭圆主轴方向一致。针对二维坐标系，其旋转矩阵可以表示为

式中，旋转角度 的选取应能使 为对角矩阵。结合式（3.55）和式（3.56）可得

为了使 为对角矩阵，需要满足

当 满足式（3.58）时，矩阵 可以写为

式中， 和 表示矩阵 的两个特征值，并且满足 ，它们的表达式分别为

若令 ，则旧坐标系中由 定义的椭圆在新坐标系中将由 或 来描述，该椭圆的主轴和副轴的长度分别为 和 ，于是椭圆 的面积为

式中，第4个等号处的运算利用了关系式 。

需要指出的是，定位误差椭圆面积和形状不仅与定位观测量的精度有关，还与辐射源与传感器之间的相对位置有关。图3.2给出了在5站时差定位场景下，辐射源处于不同位置时的定位结果散布图，其中给出了2000次蒙特卡洛独立实验的结果，定位方法采用文献[58]中的泰勒级数迭代法，距离差（可等价为时间差）观测误差的协方差矩阵设为 。从图中不难看出，定位结果散布图呈椭圆形分布，并且定位误差椭圆面积和形状与辐射源位置有关，椭圆面积越小，定位精度越高。图3.3给出了时差定位误差椭圆面积随着概率 的变化曲线，其中选取了4个不同的位置坐标。从图中可以看出，定位误差椭圆面积随着概率 的增加而增大。图3.4和图3.5分别将辐射源坐标（220m,90m）和（10m,30m）对应的定位结果散布图进行了显示放大，图中还给出了3个概率值（分别为0.5、0.7及0.9）对应的定位误差椭圆曲线。