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效用最大化和支出最小化从本质上都反映了理性消费者的选择行为，只是强调的重点不一样，一个侧重讨论如何使消费者获得最大的满足，一个侧重讨论如何使花费最少。两个问题实际上是等价的问题。从两者必须满足的一阶条件和二阶条件就看得很清楚，两者的二阶条件完全一样，一阶条件都要求满足等边际原则，或者说边际替代率要等于价格之比，或者说消费者的无差异曲线要和预算约束线（或等支出线）相切。
这里有两个命题能够更好地反映效用最大化和支出最小化的关系。
命题1： 当消费者收入为
y
时，
是效用最大化的解，那么当效用水平为
u
（
）时，
也是支出最小化的解，而且这时最小支出水平正好为
y
。
命题1如图3-4所示。
图3-4 命题1
当消费者的收入为
y
时，
实现了效用最大化，此时的需求就是马歇尔需求，可以表示为
x
∗
=[
x
1
（
p
1
，
p
2
，
y
），
x
2
（
p
1
，
p
2
，
y
）]，此时的效用水平为
u
（
）=
v
（
p
1
，
p
2
，
y
）。当效用水平为
u
（
）=
v
（
p
1
，
p
2
，
y
）时，很显然
x
∗
也正好实现了支出最小化，此时的需求就是希克斯需求，可以表示为
x
∗
=
h
1
[
p
1
，
p
2
，
u
（
）]，
h
2
[
p
1
，
p
2
，
u
（
）]。希克斯需求量和马歇尔需求量实际上是同一个点，此时的最小支出水平正好为
y
，可以表示为
y
=
e
[
p
1
，
p
2
，
u
（
）]。根据上面的分析，我们可以得到以下几个重要的等式：
命题2： 当效用水平为
u
时，
是支出最小化的解，那么当收入为
时，
也是效用最大化的解，此时的效用水平正好就是
u
。
命题2如图3-5所示。
图3-5 命题2
当消费者的效用水平为
u
时，
实现了支出最小化，此时的需求是希克斯需求，可以表示为
x
∗
=[
h
1
（
p
1
，
p
2
，
u
），
h
2
（
p
1
，
p
2
，
u
）]，此时的最小支出水平为
p
1
+
p
2
=
e
（
p
1
，
p
2
，
u
）。当收入为
时，很显然，
也正好实现了效用最大化，此时的需求就是马歇尔需求，可以表示为
，
x
2
（
p
1
，
p
2
，
+
）]。马歇尔需求量和希克斯需求量实际是同一个点，此时最大的效用水平正好为
u
，可以表示为
。根据上述分析，我们可以得到以下几个重要等式：
