勾三股四弦五

已知一个直角三角形，两条直角边长分别为3和4（图2-1），那么斜边的长是多少？

相信你很快就可以得出5这个答案，但最早得出这个答案的人，是我们的祖先商高。在公元前11世纪，商高抢答了这个问题——“勾三股四弦五”。

商高作为周朝的贵公子，不爱占卜观天，不爱斗蛐遛马，整天在屋里研究数学。周公作为长辈，十分担忧他闷出病。有一天，周公特意把他叫来，问商高到底在研究什么，商高答曰：“故折矩以为勾广三，股修四，径隅五。”也就是说，直角三角形的两条直角边勾和股分别为3和4个长度单位时，径隅（弦）为5个长度单位。

商高在发现了直角三角形的奥妙之后，就没有再研究下去，错失了“注册商标”的千古良机。直到三国时赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，又称弦图。他采用数形结合的方法对弦图进行了详细注释，能够对所有直角三角形都符合勾股定理做出解释，被视为具有东方特色的勾股定理无字证明法。此时，勾股定理才算真正诞生。

再后来，中国另一位数学大家刘徽出世。他是魏晋时自学成才的数学家，《九章算术》最优秀的注释员，他析理以辞，解体用图，把各种复杂之物都能够解释得透彻清晰。他最突出的成就，是给出了古希腊方法之外第一份对勾股定理有记载的证明。

他从三个正方形开始研究，以直角三角形短直角边（勾）a为边的正方形为朱方，以长直角边（股）b为边的正方形为青方。以盈补虚，将朱方与青方并为弦方。由此，依照面积关系可得a 2 +b 2 =c 2 ，朱方和青方已在弦方中的一部分可不加处理。此法融汇古人阴阳调和之精髓，称为出入相补法，又称割补法，如图2-2所示。

该证明富有中国特色，且简单易懂，之后多次为我国数学家所用，但由于各种因素的限制，较之西方证明的出现，终究是晚了一些。

数学之祖：毕达哥拉斯

第一个成功证明勾股定理者，不是赵爽，也不是刘徽，而是与泰勒斯 齐名的数学始祖级人物——毕达哥拉斯。

毕达哥拉斯是古希腊著名哲学家、数学家、天文学家，他是历史上第一个将数学系统化的人，其一生笃信“万物皆数”。

他早年曾游走四方，在埃及、巴比伦等地游学，见识广博，最终定居在意大利南部的克罗托内城，还在此创建了一个神秘组织，历史上称为毕达哥拉斯学派。

这是一个研究哲学、数学和自然科学的学派，但同时又是一个有着神秘仪式和严格戒律的宗教性教派。该教派主张一夫一妻，允许女子接受教育，参与听讲。一时间，该教派门庭若市，各路求学问道者纷至沓来。因此教派迅速壮大，引领了克罗托内城的文化与城市生活。

某日风雨如晦，教派举办晚宴，毕达哥拉斯是晚宴的主角。但毕达哥拉斯吃饭时却魂不守舍，趁着大家觥筹交错之时，偷偷跑到了宴厅墙角，盯着地板上一块块排列规则的方形瓷砖，若有所思。

早年在巴比伦学习时，他一直对怎样证明直角三角形a 2 +b 2 =c 2 的问题难以忘怀，或许是因为喝了点酒，他此时灵感迸发，对，就是用演绎法证明！他瞬间眉目舒展，选了一块瓷砖，以它的对角线为边，画了一个正方形，这个正方形的面积恰好等于两块瓷砖的面积之和。他再以两块瓷砖拼成的矩形的对角线作另一个正方形。最后，他发现这个正方形的面积等于五块瓷砖的面积和，即分别以1倍、2倍瓷砖边长为边的两个正方形的面积之和，如图2-3所示。

至此，毕达哥拉斯心里已有了一个大胆的假设：对于一切直角三角形来说， a 2 +b 2 =c 2 。证明了这一定理，他欣喜若狂，饭也不吃了，直接画出了一个漂亮的毕达哥拉斯树，如图2-4所示。

根据基本原理论证某一定理，属于数学底层思维。在这之后，古希腊人延续着毕达哥拉斯的脚步，发展出了一套史无前例的丰富的公理化推导体系，即西方的文化精髓——形式逻辑。这种思维的登峰造极之作，就是欧几里得 于约公元前300年撰写的《几何原本》。在此后长达两千多年的时间里，此书一直被世界各国奉为数学界的金科玉律。

如何证明a 2 +b 2 =c 2 ？

中西方都有人发现了a 2 +b 2 =c 2 ，按照默认规则，一般以第一个提出定理并证明的人的名字命名，因此国际上更认同将该定理命名为毕达哥拉斯定理。

遗憾的是，关于毕达哥拉斯具体用什么演绎法证明其实已无法考证，很多时候只是一种传说。多数人猜测是用正方形剖分式证明法，《几何原本》中详细记载了这一证明方法。

选择两个相同的正方形，如图2-5所示，令其边长为 两个正方形面积一定相等，左边正方形的面积为 ，而右边正方形的面积可以表示为 。左右两正方形面积相等，因此可得 ，合并化简后得证a 2 +b 2 =c 2 。

再看中国古代赵爽的证明，虽然其出现时间较晚，但赵爽创制的勾股圆方图（图2-6）却独具匠心。

勾股圆方图中，以弦（c）为边长，得到了一个正方形ABDE，其由4个相等的直角三角形再加上中间的小正方形组成。每个直角三角形的面积为 ；中间的小正方形边长为 ，则面积为 。于是便可得如下公式：

化简后可得：

即

赵爽极富创新意识地用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合的独特风格树立了一个典范。此后，中国数学家大多继承这一风格并有所发展。例如，魏晋时期的刘徽在证明勾股定理时也用了以形证数的方法，只是具体图形的分、合、移、补略有不同。

有关a 2 +b 2 =c 2 的严格证明方法还有很多，这里就不再举例。

无理数 的秘密

毕达哥拉斯信奉“万物皆数”，但这里的数是指有理数。他认为宇宙万物都应该由有理数来统治，这是教派深信不疑的准则。然而，由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理，最终却让他成为教派信仰的“掘墓人”。

在这里，大家可以一起玩个游戏。我们在一张白纸上画一个最简单的直角三角形，使该直角三角形的两直角边都为1，如图2-7所示。

希帕索斯 按照毕达哥拉斯定理，计算出如图2-7所示的三角形，其斜边长度应为 。但现实中，无论如何也无法用整数或分数来表示这一数值，它的长度是1.41421356…谁都无法清晰地画出 这条有限长的斜边的精确模样，它是一个“无理数”。

一夜之间大厦将倾，风雨欲来。毕氏学派“万物皆数”的信仰遭到质疑，“一切数均成整数或整数之比”的理论不再成立。毕达哥拉斯为此恼羞成怒，整个教派十分恐慌。最终，教派中名为希帕索斯的弟子因为发现了“无理数”的存在，触犯了“有理数统治世界”的教规，众目睽睽之下，被扔到了深海里活活淹死。

但不管怎样，希帕索斯是世界上第一个发现无理数的人，引发了人类历史上的第一次数学危机。所有人都在思考，为什 观存在，却又没有办法准确描述？这个现象完全与“任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数”的常识不符。更糟糕的是，面对这一荒谬现象，当时的人都无计可施。

直到公元前370年左右，柏拉图、欧多克索斯及毕达哥拉斯学派成员阿契塔提出了解决方案，他们给出的定义与所涉及的量是否可公度无关，从而消除了这次危机。在有理数的尊崇地位受到无理数的挑战之后，人们开始明白了几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示；反之，数却可以由几何量表示出来。

直觉和经验不一定靠得住，严谨的推理证明才更具说服力。由此，古希腊数学研究方法由计算转向推理，从不证自明的公理出发，在欧几里得的带领下，经过演绎推理建立起了几何学体系。欧氏几何 成为数学大厦极其重要的基石之一。

勾股定理适用于球面吗？

直至今日，我们仍将由欧氏几何公理推导而出的大批定理奉为圭臬，生活中无处不闪烁着欧氏几何公理的耀眼光彩。

作为最直观也是应用最多的几何体系，欧氏几何非常符合我们的常识。但前面说过，直觉和经验不一定靠得住，常识也是如此。

假设将一平面直角三角形贴在球面上，如图2-8所示。

这时，你会发现勾股定理完全不成立。相比于平坦的欧氏空间，球面显然有着自己不同的曲率，这种曲率使包括勾股定理在内的欧氏几何定理骤然失效。

三角形内角和不一定等于180°，在球面上，三角形内角和大于180°。

两点之间不一定直线最短，在球面上，两点之间最短的是一条曲线。

在地图上，北京与纽约之间的最短线是一条直线，遵循欧氏几何；但若在地球仪上，再在北京与纽约之间画一条线，会发现那是一条曲线，遵循非欧几何。

欧氏几何在平坦空间之外的不适用，使数学家创立了与其分庭抗衡的非欧几何 ，并发现我们的宇宙不是只有长、宽、高三维，可能还有第四维时空。在这些空间里，如果想判断宇宙是否平坦，数学上可以利用勾股定理，如果不满足，那么宇宙就不平坦。爱因斯坦曾做过类似的实验，并在广义弯曲空间理论 里提出这样一个大开脑洞的假设：物理空间是在巨大质量的附近变弯曲的，且质量越大，曲率（curvature） 越大。

爱因斯坦为验证自己的假设，根据光线总是走最短路线的原理，用经纬仪观测了位于太阳两侧的恒星所发出的光线的夹角，并在太阳离开后再次观测。如果两次观测的结果不同，就证明太阳的质量改变了它周围空间的曲率，使光线偏离原路。爱因斯坦的理论计算值为1.75″。而1919年，英国爱丁顿领导的考察队用三套设备实际观测到两颗恒星的角距离，在有太阳和没有太阳的情况下相差1.61″±0.30″、1.98″±0.12″和1.55″±0.34″。

尽管1.5″这个角度并不算大，却足以证明：太阳的质量确实迫使周围的空间发生弯曲，这与广义相对论的假设完全吻合，爱因斯坦因此名声大噪。

结语无理即未知

公元前五百多年，勾股定理作为人类发现的第一个定理和第一个不定方程，第一次将数学中的“数”与“形”结合在一起，开始把数学由计算与测量的技术转变为论证与推理的科学。勾股定理是人类文明史上光彩夺目、永不消逝的明珠。

从勾股定理中推导出来的 违反了“万物皆数”的理论，却造就了基础数学中最重要的课程——几何学体系。

非欧几何彻底挑战了欧氏几何体系，实现了天文学的根本变革，揭开了弯曲空间的宇宙面纱。

在数学的世界里，无理即未知，未知即未来。 BhyaSbxLdAvW6gSLXEUkHudBSc6ZbPSsjoK6HnPtSJ/vW74EFwF496crzyzjodPY