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在经济学中，经常要碰到效用最大化、成本最小化、利润最大化等问题，这些问题都是要求极（最）大值或极（最）小值，统统都可以归结为最优化问题。现在我们就来学习一些基本的最优化的方法。
一元函数的最优化问题比较简单，但对后面的最优化问题有很强的启示，我们先讨论最大化问题max y = f （ x ）。
我们知道，当上式实现最大化时，必须满足一阶条件和二阶条件，一阶条件是必要条件，二阶条件是充分条件。
一阶条件：当
为最优解时，有
二阶条件：当
x
为
时，d
2
y
<0，即
f″
（
）<0
f″ （ x ）<0实际上要求函数为凹函数。
对于最小化问题min y = f （ x ）。
一阶条件：当
为最优解时，有
f′
（
）=0
二阶条件：当
x
为
时，d
2
y
>0，即
f″
（
）>0
f″ （ x ）>0实际上要求函数为凸函数。
对于最大化问题max y = f （ x 1 ， x 2 ）。
一阶条件：当
为最优解时，有
二阶条件：当
x
为
时，有
f
11
<0且
现在来证明二阶条件：
当
满足一阶条件时，并不一定能实现
y
的最大化，必须要满足二阶条件才能使
y
取得最大值，二阶条件的要求是d
2
y
<0。
要d 2 y <0，就必须要有
即
因为
，所以二阶条件也可以写成
在经济学中，
被称为海塞行列式，用
H
表示。
对于最小化问题min y = f （ x 1 ， x 2 ）。
一阶条件：当
为最优解时，有
二阶条件当为：
x
时，有
f
11
>0且
，或者
当函数为凹函数时，函数可以取得最大值；当函数为凸函数时，函数可以取得最小值，如图1-2所示。
图1-2 凹、凸函数的最值
现在我们就给出函数凹凸性的定义：
定义1： 对于任意两点
和
，
如果
，那么
f
（
x
1
，
x
2
）为凹函数。
如果
，那么
f
（
x
1
，
x
2
）为凸函数。
其中， θ ∈[0，1]。当不等号严格成立时，称 f （ x 1 ， x 2 ）为严格凹（凸）函数。
从图形上看，当曲线上任意两点的连线都在曲线的下方时，函数为凹函数；当曲线上任意两点的连线都在曲线的上方时，函数为凸函数，如图1-3所示。
图1-3 凹、凸函数的判定
定义2： 当函数 y = f （ x 1 ， x 2 ）可导时，
若
f
11
≤0 且
，则
f
（
x
1
，
x
2
）为凹函数，不等号严格成立，则为严格凹函数。
若
f
11
≥0 且
，则
f
（
x
1
，
x
2
）为凸函数，不等号严格成立，则为严格凸函数。
比较这个定义和前面最优化问题的二阶条件，我们就可以看到，当函数为严格凹（凸）函数时，函数就自动满足了最大（小）值的二阶条件了。
现在要求的最大化问题为max y = f （ x 1 ， x 2 ， a ），其中 a 为参数。
根据一阶条件有
由上两式可以求解得
把最优解代入目标函数，得
从上式得知最优值实际上是参数
a
的函数，即
，我们把这个函数称为值函数。现在我们想看看参数
a
的变化对值函数的影响，即求
。
由一阶条件可知，前两项为0，则
这说明值函数对参变量求导就等于原函数直接对参变量求导，这就是所谓的包络定理。包络定理在今后的章节中大量运用，可以大大简化我们的运算。
很大一部分经济学中的最优化问题是有约束条件的最优化问题，特别是等式约束下的最优化非常普遍。本部分探讨求解等式约束下的最优化的方法和需要满足的条件，不给出过多的证明。
等式约束下的最大化问题的一般形式为
求解这个问题的一般方法为拉格朗日乘数法，构造拉格朗日函数
一阶条件为
前面两个等式可以合为一个，即
二阶条件为
我们把
称为加边的海塞行列式。
对于等式约束下的最小化问题：
构造拉格朗日函数
一阶条件为
二阶条件为加边的海塞行列式小于0，即
<0。
接下来，我们讨论等式约束中的一种特殊情形——线性约束。于是，最优化的问题就转化为：
构造拉格朗日函数：
一阶条件为
根据前面的讨论可得，二阶条件要求加边海塞行列式大于零，即
最终要求
从上述的一阶条件和二阶条件可知，在线性等式约束条件下，目标函数
y
=
f
（
x
1
，
x
2
）要取得极大值，很大程度上取决于目标函数的性质，即要求
-
-
>
0。而满足这一要求的函数我们称为严格的拟凹函数。如果
-
-
≥0，则函数为拟凹函数。拟凹函数又称为准凹函数，是类似于凹函数的函数。实际上，凹函数一定是拟凹函数，但拟凹函数不一定是凹函数。
拟凹函数在经济学中有广泛的运用，对于它的具体经济学含义，我们今后在讨论具体的经济学问题的时候再介绍。