3.2　定位成功概率

本节将给出定位成功概率的定义及其理论计算公式。假设辐射源位置向量 的某个无偏估计值为 ，其均方误差矩阵为 ，于是有

式中， 表示估计误差，假设其服从高斯分布，并且其均值为零，协方差矩阵为 。

下面给出两类定位成功概率的定义，并且分别推导它们的理论表达式。

【定义3.1】 若定位误差满足 （其中 表示误差向量 的维数），则认为是第1类定位成功。

由于误差向量 的概率密度函数为

于是第1类定位成功概率的计算公式为

显然，式（3.29）是正方体上的高维积分，可以通过数值运算获得其数值解。

【定义3.2】 若定位误差满足 ，则认为是第2类定位成功。

第2类定位成功所满足的条件等价为 ，于是第2类定位成功概率可以表示为 。利用文献[59]中的结论可以得到如下关系式：

式中， 表示虚数单位，满足 ； 表示随机变量 的特征函数。下面需要确定函数 的表达式，具体可见如下命题。

【命题3.7】 若均方误差矩阵 的 个特征值为 ，则随机变量 的特征函数可以表示为

【证明】 令随机向量 服从均值为零、协方差矩阵为 的高斯分布，则有

式中， 表示两边的随机变量服从相同的概率分布。对矩阵 进行特征值分解可得

式中， 表示对应于特征值 的单位特征向量。将式（3.33）代入式（3.32）中可得

式中， 。由于 是服从均值为零、方差为1的高斯随机变量，于是随机变量 的特征函数为 ，而随机变量 的特征函数为 。另一方面，利用对称矩阵特征向量之间的正交性可知， 与 （ ）之间相互统计独立，于是 与 （ ）之间也相互统计独立，由此可得

证毕。

将式（3.31）代入式（3.30）中可得

式中

由式（3.36）可知，第2类定位成功概率可以通过一维数值积分来获得，并且其积分区间为 ，为此需要分析被积分函数在 和 时的取值。首先根据洛必达法则可得

并且不难验证

由于当 时被积分函数趋于零，因此式（3.36）中的积分上限可以选取一个充分大的正数来逼近。

【注记3.9】 不难证明，第1类定位成功概率总是小于第2类定位成功概率，这是因为第1类定位成功概率是在正方体内进行积分的，而第2类定位成功概率是在该正方体的外接球内进行积分的，显然第2类积分区域要大于第1类积分区域。

【注记3.10】 根据定义3.1和定义3.2可知，两类定位成功概率均随着 的增加而增加，当 时，无论采用何种定位方法，两类定位成功概率都将趋于1；当 时，无论采用何种定位方法，两类定位成功概率都将趋于0。因此，参数 应根据具体的定位场景和需求来选取。 S8dJ50FB6eXveRKyvpKTAKW2HrpLyB9wpbUEo3KzvIJAHwOFXdzoVOkJKeVwfW3D