第一节
集合和函数的基本概念

集合是指由所有对象组成的全体，集合中的每一个对象称为元素。通常用 X 表示集合，用 x 表示集合中的元素。在经济学中用的最多的集合就是实数集 R ，有时候我们也会用到正实数集 R +。在经济学中往往要用到 n 维的实数集 R ⁿ 和 n 维正实数集 R ⁿ ₊ 。例如，本教材中经常用到的由两种商品组成的商品集 就是一个二维实数集。

在经济分析中有一类集合显得非常重要，这类集合为凸集。若集合 X 中的任意两点 x ^a 和 x ^b ，对每一个 t ∈[0，1]，点 x ^t = tx ^a +（1- t ） x ^b 也属于集合 X ，则称 X 为凸集。

现在以一个二维集合为例来看看凸集。如果 X ={ x | x =（ x ₁ ， x ₂ ）}是凸集，那么意味着对于任意两点 ∈ X 和 ∈ X， 点x t ^=[ +（1- t ） ， +（1 t ） ]∈ X 。图1-1是关于凸集的直观图示。

在图1-1中，（1）和（2）都是凸集，而（3）不是凸集。从图形上判别一个集合是不是凸集，就看这个集合中任意两点的连线是否都在这个集合内。如果在集合内，那么这个集合就是凸集，否则就不是凸集。

函数是指数学中的一种对应关系。具体来说，设 X 是一个非空集合， Y 是一个非空数集， f 是对应法则，若对 X 中的每个 x ，按对应法则 f ，使 Y 中存在唯一的一个元素 y 与之对应，则称对应法则 f 是 X 上的一个函数，记作 y = f （ x ），称 X 为函数 f （ x ）的定义域，集合{ y | y = f （ x ）， x ∈ X }为其值域（值域是 Y 的子集）， x 叫作自变量， y 叫作因变量，习惯上也说 y 是 x 的函数。

本教材中常用的函数是一元函数 y = f （ x ）和二元函数 y = f （ x ₁ ， x ₂ ）。这些函数在数学中都属于显函数，因为 y 都可以由 x 显性表示出来。还有一类函数称为隐函数，即 y 没有由 x 显性表示出来，其一般形式为 F （ x ， y ）=0。 mQG8EKRyZQ1lCy83zb2p8d5UrfTGx36h1hpvNCQaeCgPD3PGNlGkfxEhdrWzgw1p