2.3　关于拉格朗日乘子法的预备知识

本节将介绍关于拉格朗日乘子法的预备知识，拉格朗日乘子法可用于求解含等式约束的优化问题。

1．基本原理

含等式约束优化问题的数学模型为

式（2.51）的求解方法可见如下命题。

【命题2.14】 设 和 均为连续一阶可导函数，记向量 是式（2.51）的局部最优解， 是 的梯度向量（即有 ）， 是函数 的Jacobian矩阵（即有 ），并且 是行满秩矩阵，则存在 维列向量 满足

【证明】 由于向量 是式（2.51）的局部最优解，它一定也是可行解，于是满足 。另一方面，由于 是 阶行满秩矩阵，其中必然存在 阶子矩阵是可逆的，不失一般性，假设其中前 列构成的子矩阵可逆，则根据隐函数定理可知，在 的某个 -领域内，基于方程组 可以确定将 的前 个变量 表示成关于其后 个变量 的闭式函数，不妨将该函数记为 ，于是下面仅需要考虑对向量 进行优化即可。

现将矩阵 按列分块表示为 ，其中 为 的前 列构成的子矩阵（可逆）， 为 的后 列构成的子矩阵，则在向量 处通过对恒等式 求一阶导数可以建立如下等式：

接着将向量 按行分块表示为 。其中， 为 的前 个分量构成的子向量， 为 的后 个分量构成的子向量。由于向量 是式（2.51）的局部最优解，于是有

将式（2.53）代入式（2.54）中可得

若令 ，则有

将式（2.56）中的两个等式合并可得

证毕。

命题2.14间接给出了求解式（2.51）的方法，即拉格朗日乘子法。为了求解式（2.51）可以构造如下拉格朗日函数：

式中， 称为拉格朗日乘子。式（2.51）的最优解 和 需要满足如下等式：

可以将式（2.59）看成关于 和 的方程组，其中的方程个数为 ，未知参数个数也为 。在一些特殊情况下，该方程组存在闭式解，但是在绝大多数情况下，该方程组并不存在闭式解，需要通过数值技术来进行求解。

2．两种数学优化模型

下面将讨论本书涉及的两种数学优化模型，第1种模型存在最优闭式解，第2种模型则不存在最优闭式解。

首先考虑第1种模型。设列满秩矩阵 、正定矩阵 、向量 及向量组 ，相应的数学优化模型为

式（2.60）对应的拉格朗日函数为

式中， ，假设其为列满秩矩阵。根据式（2.59）可知，式（2.60）的最优解 和 应满足如下等式：

由式（2.62）中的第1式可得

将式（2.63）代入式（2.62）中的第2式可得

最后将式（2.64）代入式（2.63）中可得

从上述推导中不难发现，优化模型式（2.60）的最优闭式解存在，这是因为其中的等式约束为线性约束。

接着考虑第2种模型。设列满秩矩阵 、正定矩阵 、向量 、向量组 、对称矩阵组 及标量组 ，相应的数学优化模型为

式（2.66）对应的拉格朗日函数为

根据式（2.59）可知，式（2.66）的最优解 和 应满足如下等式：

由式（2.68）中的第1式可得

将式（2.69）代入式（2.68）中的第2式可得

不难发现，式（2.70）是关于 的非线性方程，需要通过迭代或多项式求根的方式进行数值求解，将 的数值解代入式（2.69）中即可得到最优解 。从上述推导中不难发现，由于 的最优闭式解并不存在，因此优化模型式（2.66）的最优闭式解无法获得，需要利用数值技术进行求解，这是因为其中的等式约束为非线性约束（事实上为二次约束）。 jci4DyQFOJXUgzfhj4GnCI/u5oQNVYfanpqOscWAZNxKzJvcwtzzwMbmQit3cpfZ