第二节
微分和求导

微分和求导在经济学中的运用非常广泛。在本教材中，用得最多的是一元函数与二元函数的求导和微分，而且经济学中求导一般不超过二阶，因此这里重点讲解一元函数和二元函数的一阶导数与二阶导数。

一、一元函数的导数和微分

假设一元函数 y = f （ x ）在 x ₀ 点的附近（ x ₀ - ε ， x ₀ + ε ）内有定义，当自变量的增量 Δx = x - x ₀ →0时，函数值的增量 Δy = f （ x ）- f （ x ₀ ）与自变量增量比值 的极限存在且有限，就说函数 f 在 x ₀ 点可导，并称之为 f 在 x ₀ 点的一阶导数（或变化率）。若函数 f 在定义域内的每一点都可导，便得到一个在定义域上的新函数，记作 f′ （ x ）， f′ ， y′ 或d y/ d x ，称为 f 的导函数，简称导数。函数 y = f （ x ）在 x ₀ 点的导数 f′ （ x ₀ ）的几何意义为曲线在点[ x ₀ ， f （ x ₀ ）]的切线的斜率。

y = f （ x ）的微分表示为d y ，d y = f′ （ x ）d x 。

下面给出经济学中常见函数的导数：

（1） y = C （ C 为常数） y′ =0

（2）

（3） y =ln x y′ =1 /x

（4）

特别地

以下是函数的和、差、积、商的求导法则：

（1） y = f （ x ）+ g （ x ） y′ = f′ （ x ）+ g′ （ x ）

（2） y = f （ x ）- g （ x ） y′ = f′ （ x ）- g′ （ x ）

（3） y = f （ x ） g （ x ） y′ = f′ （ x ） g （ x ）+ f （ x ） g′ （ x ）

（4） y = f （ x ） /g （ x ） y′ =[ f′ （ x ） g （ x ）- f （ x ） g′ （ x ）] /g ² （ x ）

复合函数的求导法则：

y = f [ g （ x ）] y′ = f′ [ g （ x ）] g′ （ x ）

反函数的求导法则：

如果 y = f （ x ）的反函数为 x = f ^-1 （ y ），记为 x = h （ y ），则有：

一元函数 y = f （ x ）的一阶导数是求导的基础，必须熟练掌握。接下来，我们讨论一元函数的二阶导数。一元函数的一阶导数实际上也是自变量 x 的函数，于是对一阶导数再次求导，就可以得到一元函数的二阶导数，我们记为 y″ ， f″ （ x ），d ² y/ d x ² 。

同样，我们可以得到二阶全微分d ² y = f″ （ x ）d x ² 。

直观来看，二阶导数就是变化率的变化率，在曲线上就是斜率的变化率。实际上二阶导数的大小可以用来表征函数或图形的凹凸性。关于函数的凹凸性，后面的章节有专门的介绍。

二、二元函数的导数和微分

（一）一阶偏导数和一阶全微分

设有二元函数 y = f （ x ₁ ， x ₂ ），因此y的变化由 x ₁ ， x ₂ 的变化所引起，这时对二元函数求导就有两个导数，我们称为一阶偏导数。具体而言， y 对 x ₁ 的一阶偏导数是指当x ₂ 保持不变时， y 的变化量Δy与 x ₁ 的变化量Δx ₁ 的比值的极限，记为∂y/∂x ₁ ，∂f/∂x ₁ ， f′ ₁ 或f ₁ 。同理，我们也可以得到 y 对x ₂ 的一阶偏导数，记为∂y/∂x ₂ ，∂f/∂x ₂ ， f′ ₂ 或 f ₂ 。

计算一阶偏导数的方法很简单，只要把其他变量看作常数，剩下的就相当于对相应的自变量求一阶导数。

例1： 求函数 z = x/y + y ln x 的偏导数。

解：求 z 对 x 的偏导数时，把 y 看作常数，有

同理有

一阶偏导数在经济学中有很强的经济解释。经济学中边际的概念就是用一阶偏导数来表示的。经济学中边际的概念是指在保持其他条件不变的情况下，自变量的变化对因变量变化的影响，这正好对应着数学中一阶偏导的定义。例如，经济学中的边际效用无非就是效用函数的一阶偏导，资本的边际收益就是总收益函数对资本量的一阶偏导。

偏导数是指其他变量不变时，某个自变量变化对因变量变化的影响。但因变量变化往往是由多个自变量变化所引起的，为了说明这种情况，就有了全微分的概念。二元函数 y = f （ x ₁ ， x ₂ ）的全微分为

例2： 求例1中函数的全微分。

解：根据例1的结果有

有了二元函数的偏导数和全微分，我们就可以求解隐函数的导数。

设有隐函数 F （ x ， y ）=0，实际上这里隐含着 y 是 x 的函数，那么 y 对 x 的导数为

证明：因为 F （ x ， y ）=0

两边求全微分 d F （ x ， y ）=0，即

变形后得到上述结论。

（二）二阶偏导数和二阶全微分

二元函数 y = f （ x ₁ ， x ₂ ）的二阶偏导数一共有四个，分别是 y 对 x ₁ 的二阶偏导数，记为 ， f″ ₁₁ 或 f ₁₁ ； y 对 x ₂ 的二阶偏导数，记为 ， f″ ₂₂ 或 f ₂₂ ； y 对 x ₁ 和 x ₂ 的 ， f″ ₁₂ 或 f ₁₂ ； y 对 x ₂ 和 x ₁ 的二阶混合偏导数，记为二阶混合偏导数，记为 ， f″ ₂₁ 或 f ₂₁ 。

二阶（偏）导数在经济学中都是表示变化率的变化率，在经济学中就可以用二阶（偏）导数来表示边际的变化率，比如用来表示边际效用递减或者边际成本递增等。

我们也可以得到二阶全微分，用d ² y 表示，代表 y 的一阶全微分后的再次全微分

（三）齐次函数

若函数 y = f （ x ₁ ， x ₂ ）对于任意的 t >0，有 f （ tx ₁ ， tx ₂ ）= t ^k f （ x ₁ ， x ₂ ），则称函数 y = f （ x ₁ ， x ₂ ）为 k 次齐次函数。在经济学中，常用的齐次函数为零次齐次函数和一次齐次函数。

齐次函数中有一个很重要的定理——欧拉公式在经济学中非常有用，介绍如下：

欧拉公式： 若 y = f （ x ₁ ， x ₂ ）是 k 次齐次函数，则有

证明：因为 f （ tx ₁ ， tx ₂ ）= t ^k f （ x ₁ ， x ₂ ）

两边同时对 t 求导，得 ztgNX6HB2kYDjs0NRdiSReDCdTzWgR1Rohxbi2JpLLNFC0C888IDPiQRzIRpI520